例談高中數學直觀想象核心素養的培養

胡娜

【摘要】《普通高中數學課程標準（2017版）》提出了六個數學核心素養，直觀想象核心素養是其中之一。文章在闡述直觀想象核心素養的內涵之后，提出學生直觀想象素養的培養可以從幾何直觀和空間想象兩個方面進行，借助幾何直觀將不容易掌握的數學問題進行直觀化與簡明化;借助空間想象幫助學生認識空間幾何體的結構特征，能想象空間圖形之間的分解與組合，展開與折疊等。教材中的探究題、例習題，以及高考真題都是很好的素材，本文借助這些素材在解題教學中，有意識地從幾何直觀和空間想象兩個方面滲透對學生直觀想象素養的培養。

【關鍵詞】直觀想象;數學核心素養;幾何直觀;空間想象

【中圖分類號】G633.6【文獻標識碼】A【文章編號】1992-7711（2020）32-207-03

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：直觀想象素養是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養。

本文提出，學生直觀想象素養的培養可以從幾何直觀和空間想象兩個方面進行，借助幾何直觀將不容易掌握的數學問題進行直觀化與簡明化;借助空間想象幫助學生認識空間幾何體的結構特征，能想象空間圖形之間的分解與組合，展開與折疊等。教材中的很多探究題、例習題，以及高考真題等都是很好的素材，本文借助這些素材，在解題教學中，有意識地從幾何直觀和空間想象兩個方面滲透對學生直觀想象素養的培養。

一、借助“幾何直觀”培養學生素養的直觀想象案例

關于幾何直觀，著名數學家徐利治教授曾給出這樣的定義：借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知。這種利用幾何圖形來認識、描述和理解數學問題，再進行數學思考和分析的過程，非常符合高中生的學習特點。

例1? （人教A版必修4，P23探究題）給定一個角α

（1）角π-α、π+α的終邊與角α有什么關系？它們的三角函數之間有什么關系？

（2）角-α的終邊與角α的終邊有什么關系？它們的三角函數之間有什么關系？

（3）角; -α的終邊與角α的終邊有什么關系？它們的三角函數之間有什么關系？

分析;這是人教A版必修4，P23的一道探究題，此探究題是在學習了用單位圓定義三角函數之后，用來探究《1.3三角函數的誘導公式》的。考慮到角的終邊是條射線，且與單位圓的交點可以定義三角函數，故可以從單位圓關于x軸，y軸，直線x=y的軸對稱性以及關于原點O的對稱性出發，獲得解題思路。

結合單位圓定義三角函數的知識，把給定的角α放到直角坐標系中，畫出圖形，角α的終邊與單位圓的交點記為點A，如圖1.對于問題（1）中的角π-α、π+α，按照相同方法畫出圖形，角π-α、π+α的終邊與單位圓的交點分別記為點B，點C，如圖2，引導學生“看”圖，易知道點A與點B關于y軸對稱，點A與點C關于原點O對稱，即角π-α的終邊與角α的終邊關于y軸對稱;角π+α的終邊與角α的終邊關于原點O對稱。根據點A與點B，點A與點C的坐標關系，從而推理出角π-α與角α的三角函數關系，見公式二;π+α與角α的三角函數關系，見公式四。

對于問題（2）中的角-α，題（3）中的角; -α，畫出圖形，終邊與單位圓的交點分別記為點D，點E，如圖3和圖4，引導學生“看”圖，易知道點A與點D關于x軸對稱，點A與點E關于直線x=y對稱，即角-α的終邊與角α的終邊關于x軸對稱;角的; -α終邊與角α的終邊關于直線x=y對稱。根據點A與點D，點A與點E的坐標關系，從而推理出角-α與角α的三角函數關系，見公式三;; -α與角α的三角函數關系，見公式五。

說明 在教學中，如果問題有明顯的幾何背景，首先應引導學生畫圖、看圖、想圖并形成習慣，其次引導學生借助圖形分析獲得求解的思路，使學生養成從直觀圖形的角度觀察并思考問題的習慣，優化數學結論的形成過程，進而提高了數形結合思想解決數學問題的能力。

例2? （2019年全國新課標Ⅱ卷理第11題）設F為雙曲線C：;-; =1（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P，Q兩點。若|PQ|=|OF|，則C的離心率為 （; ）.

A.? 2;;;;B.? 3? C.2;;; D.? 5

分析 這是2019年全國新課標Ⅱ卷理第11題，是一道考查圓錐曲線的綜合類小題，這類試題在高考試卷，以及各地的高考模擬題中很常見。如圖5，設PQ與x軸交于點A，由對稱性可知PQ⊥x軸，又因為|PQ|=|OF|=c，所以|PA|=; ，即PA為以OF為直徑的圓的半徑，故|OA|=;，即P（? ， ），又點P在圓x2+y2=a2上，故; +;

=a2，即;=a2，所以e2=

;? =2。所以e= 2，故選A.

說明 幾何直觀的載體是圖形，依靠直觀，通過讓學生動手實踐，直觀分析，讓他們切身體會到幾何直觀分析對簡化解題的重要性，從而增強主動畫圖，用圖分析的意識，進而培養學生的直觀素養。

例3? （2018年全國新課標Ⅲ卷理第6題）直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓（x-2）2+y2=2上，則△ABP面積的取值范圍是（;; ）

A.[2，6];; B.[4，8];; C.[? 2 ，3? 2? ];;D.[2? 2? ，3? 2 ]

分析 這是2018年全國新課標Ⅲ卷理第6題，是一道平面解析幾何類小題，屬于難度中檔的試題，但是如果學生沒有掌握此類題蘊含的“幾何”模型，而選擇用代數的方法解決時，會在運算上有困難，可能求解不出結果。所以，需要挖掘問題背后的“幾何”問題，構建恰當的“幾何”模型。

實際上A，B兩點是定點，即線段AB是定線段，要求△ABP的面積的取值范圍，需把握“變”量與“不變”量，盡可能的選擇“變”量少的面積公式。故構建“點到確定直線的距離”這個“幾何”模型，借助幾何直觀使題目簡單化。

由題意易求A（-2，0），B（0，-2）則|AB|=2 2 .因為點P在圓（x-2）2+y2=2上，所以圓心Q的坐標為（2，0），圓的半徑r= 2 ，則點Q到直線的距離h=;;;;= 2? 2，如圖6，故動點P到直線x+y+2=0的距離d∈[h-r，h+r]，即d的范圍為[? 2? ，3? 2 ] ，則S△ABP=; |AB|d=? 2 d∈[2，6] ，故答案為A.;;;;;;;;

說明 教師通過引導學生挖掘問題背后的“幾何”背景，利用圖形的直觀性，建立“幾何”模型，將△ABP的面積的取值范圍，轉化到求解點到直線距離的取值范圍，利用距離公式求出結果。學生通過不斷積累經驗，就能快速“悟”出解題方法，這對于培育學生直觀想象這個核心素養具有關鍵的指導作用。

二、借助“空間想象”培養學生素養的直觀想象案例

空間想象幫助學生認識空間幾何體的結構特征，學生在會畫空間圖形的基礎上，能想象空間圖形之間的分解與組合，展開與折疊等，所以，立體幾何版塊的教學內容是培養直觀想象素養非常好的載體。

例4? （2018年全國新課標Ⅰ卷理第7題）某圓柱的高為2，底面周長為16，其三圖如圖7，圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B，則在此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為（; ）.

A.2? 17 B.2? 15;;;;C.3 ;? D.2

分析 這是2018年全國新課標Ⅰ卷理第7題，是一道立體幾何類小題，屬于難度中檔的試題。首先，學生需要通過“看”三視圖中的點A，B，“想象”它在原圖——圓柱中的位置，然后在此幾何體的表面考慮點M，N的最短路徑問題。由于幾何體表面的兩點之間距離，從立體幾何圖看是曲線，不易求解，需要學生用轉化思想，先根據幾何體“想象”怎么通過表面展開，轉化為平面問題變曲為直，利用幾何性質求解。

通過三視圖發現圓柱上點M，N的位置，如圖8.幾何體表面的兩點之間距離，從立體幾何圖看是曲線，通過“想象”圓柱的特殊性質，選擇沿過點M的母線把圓柱展開，如圖9，發現兩點之間線段最短，直接連接點M，N，求得MN= 22+42=2? 5 ，即為最短路徑的長度。故答案為B.

說明 許多幾何問題的背后都有一個代數模型，需要通過“想象”挖掘出其代數意義，才能使復雜問題簡單化，最終尋求解題突破。

學生通過空間幾何體的結構特征，能“想象”空間圖形表面的展開與還原，是培養想象素養的非常好的思維方式。

例5? （2017年全國新課標Ⅰ卷理第7題）某多面體的三視圖如圖10所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三形，該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為（;? ）.

A.10 ;;;; B.12;;;; C.14 D.16

分析 這是2017年全國新課標Ⅰ卷理第7題，是一道立體幾何類小題，屬于難度中檔的試題。其實，依據三視圖憑空想象此多面體的原圖解題是比較困難的，依據常規方法，對學生的空間想象能力的要求較高，如果利用常見幾何模型，從中找此幾何體就會變得較簡單。

根據三視圖還原的幾何體是個組合體，如圖11.是由三棱柱ABC-DRF和三棱錐E-FDR組成的。則該幾何體各面內只有兩個相同的梯形，則這些梯形的面積之和為2×（2+4）×2×; =12，故選B.

說明 學生對長方體的空間認識比其他幾何體多，利用長方體解決空間幾何體問題能有效減輕學生的認知負荷。空間幾何體的課堂教學內容為培養學生直觀想象素養提供了素材。

例6? （人教A版必修2，P79B組第1題）如圖，邊長為2的正方形ABCD中，

（1）點E是AB的中點，點F是BC的中點，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點A'，求證：A'D⊥EF.

（2） 當BE=BF=; BC時，求三棱錐A'-EFD的體積.

分析 這是人教A版必修2，P79B組第1題，是一道立體幾何類大題，屬于難度中檔的試題。題目涉及到平面圖形的折疊，折疊前是平面圖形，折疊后是空間幾何體。關于折疊問題，需要學生依靠經驗，總結出折疊前后的變量與不變量，這是解決這類問題的關鍵。;

折疊前的關系：AD⊥AE，CD⊥CF折疊后的關系：A'E⊥A'D，A'F⊥A'D。對于問題（1），因為A'E⊥A'D，A'F⊥A'D又因為A'E∩A'F=A'，A'E，A'F?平面A'EF，所以，A'D⊥平面A'EF，因為EF?平面A'EF，所以A'D⊥EF.

問題（2），因為A'D⊥平面A'EF，所以A'D是A'到平面A'EF的距離，且A'D=2.在Rt△BEF中，BE=; AB=;，BF=

BC=;? 所以EF=? BE2+BF2;=;? .在△A'EF中，A'E=; AB

=;，A'F=; BC=;? ，EF=;? ，所以△A'EF是等腰三角形，如圖14.求出△A'EF底邊的高

h=? A'F2-（;EF）2;=（; ）2-（; ）2 =;; .

可求出△A'EF的面積，S△A'EF=; EF·h=; ×; ×;

=;; 所以VD-A'EF=;? S△A'EF·A'D=;? ×;? ×2=;;的體積。又VA'-DEF=VD-A'EF，所以VA'-DEF=;; .

說明 平面圖形的折疊問題是立體幾何常考題型，關于折疊問題，需要學生依靠經驗，重視分析平面圖形到立體圖形的幾何特征，位置關系，以及數量關系的變化情況，在整個解題過程中，學生發現了問題、分析了問題，最終解決了問題，提高了空間想象能力。

三、結束語

課堂教學是培養學生核心素養的主要途徑之一，隨著對核心素養的考查力度的增加，高中數學教師應該讓核心素養，特別是直觀想象核心素養，在數學課堂實踐中落地，更需要深挖掘出教材中蘊含直觀想象核心素養的切實可行的案例在課堂上呈現。

【參考文獻】

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018

[2] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018

作者單位

（廣州市第八十一中學;廣東;廣州;510000）