精準建構數學起點型核心知識

劉正松

摘 ? ?要 ?學科知識是教育教學活動的載體，承載著培育學生學科核心素養的重任。教學中應重視起點型核心知識的教學，以“圖形的放大與縮小”為例，從學生練習中一道高錯誤率的習題入手，剖析背后的原因，并在實踐的基礎上提出課標要求明確細化、教材編排適度拓展、教師教學把握本質等建議，引領學生精準建構起點型核心知識，發展學科核心素養。

關鍵詞?核心知識 小學數學 教學研究

數學基礎知識是教育教學活動的載體，承載著培育學生數學素養的重任。然而，不同領域的知識縱橫交錯地分布在各年級教材中，教師唯有扣準核心知識，特別是那些處于某個知識領域、知識板塊、知識序列起始位置的核心知識[1]，設計必要的數學活動，精準建構，才能促使學生形成對知識的深度理解，彰顯知識背后獨特的育人價值。

一、問題

“圖形的運動”是“圖形與幾何”領域的重要內容，主要包括圖形的平移、旋轉、軸對稱、相似和投影。其中，“圖形的相似”是第三學段該領域的核心知識之一，往前追溯，第二學段中“圖形的放大與縮小”是這一核心知識的起點，作為典型的起點型核心知識，它與前后教學內容的聯系如圖1所示：

從圖1中我們可以充分感受到數學知識的關聯與結構的嚴謹。為了解學生對“圖形的放大與縮小”這一知識的掌握情況，筆者將一道習題（見圖2）編排在練習卷中，組織學生隨堂練習，結果顯示：被測試學校六年級8個班369名學生中，“按3：1的比畫出三角形放大后的圖形”這一問題的正確率為97.8%，而“按1：2的比畫出平行四邊形縮小后的圖形”這一問題的正確率僅為10.8%。學生的錯誤畫法如圖3所示：

兩道同一類型的題目，正確率差異如此之大，出乎筆者意料。驚訝之余，筆者就“按1：2的比畫出平行四邊形縮小后的圖形”這一問題對部分師生進行了訪談。當問及學生“做這題你是怎么想的？”時，大多數學生的第一反應是自己做錯了，然后迅速回看題目與解答，并反問：“難道不對嗎？”當我們明確回復“不對”時，他們說出了自己的想法：“題目要求按1：2的比畫出平行四邊形縮小后的圖形，這里的1：2是畫出的平行四邊形與原來平行四邊形對應邊長的比，原來平行四邊形的底是4，高是4，所以縮小后畫出的平行四邊形的底應該是2，高也應該是2。”從學生的回答中不難看出，學生的思路是很“清晰”的，這也便于我們找出問題的癥結所在。

更令筆者驚訝的是，在統計學生答題情況時發現有幾位教師竟將圖3中的答案判為正確。當我們將標準答案呈現在他們面前時，批改錯誤的教師立刻意識到自己錯了，并表示“當時批改得比較快，沒有仔細看”，也有個別教師追問筆者：“教材中的例題和習題都是將長方形、正方形或直角三角形按一定的比例放大或縮小，像平行四邊形的放大或縮小這樣的問題要教嗎？”顯然，這類問題教與不教也是困擾部分教師的問題之一。

二、歸因

學生學習中出現的問題與教師的教學密不可分，而教師教學中出現的問題其根源更加復雜，剖析問題背后的原因，將有助于我們更好地實施教學。

1.課標界定不清

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在第三部分“課程內容”中對“圖形的放大與縮小”是這樣要求的：“能利用方格紙按一定比例將簡單圖形放大或縮小。”[2]這里明確規定了 “圖形的放大與縮小”需借助方格紙進行，但對于“圖形”的界定有些模糊，所謂“簡單圖形”到底是哪些圖形？平行四邊形、三角形（指一般三角形，下同）、梯形（指一般梯形，下同）和圓是簡單圖形還是復雜圖形？課程標準并未明確。《義務教育數學課程標準（2011年版）解讀》一書對這一知識點的解讀如下：這里的“放大或縮小”不是嚴格的相似，主要是直觀感知，即放大或縮小后的圖形與原來的圖形形狀相同而大小不同。這將為第三學段研究圖形的相似運動和位似運動奠定基礎[3]。在這段解讀中，同樣沒有關于“圖形的放大與縮小”中“圖形”的界定。

2.教材以偏概全

教材的編寫是以課程標準為依據的，但課程標準并未明確具體的教學素材。于是，教材編寫人員一般根據學生的知識背景、認知規律和活動經驗選擇適合的素材編排學習內容。筆者分別查閱了人教版、蘇教版和北師大版小學數學教材，它們都將“圖形的放大與縮小”安排在六年級下冊教學，而且不約而同地選擇長方形、正方形和直角三角形這三種圖形作為教學素材。究其原因，長方形確定長和寬、正方形確定邊長、直角三角形確定底和高（互相垂直的兩條直角邊）也就確定了整個圖形，這與學生當初學習這些圖形特征時所認識的圖形的基本元素完全一致，而且這些邊都位于方格紙的格線上，其長度可以根據方格紙清楚地數出來。三種版本的教材都回避了平行四邊形、三角形和梯形等圖形，教師教學時也不曾關照，學生出錯率如此之高便不足為奇。

3.教師不求甚解

如今，一線教師大多都是正規院校畢業，我們不用懷疑他們的數學專業知識，但部分教師的責任心不夠，對一些教學問題不求甚解： 其一，也許是習慣了教材中常見的幾種圖形，導致有些教師對平行四邊形、三角形和梯形的放大與縮小這一問題缺少基本的認識，面對學生的錯誤全然沒有發現，批改出現差錯;其二，在各種教輔資料關于“圖形的放大與縮小”的練習中，我們經常可以看到三角形、平行四邊形等圖形的身影（見圖4、圖5）。這些練習與教材上的例題、習題相比，差別較大，而且學生的錯誤率極高，卻沒有多少教師對習題的編排是否得當產生懷疑。

三、嘗試

筆者以為，既然課程標準中安排這一內容，理應幫助學生建立正確的表象。倘若教學素材都是長方形、正方形和直角三角形這些特殊的圖形，學生雖能順暢地按指定要求將圖形放大或縮小，但據此認為學生已掌握了圖形放大與縮小的方法顯然是自欺欺人。為此，筆者在另一所學校六年級6個班237名學生中進行了對比教學實驗，當學生結合兩幅長方形圖片初步認識“圖形的放大與縮小”這一概念后，教師引導學生將長為4，寬為2的長方形先按3：1的比放大，再按1：2的比縮小，并比較放大或縮小前后的圖形，直觀感知變化前后的圖形形狀不變、大小發生變化這一顯性特征。在此基礎上，進一步選擇平行四邊形組織學生展開研究：

出示：

師：這是一個底是2，高是1的平行四邊形。如果把這個平行四邊形按2：1的比放大，會得到怎樣的圖形呢？閉上眼睛想一想。

接著出示：

師：有學生根據要求畫出這樣三個平行四邊形，他們畫得對嗎？先獨立看一看，再和小組同學說說自己的想法。

生1：①號和③號不對，②號是對的，看上去只有②號圖形和原來的平行四邊形形狀相同。

生2：我也認為②號是對的。雖然這三個平行四邊形的底和高都分別是原來平行四邊形的2倍，但①號和③號平行四邊形的角與原來的平行四邊形不同。

師：從同學們的交流中不難看出，我們把原來這個平行四邊形按2：1的比放大，如果只關注底和高，將底和高分別放大為原來的2倍還不行，還要關注什么？

生：還要關注角，如果邊與邊的夾角度數變了，圖形的形狀也就變了。

師：大家說得都有道理，不過怎樣才能確保這里的夾角度數不變呢？

生1：可以先用量角器量一量原來的夾角，然后畫放大后的圖形時先畫出一個同樣大的夾角，接著把原來角的兩條邊分別按2：1的比放大，確定相鄰的兩條邊就可以補充出完整的平行四邊形。

生2：還有一個簡單的方法，先在原來的平行四邊形中作出一條高，把這個平行四邊形分成一個直角三角形和一個直角梯形，然后先將這里的直角三角形按2：1的比放大，這樣就可以確定放大后圖形的夾角和相鄰兩條邊的位置了，然后在畫出的直角三角形上補充出完整的平行四邊形。

……

這一教學片段在整節課中用時不多，但意義深遠。試想，如果直接出示底是2，高是1的平行四邊形，讓學生按2：1的比放大，學生可能會在不知不覺中出錯，但轉換思路，先讓學生直觀想象一下，然后提供幾種答案讓學生選擇，學生在比較中大多能選出正確答案，從而聚焦于角度不變這一不易察覺的本質特征，使得“圖形的放大與縮小”這一起點型核心知識建構得更加精準。

一周后，筆者將這樣一道操作題（見圖6）編排在單元練習中，給該校六年級學生練習，結果顯示：正確率為91.1%。這一數據足以說明在教師有效的教學干預下，這類問題雖難度稍大，但大部分學生解答時并沒有太大的障礙。

四、建議

筆者以為，課程標準、各版本數學教材和一線教師無需遮遮掩掩，應理直氣壯地明晰“圖形的放大與縮小”的相關要求，幫助學生精準建構起點型核心知識。

1.課標應明確細化起點型核心知識的要求

學生數學學習的過程是逐步建構屬于自己的知識體系的過程。數學核心知識是知識體系中的主干，其重要性毋庸置疑，而起點型核心知識具有生長基因，它是知識體系建構的基礎，明確相應的教學要求將決定著知識體系的走向與深度。

既然六年級學生能按指定的比將平行四邊形、三角形和梯形放大或縮小，那么，作為教材編寫和教師教學向導的課程標準對第二學段“圖形的放大與縮小”的要求應更為精確。首先，這里的“圖形”應涵蓋小學階段學習的六種基本圖形：長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形和圓。其次，考慮到三角形、平行四邊形和梯形在放大或縮小的過程中確實難于長方形、正方形和直角三角形，因此，對這幾種圖形的教學可分別對待。對長方形、正方形、直角三角形、直角梯形和圓的要求為“能利用方格紙按一定比例將長方形、正方形、直角三角形、直角梯形和圓放大或縮小”，這里需要達到再現的水平;對于平行四邊形、三角形、梯形的要求為“在具體情境中能正確判別平行四邊形、三角形和梯形的放大與縮小”，這里只要求達到再認的水平。如此要求，清晰準確地表達了第二學段“圖形的放大與縮小”所要達成的目標，其中，對長方形、正方形、直角三角形、直角梯形和圓這五種平面圖形重在體驗簡單圖形放大和縮小的方法，而平行四邊形、三角形、梯形重在體會相似變換的特點，從而豐富學生對“圖形的放大和縮小”的體驗。

2.教材須適度拓展起點型核心知識的編排

學生的現實是我們開展教育教學活動需要關注的首要因素。因此，有時基于學生的認知與心理特征，某些起點型核心知識編排時只能點到即止，但為了幫助學生形成清晰的認識，完善其認知結構，需要進行適度的拓展與延伸，滿足學生的個性化學習需求。

回顧“圖形的放大與縮小”的相關教材，面對課程標準較為籠統的提法，各種版本的教材都十分審慎地進行了編寫，這本無可厚非。但實踐表明，倘若我們僅用長方形、正方形和直角三角形這三種特殊的圖形作為研究對象，教學“圖形的放大與縮小”的相關知識，難以幫助學生建立清晰、正確的表象。不過，將所有學過的平面圖形作為研究對象，統一要求，又明顯增加了學習的難度。好在教科書天然蘊含選擇的基因。它所承載的內容或所謂內部知識空間的內容，都是從浩瀚的外部知識素材中選擇來的[4]。因此，我們編寫教材時應尋找兩者的中間地帶，既還學生清晰的認知，又不加重學生的學習負擔。蘇教版數學教材已做了一些有益的嘗試，教材在練習最后編排了一個內涵十分豐富的實踐活動——“動手做”（見圖7）。“動手做”選取了四個圖形，除第一個長方形外，其余三個都是一般的圖形。如此編排足可見編者的良苦用心：一方面，學生通過對具體實例的觀察和比較，從不同的視角學習把一個簡單圖形放大的方法，有利于學生進一步積累把平面圖形放大或縮小的經驗，加深對所學知識和方法的理解;另一方面，這幾個圖形恰好是對例題幾個圖形的有效補充，呈現的方法更便于學生把握圖形相似變換的本質特征，讓學生對所學平面圖形的放大與縮小有一個較為完整、清晰的認識。

3.教師要準確把握起點型核心知識的本質

起點型核心知識在學生知識體系建構過程中的獨特價值毋庸置疑。因此，教師應準確把握知識本質，慎重對待起點型核心知識的初次教學，讓學生獲得正確的知識、有效的方法、合理的策略，以保證在后續教與學的過程中能夠順利建構新知識[5]。

“圖形的運動”在義務教育數學課程內容中最基本的形式有兩種：一是形狀和大小不變，僅僅位置發生變化，如平移、旋轉和軸對稱;二是改變圖形的大小，不改變圖形的形狀，如圖形的放大與縮小。可見，相似是不同于平移、旋轉、軸對稱的另一種圖形變換，它改變兩點間距離的大小，不改變角的大小，因此也稱為“保角變換”。從學生練習中出現的問題我們不難想到，教學中結合具體的例子讓學生感知到變換過程中的“保角”尤為關鍵。當然，所有這些唯有教師自己能透徹地理解，才有可能尋找到學生悅納的方式展開教學。一個最為樸素的原則就是起點型核心知識寧可少教或不教，也不能教錯，否則，一旦埋下錯誤的種子，后面再補救反而得不償失。

知識說到底就是教學的媒介，教學的宗旨是通過知識的學習促進學生核心素養的發展[6]，但過多過雜的知識教學會在不經意間沖淡教育教學的本源目標。因此，系統梳理教材中的教學內容，厘清核心知識，并選擇起點型核心知識展開深度教學，無疑是一線教師最為智慧的選擇。

參考文獻

[1] 魏光明.小學數學起點型核心知識的認識及研究視角[J].數學教學通訊，2019（31）.

[2] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[3] 教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[4] 石鷗，張美靜.被低估的創新——試論教科書研制的主體性特征[J] .課程·教材·教法，2019（11）.

[5] 魏光明，王俊亮.小學數學“起點型核心知識”教學初探[J] .江蘇教育研究，2018（10）.

[6] 余文森.從“雙基”到三維目標再到核心素養——改革開放40年我國課程教學改革的三個階段[J]. 課程·教材·教法，2019（09）.

[責任編輯：陳國慶]