初中數學“圖形與幾何”教學中滲透模型思想探討

江文君 廖小勇

摘 要：數學新課程標準提出要讓學生體會和應用數學思想與方法，模型思想的教學對學生理解抽象問題起著重要指導作用。本文在闡述模型思想及其教學要求基礎上，以“將軍飲馬”典型問題的教學設計為例，探討如何尋求合適的教學活動和教學方法，以便更好地在初中數學“圖形與幾何”教學中滲透模型思想。

關鍵詞：初中數學;圖形與幾何;模型思想;數學教學

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識。”[1]對于“幾何與圖形”模塊中的教學，上述標準提出教學需要重視實物或模型在教學中的“奠基”作用，經歷圖形的抽象、分類、性質探討的過程，形成清晰的“圖形”認識。

史寧中教授曾表示，數學發展所依賴的“基本思想”可以歸結為三個核心要素：抽象、推理、模型。學者陳蕾用“知聯系，悟應用;助抽象，煉思維”12字闡述過滲透模型思想的價值。[2]但當前不少初中數學教師在課堂上往往將“模型思想”等同于數學建模，等同于數學應用，忽視其中的差異，對模型思想的理解過于狹窄。還有部分教師對具有較強現實背景的“原坯問題”，因其對初中生而言模型的建立過程過于復雜，其結果也存在不確定性而存有排斥心理。

因此，本文試討論在初中數學“圖形與幾何”教學中如何滲透模型思想的教學問題，限于篇幅僅以“將軍飲馬”典型問題的教學設計為例而展開。不當之處，請同人批評指正。

一、模型思想及其教學要求

模型思想是指能夠有意識地運用數學的概念、原理和方法去理解、描述和解決現實世界中某類問題的思想。模型思想對學生理解抽象問題起著重要的指導作用，其教學要求的要義就是能夠把握客觀對象的本質與規律，并能用合適的數學語言描述和用恰當的數學符號表達出來，從而獲得刻畫客觀對象的數學模型。狹義上看，模型思想是指建立數學模型來解決實際問題的思想;廣義上看，模型思想的本質是培養學生運用數學思維解決問題。

根據初中生數學學習現狀及數學學習特點，我們認為在教學中滲透模型思想應注意幾點：一是滲透模型思想首先要讓學生明確數學與客觀世界的關系，將實際問題數學化，使學生能夠更好地理解模型思想，為培養學生建模能力打下基礎，幫助學生更好地把握核心概念，從而理解數學的本質。而數學化解決的問題，最終還是要回歸到實際，解決實際問題，這才是數學模型思想的最終歸宿。二是模型思想的教學不能脫離知識體系的構建單獨滲透，而是要在傳授知識的同時適當地滲透模型思想。模型思想的滲透目的在于使學生更好地理解數學知識及本質，教師在課堂教學的安排上就應該有意識地給數學思想的教學預留適當時間，以數學知識為載體進行，注意將數學知識與數學思想融為一體，因勢利導，水到渠成。三是模型思想是抽象的，是學生在學習掌握知識的過程中逐漸積累的、一個長期的反復的認知過程。滲透模型思想本質的領悟，需要教師結合數學知識循序漸進地反復滲透，以提高學生建模能力，加強學生對模型思想的領悟。通過滲透的漸進性，匯滴水為江海，變“點”為“線”，讓學生在學習中不斷感悟，成螺旋上升的狀態。

二、在“圖形與幾何”教學中的滲透模型思想

在初中數學教學過程中滲透數學模型思想，既是在數學學習特殊階段更好構建數學邏輯思維、培養學生數學自學能力的教學方式，也是提升初中數學教學活動品質的重要方法。

圖形世界的直觀性決定了其教學過程中更易滲透建模思想，無論是平面幾何模型，還是立體幾何模型，學生都能較容易地找到具體事物與之對應。學生對圖形的認識是由簡到易、呈螺旋式上升的，先了解幾何模型的特點，再從具體事物中抽象出具體的數學模型，通過對模型的認識分析并解決問題。初中階段的“圖形與幾何”分為圖形的性質、圖形的變化、圖形與坐標。以下我們僅通過圖形的性質解決“將軍飲馬”的問題來進行討論。

問題1唐代詩人李欣的《古從軍行》的開頭兩句說“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”。詩中隱含者一個有趣的數學問題：如圖1—1，將軍在觀望烽火之后從山腳上的瞭望臺出發，奔向交河旁邊飲馬，飲馬后再到軍營，試問位于交河上的哪一點飲馬時才能使總的路程最短？（假設可騎馬過河）

問題2據說，在古希臘有一位聰明過人的學者，名叫海倫。有一天，一位將軍向他請教了一個問題：如圖1—2，從軍營A地出發到河邊飲馬，然后再軍營B地，走什么樣的路線最短？如何確定飲馬的地點？

師：這需要我們解決什么問題？

生1：問題1，如圖2—1把河看作直線，軍營看作點A，烽火臺看作點B，直線的異側有兩點A和B，在直線上求作一點P，使PA+PB的值最小。

生2：問題2，我們可以把它看作一個求最短路徑的問題。如圖2—2，直線的同側有兩點A和B，在直線上求作一點P，使PA+PB的值最小。

（教學處理：古詩和小故事引出課題，激發學生的學習興趣;詢問學生需要解決什么問題，誘導學生從實際問題中抽象出數學問題，遵循數學化原則，促使學生在觀察、認識和改造客觀世界的過程中，運用數學的思維和方法來分析和研究客觀世界的種種現象并加以整理和組織;明確數學與生活的關系，將生活問題數學化，培養學生用數學的眼光去看世界，讓其充分體會到數學與生活實際的聯系，明白數學的實用性。）

師：如何使PA+PB的值最??？

生3：對于問題1，連接AB交直線于點P，點P就是所求作的點，此時PA+PB的值最小。

師：為什么？

生3：如果P不在線段AB和直線的交點上，而在其他地方，不妨設為點P′，如圖3，根據“兩點之間線段最短”，線段AB將是點A和點B所有連線中最短的一條，即AB

師：其他人還有不同的看法嗎？

生4：根據“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，可以得到，在△ABP′中，AB

（教學處理：問題1的設置意在對“兩點之間線段最短”這一公理進行復習，提煉出解決問題的模型，為問題2的解決做鋪墊。遵循循序漸進的原則，教學設計由易到難，由簡到繁，逐步深化提高，使學生系統地掌握基礎知識、技術、技能和科學的鍛煉方法。）

師：問題2呢？

生5：如圖4，過點A作AP丄交直線于一點P，根據“過直線外一點到直線上各點的所有連線中，垂線段最短”，可得PA+PB的值最小。

生6：不對，AP是點A到直線的最短線段，但是不代表PA+PB的值最小。

師：那么同學們看看問題2和問題1之間有什么聯系和區別？

生7：問題1的兩點在直線的異側，問題2的兩點在直線的同側。

師：問題1大家已經解決了，那么如何處理問題2呢？

生8：我們是不是可以把問題2兩點在直線同側的情況轉化成問題1兩點在直線異側的情況處理？

師：怎樣轉化？

（學生先獨立思考，再進行小組討論。）

生9：如圖5—1，作點A關于直線的對稱點A'，由于軸對稱性可得，在直線上任取一點P，都有PA=PA，所以求PA+PB的最小值，即求PA+PB的最小值。而兩點在直線異側的情況，問題1中已解決。如圖5—2可知，當P在線段AB'和直線的交點上時，根據“兩點之間線段最短”，知PA+PB的值最小，因為PA+PA，得在P點時PA+PB的值最小。

生10：老師，除了根據“兩點之間線段最短”證明，還有其他方法。如圖6，假設P'為直線上除點P外的任意一點，根據“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，在△PAB中，PA+PB>AB，也就是PA+PB>PA+PB，即在P點時PA+PB的值最小。

師：大家的回答都很正確，下面請一位同學來總結一下將軍飲馬問題這個模型的典型特征和它的解決方法？

生11：將軍飲馬問題的特征是有三個點，兩個定點和一個動點，兩個定點在直線的同側，以動點所在的直線為對稱軸，求這個動點到兩個定點的線段和最小。

生12：首先，對問題里動點及定點進行分析;接著，通常以動點所在的直線為對稱軸，做出兩個定點其中的一個定點關于直線的對稱點;然后，連接對稱點與另外一個定點，線段與對稱軸直線的交點即為所求的動點位置。

（教學處理：先提問題1為問題2做鋪墊，誘導學生自己發現問題、提出問題、分析問題、解決問題，體現學生的主體及教師的主導作用。要求學生先各自獨立思考，再分小組討論問題，培養學生自主學習能力及合作探究能力。遵循適度性原則，講解基礎知識的同時適當地滲透模型思想，我們知道模型思想的滲透目的在于使學生更好地理解數學知識、數學本質。將數學知識與數學思想融為一體，因勢利導，水到渠成。）

結語

本文就初中數學“圖形與幾何”模塊一個問題的教學做了簡要分析，探討了模型思想的教學滲透問題。事實上，模型思想在初中數學教學中的滲透是多方面的。在實際教學過程中，教師對教材中模型思想的挖掘程度、對學生進行滲透的方法、想要達到怎樣的滲透程度，都直接關系到學生最終對模型思想的掌握程度。教師需要緊跟課改的步伐，適時改變自己的教學方法及教學觀念，努力提升自己的教學水平;不斷地嘗試和創新，以求更好地發揮數學模型思想在數學教學的優勢，從而提升數學教學的品質。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]陳蕾.滲透模型思想的教學策略：以小學數學為例[J].上海教育科研，2018（10）：93-96.

作者簡介

江文君，女，黃岡師范學院2019級教育碩士，學科教學·數學專業學位研究生。

廖小勇，男，黃岡師范學院數學與統計學院教授，碩士生導師，研究方向：數學教育學。