微分方程教學設計之線性化思想的應用

摘要：線性化的思想被廣泛用于微分方程的研究。通過從教科書中選擇與微分方程有關的示例，將線性化思想應用于微分方程的精確求解過程，可以增強學生對線性化的理解，并激發學生對研究與微分方程相關內容的興趣。

關鍵詞：微分方程;教學設計;線性化思想;應用

一. 引言

求解微分方程（解析和數值解）的問題是微分方程研究的基本問題之一。目前，國內大學常用的教科書介紹了常微分方程的所有基本解，例如經典的分離變量法和積分元法。線性微分方程的解比非線性微分方程的解更加成熟，并且教科書中對線性微分方程的解的介紹相對全面，尤其是對于一階線性微分方程的解。在課程中，學生可以學習求解許多簡單類型微分方程，雖然得到了正確答案，但是事實證明他們仍然對方程本身以及它們之間的轉換關系缺乏了解。例如，可以通過變量變換將伯努利方程式變換為線性導數。學生雖然表面上看好像掌握簡單的微分方程的解，但實際上，他們對這個問題缺乏深入的了解。本文主要介紹線性化思維在整個微分方程研究中的應用，并通過具體示例，展示微分方程教學設計之線性化思想的應用

二. 教學設計分析

（一）融合背景，內容精煉.

微分方程課程的教育目的是連接過去和未來，與現實融合并面對邊界。這是一門學習微積分、線性代數、復數函數的課程，是后續功能分析、計算方法和其他專業課程的基礎。一方面，課程的內容緊跟工程實踐，使學生能夠理解生活中的數學;另一方面，課程的內容面向學科的邊界，面向數學的熱點。科學研究，面向新時代，培養理性分析和解決問題的能力。創新能力。受時間限制，課程內容應突出相關的物理背景，適當結合實際的工程背景，并確保課程內容得到改善。例如，數學物理方程中包含的三個偏微分方程的推導是本課程中的第一個難度級別。在講述時，必須首先清楚地解釋所討論的物理現象，指出限制該現象的相關物理定律，并分析物理定律。物理量之間的數學表達式關系，最后是適當的數學處理和相應方程的推導。在建立模型的過程中，不斷融合實際問題的物理背景，用數學語言描述和表達這些物理現象和實際問題.不同典型方程分別對應不同的物理背景，三類方程中的系數和非齊次項也包含了不同的物理含義.講解時著重講清實際背景，要從數學建模開始，也要貫穿基本概念的建立和主要結果的剖析.如此講解與分析可以使數學概念和結果更加直觀，有助于培養學生數學直覺與想象力、對工程技術問題的理解力.

（二）剖析思想，深入淺出.

微分方程本身包含大量數學思想，例如數學建模思想，簡化復雜問題的思想，清晰解決方案的良好態度思想，級數和積分的收斂與發散思想，形式解和數值解。教師應使用數學知識作為交流工具，以誘使學生挖掘，完善和概括知識背后的數學思維，以便他們可以從隱性形式轉換為顯式形式，從而可以從數學知識和數學方法的模棱兩可的經歷中轉換。學生記憶被轉化為清晰的理解、精通和靈活的應用，最終完成了對數學知識和數學方法的必要理解。在講授本課程時，教師不僅應努力介紹基礎知識，還應強調課程中包括的數學思想，并在培養數學素養和數學思維能力的同時，幫助學生學習和獲得知識。簡化復雜問題的想法應在差異化過程中得到充分體現。高度綜合的復雜問題通常分解為多個簡單問題，并解決了簡單問題，以完成對復雜問題的分析和解決。例如，它解釋了根據物理定律建立清晰的微分方程解的方法，忽略了瑣碎的因素，并將實際問題轉化為數學模型。

三.實例分析

（一）微分線性化

考慮二階非線性方程

（1）

其中：? 表示函數? ?（ ） 關于自變量 x 的導數.對方程（1）進行微分，可得

（2）

通過微分，將微分方程（1）的解轉換為方程y0和線性微分方程 的解。 顯然，求解微分方程 比直接求解方程（1）容易得多。

（二）偏微分方程線性化

與普通微分方程相比，精確求解偏微分方程更加困難。然而，數學家和物理學家提出了一套精確求解偏微分方程的方法，例如分離變量的方法和反向散射的方法。本文介紹了孤子理論中著名的KdV方程，并利用行波約化的方法給出?方程的單孤立子解以及兩孤子解。的確，在這一部分中，學生可以繼續通過偏微分方程的線性化探索線性化的概念，以增強學生對微分方程線性化的理解。

KdV 方程的表達式為：

（3）

引入變換

（4）

得到

（5）

方程（5）仍然是一個非線性方程，看起來比方程（3）本身更復雜，但是由于方程中的每個項都是由函數f及其導數的乘積組成的二次函數，因此該方程可以視為 （5）雙線性方程。日本學者（Ryogo Hirota）引入了以他命名的Hirota雙線性算子，以便以更簡潔的形式編寫雙線性方程。最后可以算得兩個孤子解，即

（6）

四.結論

綜上所述可以分析得到，可以通過分析常微分方程過程的教學狀況和學生的數學基礎，建立課程的教學設計策略以及分析教學困難來獲得這一目標。以解決方案的存在性和新穎性為例，探索“整合背景、分析思想、延伸課堂、應用分析”的設計理念，以培養學生分析問題，解決問題和創新科學研究的能力。

參考文獻：

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李愛玲

（河北北方學院