把握模型本質(zhì)與聯(lián)系的數(shù)學(xué)建模教學(xué)

【摘要】數(shù)學(xué)建模是根據(jù)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，再對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，然后根據(jù)求解的結(jié)果去解決實(shí)際問題。在初中滲透數(shù)學(xué)建模思想，讓學(xué)生經(jīng)歷建模過程（知識建模、能力建模、方法建模和策略建模等），可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，同時(shí)培養(yǎng)他們的動(dòng)手能力和知識實(shí)際應(yīng)用能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模;課例研究;初中數(shù)學(xué)

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2020）67-0040-04

【作者簡介】潘建明，江蘇省常州市田家炳初級中學(xué)（江蘇常州，213002）副校長，正高級教師，江蘇省特級教師，全國模范教師，“江蘇人民教育家培養(yǎng)工程”首批培養(yǎng)對象，教育部“國培計(jì)劃”首批專家?guī)斐蓡T，中國數(shù)學(xué)奧林匹克高級教練。

數(shù)學(xué)模型（Mathematical Model）是用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)式子、程序、圖形等對實(shí)際問題本質(zhì)屬性的抽象而又簡潔的刻畫，它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略。數(shù)學(xué)模型一般并非現(xiàn)實(shí)問題的直接翻版，它的建立常常既需要人們對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行深入細(xì)致的觀察和分析，又需要人們靈活巧妙地利用各種數(shù)學(xué)知識。這種應(yīng)用知識從實(shí)際問題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程就稱為“數(shù)學(xué)建模”（Mathematical Modeling）。數(shù)學(xué)建模為學(xué)生提供了學(xué)習(xí)和探究的新載體，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決問題中的價(jià)值和作用，體驗(yàn)綜合運(yùn)用知識和方法解決實(shí)際問題的過程，增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用意識;同時(shí)也有助于激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和探究的興趣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要真正讓學(xué)生對數(shù)學(xué)建模思想有所感悟，需要經(jīng)歷一個(gè)長期的過程，我們應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的年齡特征和不同年級的要求，循序漸進(jìn)，逐步滲透，有效培養(yǎng)學(xué)生的建模意識和建模能力。在這一過程中，讓學(xué)生從相對簡單到相對復(fù)雜、相對具體到相對抽象，逐步積累經(jīng)驗(yàn)，逐步形成運(yùn)用模型思想去進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的習(xí)慣。本教學(xué)內(nèi)容是學(xué)完蘇科版九年級上冊第二章“對稱圖形——圓”后，結(jié)合蘇科版九年級《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊》（實(shí)驗(yàn)6：滾動(dòng)的圓）對多邊形周長和圓的弧長等相關(guān)知識的綜合應(yīng)用。這是筆者面向常州大市范圍內(nèi)開的一節(jié)公開課，請各位同行批評指正。

一、把握模型本質(zhì)

1.情境導(dǎo)入。

問題：如圖1，已知一個(gè)半徑為2cm的圓⊙D，在AABC的外部沿三角形的邊滾動(dòng)（無滑動(dòng)）一周，其中AB=5cm，BC=6cm，AC=7cm，求：當(dāng)⊙O滾動(dòng)結(jié)束時(shí)，⊙O的圓心O所運(yùn)動(dòng)的路徑的長度。

師：我們已經(jīng)學(xué)完了第二章“對稱圖形——圓”，今天我們來研究數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊的“實(shí)驗(yàn)6：滾動(dòng)的圓”，同學(xué)們先看老師給出的問題。

師：有答案的同學(xué)請舉手。（沒有學(xué)生舉手）你們?yōu)槭裁床慌e手？

生1：這個(gè)問題很有趣，但圓在三角形邊上滾動(dòng)，它的規(guī)律我還未發(fā)現(xiàn)，所以沒舉手。

生2：我做出了一個(gè)答案，但不敢確定，所以沒有舉手。

生3：我看到它是中考模擬題，心理壓力很大，思維有點(diǎn)“短路”。

師：看來這個(gè)問題對同學(xué)們的挑戰(zhàn)還是比較大的，下面我們先來從簡單的問題探究開始。

【教學(xué)意圖】關(guān)注對“未舉手”的提問，因?yàn)榻璋嗌险n是為了進(jìn)一步了解學(xué)情，了解學(xué)生的思維“斷點(diǎn)”和學(xué)習(xí)心理;開門見山地將這個(gè)問題讓學(xué)生先思考一下，讓學(xué)生明白對此類問題探究的重要性和必要性;也為本節(jié)課的前后呼應(yīng)設(shè)置一個(gè)懸念。

2.自覺體悟。

問題探究1：如圖2，半徑為r的圓沿著直線無滑動(dòng)地滾動(dòng)一圈，圓心所移動(dòng)的路徑是怎樣的圖形？圓心所經(jīng)過的路徑的長度是多少？

師：對問題探究1有結(jié)果的請舉手。

生4：這個(gè)問題在小學(xué)時(shí)就已經(jīng)探究過了。如圖3，在探究中我發(fā)現(xiàn)，在運(yùn)動(dòng)過程中圓上的每個(gè)點(diǎn)都緊緊貼在直線上所走過的線段長，與滾動(dòng)前后的圓心距剛好是矩形的一組對邊，因此可以判斷，圓心所運(yùn)動(dòng)的路徑是一條線段，圓心所經(jīng)過的路徑的長度是這個(gè)圓的周長為2πr。

問題探究2：如圖4，半徑為r的圓的滾動(dòng)路徑為：兩條總長度為m的直線段組成，其夾角為α，請?jiān)囍嫵鰣A心運(yùn)動(dòng)的路徑圖形，求其圓心運(yùn)動(dòng)的路徑長度。

師：你們在這個(gè)問題的探究中，其認(rèn)知難點(diǎn)在哪里？

生5：圓滾到點(diǎn)C后會(huì)怎么滾的問題。

師：好的，針對這個(gè)認(rèn)知難點(diǎn)，請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的硬幣先進(jìn)行自主實(shí)驗(yàn)和思考，再在小組內(nèi)相互交流。（學(xué)生操作、交流，教師巡學(xué)指導(dǎo)）

師：哪一個(gè)小組來展示你們的學(xué)習(xí)成果？

生6：我們研究發(fā)現(xiàn)圓滾到點(diǎn)C后圓心會(huì)繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后再滾動(dòng)，所以……

師（示意暫停，教師動(dòng)畫演示，如下頁圖5）：對這個(gè)問題的理解，大家有沒有問題？

生：沒問題！

生6：所以圓心運(yùn)動(dòng)的路徑是兩條線段長加上一段圓弧長，兩條線段長度之和為m。

師：那這段圓弧長是哪條弧的長度？

生6：是以C為圓心r為半徑的“弧DE”的長。半徑有了，只要求出圓心角的大小，事實(shí)上，我們作DC⊥AC、EC⊥BC，因?yàn)長DCA+∠ACB+∠BCE+∠DCE=360°，而ZACD=LBCE=90°，所以ZACB+LDCE=180°，又因?yàn)椤螦CB=α，所以∠DCE=180°-α，因而這段圓弧長為（180-α）πr/180，故其圓心運(yùn)動(dòng)的路徑長度為m+（180-α）πr/180。

【教學(xué)意圖】教學(xué)要讓學(xué)生明白認(rèn)知難點(diǎn)在哪里，這樣的探究才會(huì)有的放矢;通過獨(dú)立探究和小組交流，幫助中低學(xué)力的學(xué)生理解和掌握;這個(gè)環(huán)節(jié)揭示了算法模型的實(shí)質(zhì)，一定要讓全體學(xué)生徹底理解和掌握。

問題探究3：如圖6，將一個(gè)半徑為r的圓在一個(gè)周長為m的n邊形上滾動(dòng)（外部），請?jiān)囍嫵鰣A心運(yùn)動(dòng)的路徑圖形，求其圓心運(yùn)動(dòng)的路徑長度。

師：現(xiàn)在我們來看問題探究3，這個(gè)問題與探究2有什么聯(lián)系？

生7：問題探究2只是問題探究3的每個(gè)內(nèi)角處發(fā)生的情境。

師：很好！下面給5分鐘時(shí)間，請每個(gè)同學(xué)先獨(dú)立探究，再小組交流。

師：現(xiàn)在哪個(gè)小組來展示你們的合作成果？

生8：我們設(shè)n邊形的n個(gè)外角分別是α₁、α₂、α₃、…、α_n，則有∠α₁+∠α₂+∠α₃=360°，又因?yàn)椤螦BC+∠α₁=180°，由問題探究2可知，∠ABC+∠DBE=180°，所以∠DBE=∠α₁，DF=α₁πr/180，同理，圓在所有頂點(diǎn)處的所有弧長

則當(dāng)半徑為r的圓在一個(gè)周長為m的n邊形上滾動(dòng)（外部）時(shí)，其圓心移動(dòng)的路徑長度m+2πr。

師：大家聽明白了嗎？還有哪個(gè)小組有不同的想法嗎？

生9：我們小組和他們小組在解題思路上大體相同，但我們沒有假設(shè)每一個(gè)外角的度數(shù)，我們是這樣做的，由問題探究2可知，∠ABC+∠DBE=180°，可得：∠DBE=180°-∠ABC，所有的內(nèi)角處都存在這樣的情況，所以所有弧的圓心角之和為n·180°-（∠BC+∠BCD+…+∠HAB）=n·180°-（n-2）·180°=360°。

【教學(xué)意圖】為了突破學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)，教師指出了問題探究2和問題探究3的聯(lián)系，便于學(xué)生進(jìn)行認(rèn)知遷移;學(xué)生中有不同的思路，應(yīng)讓他們進(jìn)行展示，促進(jìn)學(xué)生建立關(guān)系性理解。

3.模型提煉。

（1）算法模型：如圖6，將一個(gè)半徑為r的圓在一個(gè)周長為m的n邊形上（外側(cè)）滾動(dòng)，則其圓心運(yùn)動(dòng)的路徑長度m+2πr。

（2）模型驗(yàn)證：當(dāng)半徑為r的動(dòng)圓沿著四邊形的外圍無滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)，請驗(yàn)證動(dòng)圓的圓心沿四邊形運(yùn)動(dòng)的路徑之和為：L=C_四邊形+C_圓周。

語言表述：一個(gè)圓在一個(gè)多邊形上（外側(cè)）滾動(dòng)（無滑動(dòng)），則其圓心移動(dòng)的路徑長度是多邊形與這個(gè)圓的周長之和。

二、建立模型聯(lián)系

1.驗(yàn)?zāi)８哪！?/p>

（1）完成導(dǎo)入情境中所提出的問題。

（2）如圖7，在矩形ABCD中，AB=6em，BC=4cm，有一個(gè)半徑為1cm的圓在矩形內(nèi)沿著邊AB、BC、CD、DA滾動(dòng)到開始的位置為止，則圓心所運(yùn)動(dòng)的路徑長度是（ ）。

A.20cm B.（20+2π）cm

C.（20-2π）cm D.以上都不對

學(xué)生的完成情況都很好，過程略。

【教學(xué)意圖】圓在矩形內(nèi)滾動(dòng)就不能用所提煉的算法模型，但能促進(jìn)學(xué)生對所提煉的算法模型適用前提的理解，讓學(xué)生學(xué)會(huì)辨模、改模和重新建模。

2.變式應(yīng)用。

（1）取兩枚同樣大小的硬幣，設(shè)半徑均為r，固定其中一枚，將另一枚硬幣繞其邊緣滾動(dòng)一周，那么它所滾動(dòng)的路徑是什么圖形？其圓心運(yùn)動(dòng)的路徑長度是多少呢？

（2）如圖8，有兩個(gè)大小不同的⊙A和⊙O，⊙A的半徑為R，圓⊙O半徑均為r，固定⊙A，將小圓繞其邊緣（外側(cè)）滾動(dòng)一周（無滑動(dòng)），那么小圓的圓心所運(yùn)動(dòng)的路徑是什么樣的圖形？其圓心運(yùn)動(dòng)的路徑長度是多少呢？

（3）圓在多邊形的邊上（外側(cè)）滾動(dòng)與小圓在大圓的圓周（外側(cè)）滾動(dòng)有什么聯(lián)系？試說出你的猜想。

師：剛才我們討論了圓在多邊形的邊上（外側(cè)）滾動(dòng)，現(xiàn)在我們討論圓在圓周上（外側(cè)）滾動(dòng)，大家先看問題（1），拿出硬幣先操作再交流。

生10：這個(gè)問題不復(fù)雜，如圖9，因?yàn)閮蓚€(gè)硬幣是等圓，所以動(dòng)圓的圓心所運(yùn)動(dòng)的路徑是一個(gè)半徑為2r的大圓，故圓心運(yùn)動(dòng)的路徑長度是4πr。

師：問題（2）的解決思路，誰來說一下？

生11：從如圖8中可以看出，動(dòng)圓的圓心所運(yùn)動(dòng)的路徑是一個(gè)定圓的圓心為圓心，半徑為（R+r）的圓，故圓心運(yùn)動(dòng)的路徑長度是2π（R+r）。

師：我們將2π（R+r）展開以后是什么結(jié)果？

生11：是2πR+2πr，是這兩個(gè)圓的周長之和。

師：我們回頭來看一下，

我們所提煉的算法模型中的結(jié)論是什么？

生11：一個(gè)圓在一個(gè)多邊形上（外側(cè)）滾動(dòng)（無滑動(dòng)），則其圓心移動(dòng)的路徑長度是多邊形與這個(gè)圓的周長之和。

師：有什么想法？

生11（豁然開朗）：可以將這兩個(gè)算法模型統(tǒng)一起來：一個(gè)圓在一個(gè)多邊形上（或圓）的（外側(cè)）滾動(dòng)（無滑動(dòng)），則其圓心運(yùn)動(dòng)的路徑長度是多邊形與這個(gè)圓（或兩圓）的周長之和。

師：事實(shí)上，如圖10，當(dāng)動(dòng)圓沿四邊形四邊外側(cè)滾動(dòng)時(shí)，其圓心運(yùn)動(dòng)的路徑之和為：L=C_四邊形+_圓周，而有了這個(gè)發(fā)現(xiàn)之后，我們按同樣的推理方式不難得出在五邊形、六邊形以至n邊形中都有著驚人的相似，所以有當(dāng)動(dòng)圓沿n邊形外圍滾動(dòng)一周時(shí)，其圓心運(yùn)動(dòng)的路徑長為L=C_n邊形+C_圓周。

當(dāng)多邊形的邊數(shù)逐漸增多時(shí)，多邊形漸漸失去了棱角，當(dāng)邊數(shù)趨近于無窮大時(shí)，多邊形就會(huì)變成一個(gè)圓，那么動(dòng)圓的圓心運(yùn)動(dòng)的路徑長度應(yīng)該為：L=C_定圓+C_{動(dòng)圓}。

生11：真奇妙，原來“直”和“曲”是可以統(tǒng)一的！

【教學(xué)意圖】這里的學(xué)習(xí)活動(dòng)基于對模型基礎(chǔ)背景的變式，能夠拓寬學(xué)生的視野。圓在另一個(gè)圓周上滾動(dòng)是中考經(jīng)常考的，也是需要研究的問題。通過建立起從“直”到“曲”的聯(lián)系，不僅完善了學(xué)生的結(jié)構(gòu)化認(rèn)知，還促進(jìn)了學(xué)生對模型之間的關(guān)系性理解。

數(shù)學(xué)建模思想的形成是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)工程，它是對數(shù)學(xué)知識、能力、策略等不斷進(jìn)行組織和再組織的過程。數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是為了發(fā)展學(xué)生的思維能力，而思維能力的提升是不可以直接傳授的，需要學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中不斷地體驗(yàn)、領(lǐng)悟、感悟和頓悟。在本節(jié)課中筆者讓學(xué)生經(jīng)歷模型分析、模型提煉、驗(yàn)?zāi)１婺！⒆兪铰?lián)系等核心過程，而不是一般的把學(xué)習(xí)時(shí)間還給學(xué)生，僅僅讓學(xué)生形式上得到自主、表面化合作和進(jìn)行沒有價(jià)值的“偽探究”，以此引領(lǐng)他們走向數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，使他們真正成為學(xué)習(xí)的主人，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育價(jià)值的追求：帶著知識走向?qū)W生不過是授人以魚，帶著學(xué)生走向知識才是授人以漁，這樣的教學(xué)才會(huì)有生命力。