數學實驗：讓學生在課堂中自由行走

曹珺

摘? 要：在數學教學中運用數學實驗，有助于學生建構數學概念、形成數學判斷，進行邏輯推理。將數學實驗引入數學課堂，能讓學生發現結論、建構知識。通過數學實驗，能轉變學生的認知方式、思維方式、學習方式，從而不斷提升學生實驗力，發展學生的數學核心素養，讓學生在數學課堂中自由行走。

關鍵詞：小學數學;數學實驗;數學課堂

數學實驗是為了促進學生的數學思維、驗證數學猜想、歸納數學規律、解決數學問題而采用的一種具有建構性、探索性、創造性的活動。在數學教學中運用數學實驗，有助于學生建構數學概念、形成數學判斷，進行邏輯推理。作為教師，要調動學生數學實驗的積極性、開掘學生數學實驗的創造性，讓數學實驗成為學生需要，成為學生學習動力。通過數學實驗，轉變學生認知方式、思維方式、學習方式。

一、數學實驗，讓數學概念直觀可感

概念是學生數學學習的基石。理解概念，是學生數學學習的第一要務。但數學概念是抽象的、概括化的。數學實驗，能讓數學概念變得可感可觸。在實驗過程中，學生能經歷概念形成過程，建立對概念的本質理解，形成對數學知識脈絡的深刻洞察。布魯納認為，學生獲得數學概念的過程是一個逐步深入、遞進的過程。鮮明的數學實驗，讓抽象的數學概念得以形象地展示。通過數學實驗，學生能完成對概念的初步建構。

案例1：蘇教版六年級下冊“反比例的量”。

實驗背景：“反比例的量”這一數學概念，傳統的教學方式，就是教師簡單地、人為地出示大量的數量關系式，這些關系式有些是學生熟悉的，有些是學生不熟悉的。通過數量關系，抽象地概括數量關系的共同點，進而定義出“反比例概念”。這樣的一種教學，是一種形式化的教學，學生干澀地發現數量關系共同點，又囫圇吞棗地接受反比例的概念。學生對成反比例的量的概念學習是被動的、模型化的、模式化的。筆者在教學中，引導學生用數學實驗的方式探索，深化學生對概念的理解。

實驗過程：為了讓學生動態地、形象化地、直觀化地認識成反比例的量的特質，筆者給學生提供了結構化的實驗素材，包括網格紙、長方形紙。要求學生設計一個面積為24平方厘米的長方形，將這些面積為24平方厘米的長方形放置到網格紙中，讓長方形的一個頂點和兩條邊重合。在此基礎上，再給長方形的這兩條邊命名，一條邊所在的射線為x軸，另一條邊所在的射線為y軸，然后讓學生順次將長方形的另一個頂點連接起來。

實驗效果：在實驗過程中，學生找到了許多驚人的發現，諸如反比例圖像和正比例圖像不同，正比例是一條過原點的直線，反比例是一條曲線;構成的長方形長邊（一種量）越大、寬邊（另一種量）就越小，而長方形的面積保持不變（兩種量的積）;連成的反比例圖像，在x軸上越來越大，在y軸上就越來越小，反之亦然;反比例圖像向上無限接近y軸，向右無限接近x軸，但永遠不和y軸、x軸相交，等等。

美國數學教育家杜賓塞斯認為：“學生學習數學概念需要進行心理建構，只有在自身已有知識、經驗的基礎上，主動建構新知識的意義，才能達成真正的理解。”為了建立學生的“心理表征”，完成學生的“心理建構”。通過數學實驗，將反比例的量演繹得可觸可感，學生對“什么是反比例”“怎樣的數量關系是反比例”等本質有了深刻的感知、理解。

二、數學實驗，讓數學判斷直觀可觸

數學判斷是學生數學學習的一種重要形式。數學判斷是建立在數學概念基礎上的，需要學生調動自我已有知識經驗。瑞士教育心理學家皮亞杰深刻地指出，小學生的思維處于直觀動作向具體形象過渡的階段，抽象思維還處于萌芽、初始狀態。對于一些數學概念、公式、定義、原理等的判斷還依靠于具體形象。數學實驗，能讓數學判斷直觀可觸。

案例2：蘇教版二年級上冊“求比一個數多（少）幾的實際問題”。

實驗背景：學生對“求比一個數多（少）幾的實際問題”的解決障礙，往往集中于學生對“同樣多”沒有判斷。這是因為，作為低年級學段的二年級，學生還不能自覺地進行比較。傳統的教學，往往是教師畫圖，引導學生直觀觀察，其效果總是不盡人意。究其根本，是因為學生的思維仍然處于直觀動作階段。據此，我們用實驗的方法，引導學生認識“同樣多”，對“比一個數多（少）幾”形成精準的判斷。

實驗過程：對“求比一個數多（少）幾的實際問題”的解決，我們通過實驗，讓學生運用不同的方法讓兩個數量同樣多。具體而言，就是擺出一定數量的圓片、一定數量的三角形塑料片，讓學生想辦法，讓圓片和三角形塑料片同樣多。這樣，“同樣多”之于學生，就不是一個靜態的概念，而是一個動態的建構。有學生通過增加一些三角形塑料片，讓圓片和三角形塑料片同樣多;有學生通過減少一些圓片，讓三角形塑料片和圓片同樣多;還有學生通過移多補少，讓圓片和三角形塑料片同樣多。在實驗過程中，引導學生進行比較，引導學生判斷誰比誰多一些、多得多、同樣多。

實驗效果：通過實驗，學生不僅認識了“同樣多”“多一些”，而且提升了學習的技能，學生不僅會進行比較，而且認識到，要將兩堆物體變成相同，相差數應當是移動數的2倍，移動數應當是相差數的一半。通過數學實驗，學生不僅僅形成了靜態的認知，更形成了動態的判斷。深化了學生對數量關系的理解，讓學生掌握了解決問題的基本思路、基本策略、基本方法。學生對兩個數量是否同樣多、是多一些還是多得多、到底多多少、少多少等問題不再模糊，而是獲得了清晰的認知。

著名數學教育家G.波利亞深刻地指出：“抽象的道理很重要，但是要用一切辦法使它們能看得見、摸得著。”為了能讓學生的數學判斷更理性、更自覺，可以通過數學實驗，助推學生的數學判斷，讓學生掌握數學判斷的方法。抽象的數學原理通過數學實驗能變得可感可觸。

三、數學實驗：讓數學推理直觀可循

學生的數學推理是發展學生數學核心素養的重要手段。東北師范大學史寧中教授認為，學生的數學核心素養有三：抽象、推理、模型。數學概念的建立，主要依靠抽象。而數學推理則貫穿著學生數學學習的完整過程。小學數學教學，基于學生的年齡特點和認知規律，不宜采用那種純推理的學習方式，而應將直觀的教學與演繹教學結合起來。數學實驗，能讓學生的數學推理有跡可循。

案例3：蘇教版四年級下冊“三角形的三邊關系”。

實驗背景：“三角形的三邊關系”歷來是學生認識三角形的難點。很多教師在教學中都會安排簡單的“小棒實驗”，即讓學生用規格不同的小棒搭建三角形，從而讓學生認識到“只有當兩根小棒的長度之和大于第三根小棒的長度時，三根小棒才能拼接成一個三角形”。但是與此帶來的一個問題是，由于小棒本身的寬度、厚度的存在，許多學生認為，當兩根小棒的長度之和等于第三根小棒時，三根小棒也能拼接成三角形。顯然，三角形的三邊關系這一知識點是一種超驗性的知識。據此，我們讓數學實驗成為學生數理推理的向導。

實驗過程：對于“三角形的三邊關系”這一超驗性的數學知識，我們力圖通過實驗與推理相結合的方法，來廓清學生的認知。為此，我們分層次引導學生展開數學實驗：首先是兩根小棒的長度之和大于第三根小棒的長度;其次是兩根小棒的長度之和小于第三根小棒的長度;再次是兩根小棒的長度之和等于第三根小棒的長度。對于前兩次的實驗，學生都能達成共識。對于第三次實驗，我們在學生產生歧義時，讓學生用筆畫來進行實驗，學生通過實驗能發現兩根線段之和等于第三根線段時，這兩根線段與第三根線段重合了。這樣的實驗，能為學生運用“兩點之間線段最短”的推理教學奠定堅實基礎。

實驗效果：將數學實驗與數學推理相結合，是小學數學實驗教學應當采用的一種方式。數學實驗，是一種經驗性的數學學習，能為學生積淀豐富的感性認知。而數學推理，能讓學生的數學思維得到磨礪。數學實驗為數學推理提供了外援幫助，數學推理是數學實驗的內援支撐。將數學實驗與數學推理結合起來，能讓學生的數學學習從感性走向理性、從疏漏走向嚴密。學生不僅知其然，更知其所以然。

將數學實驗與推理融合，能讓實驗推動學生的推理，也能讓推理反哺學生的實驗。弗賴登塔爾說：“數學知識既不是教出來的，也不是學出來的，而是研究出來的。”數學實驗不僅是學生獲取知識的手段，更是幫助學生發現結論、找到“嚴格”證明結論的路徑。在數學實驗教學中，要引導學生用數學的眼光來觀照、用數學的大腦來分析、用數學的語言來表達，從而不斷提升學生的實驗能力，發展學生的數學核心素養。