祖暅原理中的數學文化

王麗 陳振丹

摘 ?要：普通高中課程理念和新高考考察要點中都強調了數學文化的價值。本文通過介紹祖暅原理，用元素法計算立體幾何圖形的體積來合情推理祖暅原理，展示在初等數學課堂上如何滲透數學文化。

關鍵詞：祖暅原理;元素法;數學文化

Abstract：In senior high core quality of mathematics of middle school students，practice the theory of Educational Mathematics.

Keywords：Teaching practice，Area of circle，Volume of a sphere

1、引言

數學文化是往往是容易忽視而又不可或缺，學生們通過學習數學文化，能夠感受到學科魅力、領悟人文價值、體會美學應用等，從而提高學生的數學學科素養，人文情懷和學習興趣，激發學生們的創新與探索精神。

在人教版高中數學必修二第一章《空間幾何探究與發現祖暅原理》中介紹了祖暅原理“兩個夾于兩個平行平面間的幾何體，被平行這兩個平面所截的任意兩個平面，若截得的兩個截面面積總相等，那么這兩個被夾的幾何體體積相等”。由于初等數學知識具有一定的局限性，課本中無法給出詳細的說明。

有大量文獻闡述這方面的內容，具體見[1-10]。文[1]給出祖暅原理的歷史和簡單證明，大量講述其由來，但證明過于簡潔，不適合初等數學學習者閱讀。文[2-4]從祖暅原理的歷史闡明和將祖暅原理運用到教學中的方式及作用與效益，但就其歷史和應用分別來談其有益相對狹義，相結合則更加完善。文[5-7]用典例解釋高考題中的數學文化，其中簡單闡明了數學文化的狹義定義。文[8，9]對文化從思想、核心素養、教育教學特定方面進一步闡釋，并進一步解釋了數學文化。文[10]中通過運用近似，分割，求和，取極限的步驟得到定積分，利用定積分證明高中階段立體幾何中的基本公式，該文選擇幾組特殊的平面圖形和立體圖形進行求面積或者體積，并分析了各公式之間的聯系，充分體現了廣義的數學文化。

本文采用定積分中的元素法計算圓錐的體積和平面切割圓錐頂層并將切割的頂層挪動的體積來證明祖暅原理中闡述的內容，闡述“冪勢即同則積不容異”，挖掘包含其中的數學文化內涵，并說明教學當中結合數學文化講課所帶來的曾益。

2、祖暅原理的由來

祖暅原理即是“等積原理”【1】，是在祖沖之及其子祖暅推導球體積公式過程中發現提出的。球的體積的計算最初出現是在《九章算術》中，因為正方形與其內接球面積比為4：3，正方體與其內接等邊圓柱的體積之比也為4：3，從而得出正方體與其內接球的體積之比為16：9，進而解決球的體積問題。劉徽發現《九章算術》中體積公式的比例錯誤，構造出“牟合方蓋”解決問題的思想（古人稱傘為“蓋”，“牟”同“侔”），并未正確求出球的體積公式。祖暅沿用劉徽的思想去進行探索，將精力從牟合方蓋轉到方蓋差上，再進行分割得到小方蓋差，從小方蓋差著手，利用兩平行平面去截取兩個夾在其間的幾何體，再進行面積體積計算和比較，若得當高度與截面面積相同時，其體積相等的結論（即冪勢即同則積不容異，“勢”為高，“冪”為面積，“容”為體積），這樣就解決了球的體積。

由上述證明知：當高度與截面面積相同時，其體積相等，即驗證了“冪勢即同則積不容異”的道理。

4、祖暅原理中的數學文化

祖暅原理由《九章算術》發起，“牟合方蓋”的發展，最后得到祖暅原理求得體積，這一段數學發展史是數學文化上燦爛的一筆。祖暅原理是在前人的基礎上一步一步發展起來的，《九章算術》在當時是權威，劉徽發現問題與錯誤并沒有因為權威而懷疑放棄自己的觀點，祖氏父子沿其方向探究。這個素材充分展示了數學家實事求是、敢于質疑的精神。有利于培養學生善于發現問題，敢于提出問題，勇于探索問題的能力。

無論在那個學習階段，提高學生學習主動性和勇于探索的精神都很重要重要，在中學階段尤為突出。那么中學老師激發學生的學習熱情需要哪些條件呢？首先一定的數學知識儲備是必要的。如若沒有一定的數學知識儲備，學生很難對數學領域產生興趣。因此，要想提高學生對于數學學習的興趣，必須要使得學生有一定的知識準備，以培養他們廣泛穩定的興趣。在課堂教學中，老師可以通過學習書本的知識點，挖掘其知識點背后的數學文化然后傳授給學生們，讓同學們學習中不單單只是枯燥的學習知識點，而更深層次的了解知識點承載的數學文化，不僅提高學生的學習興趣，更能夠深刻理解知識點，在遇到復雜多變的數學問題時，能夠巧妙的運用知識點蘊含的數學思想，解決問題。例如，例如高中學生剛學習立體幾何時，由于暫時還沒有從平面幾何轉過彎來，對立體幾何不感興趣，可以簡略地介紹立體幾何的某些定理的歷史。例如介紹一下祖暅原理的相關歷史，在數學中祖暅原理的相關應用。學生通過學習祖暅原理的歷史由來，讓學生不局限于數學只有理論的印象當中，還能夠激發學生對相關知識學習的興趣和深入探索的意向。其次，對于課堂上好奇心較強的學生來說，課后還會去搜集祖暅原理相關的資料，了解更多的知識點。另一方面，祖暅原理在解決某些復雜數學問題方面也是頗為有用的。從這些方面看來祖暅原理帶給我們的不僅僅是學術理論，在課堂伸展教學中，能給予我們伸展的方向及度量，且在解題技巧上亦有不可多得的幫助。

下面我們通過解析（2013年上海高考理科第13題）來感受如何運用祖暅原理巧妙解決復雜的數學問題。

例，在XOY平面上，將兩個半圓弧 ?和（x ?、兩條直線 和 圍成的封閉圖形記為D，如圖3中陰影部分，記D繞y軸旋轉一周而成的幾何為Ω，過 ?作Ω的

水平截面，所得截面面積為 ，試得出Ω的體積值（ ? ?）

這道高考題若按照普通水平學生知識儲備，這道題目算是一道難題，基礎稍微好的學生容易掉入“割補法”的陷阱中，但是如果學生有祖暅原理相關的知識儲備，那么該題將迎刃而解。根據題意知，一個半徑為1，高為 的圓柱平放，一個高為2，底面積為 的長方體，這兩個幾何體與Ω放在一起，根據祖暅原理，每個平行平面的截面面積都相等，故它們的體積相等，即Ω的體積值為 。

祖暅原理的出現，解決了大部分體積問題，更給出了解決體積問題的積累思想。祖暅原理以牟合方蓋的思想來貫穿整個探索，放在現代就是無限分割、微元、積分思想，充分體現了極限、建模的思想理念，這正蘊含著現代初等數學教學中強調的數學建模方面的核心素養。這些數學工具、方法、思想的運用，有利于培養自身學習能力和構造性思維和探索的能力、創新能力。祖暅原理對我們現在的學習與教學都有重大的影響，基于數學課堂上的數學核心素養，老師為主導和學生為主體的辯證統一關系，可以歸結到如文化史一般在前人的思想上加以新發現新思想。打好基礎與創新發展，可來源于運用數學工具，方法去探索創新，有效率地提高自我。數學思維中熟練與理解的交互作用，可表現在運用已有知識，用自己的想法去證明原理，不難看出祖暅原理中蘊含的探索精神，極限和建模的思想理念，證明的嚴謹性和邏輯性以及帶給課堂教學的延展性和張力都是數學文化的體現和傳承。

祖暅原理作為人類認識物體體積的一種重要的工具，是歷史的產物，是社會歷史實踐中所創造中所流傳下來的物質和精神財富，其展現了數學文化是數學與人文的結合，以其相關背景知識、數學知識、數學工具等作為載體來傳承其數學思想、數學方法和數學精神，以此展現數學的嚴謹性和邏輯性并培養數學核心素養。在近些年無論是從教育部的改革來看，還是從大學入學考試試題來看，其蘊含的數學文化正在悄悄地進入高中數學課堂、進入高考、進入高考考察的范圍，一些題也因為其背后承載的數學文化而成為了經典試題，在當今的教學課堂中，可以預見，甚至可以看見，富含數學文化的一些考試題出現，正在逐漸引導教師往數學文化這方面挖掘和探究，繼而把數學文化滲透到課堂教學中，最終實現《普通高中教學課程標準》中教學過程中“傳授數學文化”的預期目標，這一目標也充分體現了文化自信。

基于祖暅原理中的數學文化在此重申筆者對于數學文化的認識，從狹義上來說數學文化包含數學歷史，名人事件，數學工具和數學方法;從廣義上來說數學文化除了人文歷史還包括數學思想、邏輯、精神、核心素養、教育教學方式方法、文化自信等方面，即數學文化包含與數學相關的一切。

5、結論與啟發

通過祖暅原理，可以發現文化也是課程教育的重要部分，文化以各式各樣的形式存在在課程中。在初高中數學學習階段，往往老師就是按照書本的內容進行講解，運用直接灌輸的方式，可以說是一種數學文化工具型教育，文化的蟬聯難以顯現。現在，高新型教育系統的出現，再以此方式教學，學生難免失去對數學學習的興趣。如果老師上課能在數學課堂上找到理論的文化歸宿，來源依據，讓課程遵循歷史文化，社會文化的禪變，將文化工具賦予邏輯思想，將工具化型文化轉變為思想教育型文化，并融入課堂教學內容中，使同學們了解課程中文化的尺度，文化的自主性和傳承性，增加課堂趣味，同學們就能對學習數學理論和文化產生極大的興趣，不僅能夠使學生們學好基本理論，還能增強學生們的自主創新精神，提高學生們自身的文化素養。此外，數學文化貫穿著生活學習中有關數學的一切，如美術，天文，音樂等，在教學過程中穿插數學文化的介紹與講解，讓學生在學習理論知識的過程中，可以深入感受數學文化的魅力，傳承數學文化的價值理念，弘揚數學文化的精神。

參考文獻

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