數學核心素養導向的學業測評研究

張東年 張天寧 賈隨軍

[摘? 要] 義務教育階段數學核心素養評價決定了數學教學，影響培養學生數學核心素養任務的落實. 此問題的研究應思考其在測評領域的相關問題. 文章以2019年蘭州數學中考試卷為例，研究數學核心素養在中考中的考查情況.

[關鍵詞] 課程標準;數學核心素養;中考命題;測評

引言

2014年3月，教育部印發《教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》，明確提出研究制定學生發展核心素養體系和學業質量標準. 根據核心素養體系，明確學生完成不同學段學習內容后應該達到的程度要求，指導教師準確把握教學的深度和廣度，使考試評價更加準確反映人才培養的要求. 2016年9月，北京師范大學舉行的中國學生發展核心素養研究成果發布會上公布了《中國學生發展核心素養》的總體框架及基本內涵，將學生核心素養定義為“學生應具備的，能夠適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力”[1]. 中國學生發展核心素養的落實需要通過課程改革、教學實踐、教育評價三個渠道加以落實，而培養學生的數學核心素養，尚需研制相應的評價標準[2]. 盡管當下核心素養的提出與核心素養評價標準的制定源于高中課程改革，但是關注義務教育階段學生的核心素養是我國教育改革的必然走向和趨勢. 面對這種情況，喻平、董林偉率先把數學核心素養的概念引申到初中和小學，對義務教育階段數學核心素養作了內涵界定和水平劃分，同時，研制出考查知識學習與數學核心素養發展雙重功能測試的評價框架[3]. 我國部分地區參考了喻平的“數學核心素養評價框架”來分析本地區中考命題中數學核心素養的考查情況[4-6]，而我國西北地區關于核心素養測評的實證研究幾乎沒有.

學業測評是檢驗學習效果和教學目標一致性程度、檢驗教學質量的主要手段，更是檢驗數學核心素養落實情況的途徑，同時測評結果對教學實踐具有重要導向作用. 因此，有必要研究中考試題對核心素養的考查現狀，在此基礎上提出以核心素養為導向的中考命題依據.

研究對象

？搖我國部分研究者以浙江省、河北省中考試題為樣本研究中考試題中數學核心素養的考查情況，說明中考試題是檢測數學核心素養落實情況的主要途徑. 2019年3月蘭州市公布的《2019年蘭州市初中畢業生學業考試說明》明確提出“命題將根據學科課程標準，進一步減少機械記憶類試題的數量，逐步滲透以培養學生創新精神和實踐能力為核心的教育理念”，要求學業測評落實學科核心素養.

本研究以2019年蘭州市初中學業水平考試（數學A）（以下簡稱“中考”）為研究對象，對數學核心素養的考查進行分析.

研究工具

本研究主要從數學核心素養的具體劃分描述（量化）和數學核心素養的具體試題分析（質化）兩個維度（見圖1）分析研究初中學業水平考試（數學）對數學學科核心素養的考查情況.

1. 數學核心素養的劃分描述

我國研究者將《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）界定的10個核心概念，即數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創新意識作為10個核心素養[7]. 本研究以《課標》中的10個核心概念為主體框架，并結合喻平的“數學核心素養評價框架”，對數學核心素養的具體行為表現進行描述（見表1）. 以表1為依據，分析中考對數學核心素養的考查情況.

表中數學核心素養的具體表現及水平劃分不但參考了高中數學核心素養水平劃分框架，更與《課標》所規定的相應的課程內容、目標及其要求相適應，而應用意識和創新意識分布于上述各個核心素養的要素中. 基于以上分析，初中數學核心概念與高中數學核心素養形成一一對應的關系，其中數感與符號意識對應數學抽象;推理能力對應邏輯推理;模型思想對應數學建模;空間觀念與幾何直觀對應直觀想象;運算能力對應數學運算;數據分析觀念對應數據分析. 需要說明的是，由于每個數學核心素養在發現和提出、分析和解決問題中，各自在不同的環節發揮著不同的作用，而且相互“交叉”、相互“滲透”，同一道試題可能會涉及多個核心素養. 為此，研究時選擇該試題重點體現的一個核心素養進行分析統計.

2. 考查數學核心素養的試題例析

（1）考查“數學抽象”素養的試題例析.

題目21：2019年5月，蘭州市第三屆“國學少年強——國學知識挑戰賽”總決賽拉開帷幕，小明晉級了總決賽. 比賽過程分兩個環節，參賽選手須在每個環節中各選擇一道題目. 第一環節：寫字注音、成語故事、國學常識、成語接龍（分別用A，A，A，A表示）;第二環節：成語聽寫、詩詞對句、經典誦讀（分別用B，B，B表示）. 請用樹狀圖或列表表示小明參加總決賽抽取題目的所有可能結果.

該題目以實際問題為背景，考查隨機事件的所有可能結果. 解答此題需要考生能夠將實際問題抽象成一個數學問題，能夠識別實際情境（“知識競賽”）中的數學模式，具有用數學語言（樹狀圖或表格）表征模式的能力，即對數學抽象素養的考查.

（2）考查“邏輯推理”素養的試題例析.

？搖？搖題目27：如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2. 將斜邊AB繞點A順時針旋轉一定角度得到AD，過點D作DE⊥AC于E，∠DAE=∠ABC，DE=1，連接DO交⊙O于點F. ①求證：AD是⊙O的切線;②連接FC交AB于點G，連接FB，求證：FG2=GO·GB.

該題目以平面幾何為知識載體，考查學生對“圓的切線”的判定，對全等三角形、相似三角形的性質、判定等幾何知識的掌握.解決第一小題需要利用等角的余角相等或平角定義推理得出∠BAD=90°，從而得到AD是⊙O的切線;解決第二小題先要作出輔助線，再通過推理得出三角形全等和三角形相似，最后得出結論（見表2）. 考試要求寫出完整的推理過程，整個問題對學生的邏輯推理能力提出了較高要求.

（3）考查“數學建模”素養的試題例析.

題目25：某數學課題研究小組針對蘭州市住房窗戶“如何設計遮陽棚”這一課題進行了探究. 過程如下：

①問題提出. 如圖3是某住戶窗戶上方安裝的遮陽棚，要求設計的遮陽棚能最大限度地遮住夏天炎熱的陽光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內.

②方案設計. 如圖4，該課題研究小組通過調查研究設計了垂直于墻面AC的遮陽棚CD.

③數據收集. 通過查閱相關資料和實際測量：蘭州市一年中，夏至日這一天的正午時刻太陽光線DA與遮陽棚CD的夾角∠ADC最大（∠ADC=77.44°）;冬至日這一天的正午時刻，太陽光線DB與遮陽棚CD的夾角∠BDC最小（∠BDC=30.56°）. 窗戶高度AB=2 m.

④問題解決. 根據上述方案及數據，求遮陽棚CD的長. （結果精確到0.1 m，參考數據：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59，sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49）

該題目以三角函數和解直角三角形為知識載體，實際問題為背景，命題過程呈現出完整的數學建模過程（見表3），但問題起點低，學生容易解決問題，使學生經歷數學建模的全過程，能讓不同層次的學生展示自己對模型思想的理解. 具體考查三角函數（正弦、余弦和正切）的定義，以及直角三角形的相關知識點，并對數學運算、邏輯推理等素養提出一定要求.

（4）考查“直觀想象”素養的試題例析.

題目10：如圖5，在平面直角坐標系xOy中，將四邊形ABCD先向下平移，再向右平移得到四邊形A1B1C1D1，已知A（-3，5），B（-4，3），A1（3，3），則B1的坐標為_____.？搖？搖

該題目是關于平面幾何、圖形平移變化以及平面直角坐標系中點的坐標的問題. 從知識與技能層面來看，綜合考查了學生對圖形平移變換與圖形中點的坐標的關系等知識. 為了求出B1的坐標，學生先根據平面圖形中點的坐標來判斷圖形的平移方向，再利用點的平移與坐標之間的關系求出點的坐標. 從思想與方法層面來看，問題較好地考查了學生直觀形象、空間想象與數學運算等素養，在直觀想象的形成過程中，引導學生不斷提高用解析幾何解決問題的意識，提升數形結合的使用能力. 該題主要考查的素養是直觀想象.

（5）考查“數學運算”素養的試題例析.

題目18：化簡：a（1-2a）+2（a+1）（a-1）.

該題目是關于代數式化簡運算的問題，難度較低，考查了單項式與多項式、多項式與多項式的乘法法則（或平方差公式），冪的乘方，去括號法則以及合并同類項等主要知識. 該題主要查考的素養是數學運算.

（6）考查“數據分析”素養的試題例析.

題目24：小佳和小麗分別對八年級一班和二班本門課程期末成績進行了調查分析. 小佳對八年級一班全班學生（25名）的成績進行分析，過程如下：

第一步，收集、整理數據.

第二步，分析數據.

小麗用同樣的方法對八年級二班全班學生（25名）的成績進行分析，數據如下：

根據以上信息，解決下列問題：①已知八年級一班學生的成績在80≤x<90這一組的數據如下：85，87，88，80，82，

85，83，85，87，85.根據上述數據，將表5補充完整;②你認為哪個班的成績更為優異？請說明理由.

題目是關于統計的問題，考查基本統計量的概念、中位數的計算等知識，以及閱讀能力、數據分析能力. 該問題呈現了完整的統計學研究問題的關鍵步驟：調查、收集和整理數據，分析數據，根據數據的信息解決問題. 讓學生經歷了完整的統計過程，提高了學生的數學研究能力. 解決此類問題，要求學生閱讀文本信息，從大量文本和表格中獲取關鍵的信息，根據題目中提供的表格進行數據分析與數學計算. 該問題培養了學生定量分析的意識和能力，增強了學生基于數據分析獲取結論來表達現實問題的意識和能力，形成學生通過數據認識事物本質的思維品質和活動經驗. 該題滲透了對數據分析素養的考查.

數學核心素養考查情況的總體

分析

為了了解蘭州市中考試題對核心素養的考查情況，對試卷共28題（分解計數共39題）考查核心素養的情況進行了分析統計，詳情見表7. 表中題目的編號“M”指數學，“9”指年級，“A”代表A卷，“O”代表客觀題，“S”代表主觀題，后面的數字中前兩個表示題號，后面小括號內的數字表示小題號. 如M9AS21（1）指“九年級學業水平測試（數學）A卷的主觀題，21題的第一小題”.

結論

由表7發現，蘭州市中考試題考查邏輯推理占總體的42.67%，所占比重很大. 數學主要依賴邏輯思維，具體體現是邏輯推理. 邏輯推理從本質上只有兩種形式，一是演繹推理，二是歸納推理. 演繹推理是命題的適用范圍由大到小的推理，是一種從一般到特殊的推理，演繹推理包括三段論、反證法、數學歸納法和算法邏輯等;歸納推理是命題的適用范圍由小到大的推理，是一種從特殊到一般的推理，歸納推理包括不完全歸納法、類比法、枚舉法和數據分析等[8]. 為此，基于表7對邏輯推理從推理形式和內容范疇兩個角度深入分析（見表8）.

從表8可以看出，學業評價對邏輯推理考查主要是演繹推理，幾乎沒有涉及歸納推理.由于學業評價的指向性，難免造成課堂教學“重演繹、輕歸納，重證明、輕發現”. 數學教育家一致認為演繹推理只能驗證結論，不能發現結論，不利于提高學生的創新意識和能力，只有歸納推理才能發現真理. 多年來，我國基礎教育重在學生的演繹推理，主要弱在歸納推理能力的培養，給創新型人才的培養帶來了嚴重阻礙. 我國基礎教育要實施素質教育、培養創造能力，真正落實核心素養，首先要改變學業評價“重演繹、輕歸納”的現狀;其次要在數學教學中加強歸納推理的教學. 邏輯推理的考查內容范疇主要是平面幾何，代數主要輔助幾何問題的計算，幾何圖形又以三角形為主要命題載體，這與三角形在中學數學課程中的核心地位相符.

從圖6中的數據發現，中考試題對六個數學核心素養均有考查，其中對三個核心素養（數學抽象、直觀想象和數據分析）考查的試題數量較少，三者沒有顯著性差異;對邏輯推理考查的題量最多，而對數學抽象和邏輯推理考查的題量分別為2和17，兩者存在較大差異. 直觀想象是數學抽象的基礎，數學抽象必須借助直觀想象[9]. 同時，數學推理是建立在數學抽象和直觀想象的基礎上，認知神經學研究表明，直觀想象和數學抽象是影響問題解決水平的核心因素[10]. 從上述數據來看，試卷對直觀想象考查的題量很少，這與它在數學核心素養及解決問題中的地位不符. 數學建模與數學抽象的關系緊密，可以說，數學建模的過程本質上也是數學抽象的過程，如果將數學抽象和數學建模的題量合計，其題量為9，這與數學抽象在核心素養的地位相符. 試卷對數據分析考查的題量較少，但這與該部分內容在初中數學內容中的比重是相吻合的. 邏輯推理和數學運算是建立數學知識內在聯系的根本方法，考查的題量也是與其在數學知識中的地位相符的.

根據表6和圖6還可以發現，蘭州市中考試題對數學抽象的考查題型是選擇題和解答題，考核概念、事實、法則、定理的記憶比較多. 同時，也考核在問題情境下的辨析，如“國學知識挑戰賽”. 但考核學生通過抽象形成數學概念、法則、定理、規律的問題不夠，其原因可能是，由試題難度限制和缺乏命制此類試題的方法. 對數據分析的考查題型是解答題，難度不大，這符合課程標準對學生的要求，初中階段的數據分析水平基本停留在知識理解、遷移和簡單計算的水平.

本文通過對蘭州市中考試題中數學核心素養考查情況的分析研究，得出了如下結論：（1）蘭州市學業水平考試對六個數學核心素養都有考查，從評價題量和分值比例的角度來看，對數學建模、數學運算、直觀想象與數據分析等素養的考查顯著性差異不明顯，但對邏輯推理素養的考查題量較大，表現出中考比較注重邏輯推理的考查. （2）從評價方式和命題形式這兩個方面來看，評價方式主要采取閉卷考試形式，命題形式以選擇題、填空題和解答題為主. 評價方式和命題形式沒有變化，而考查內容正向淡化解題技巧、注重數學本質、問題情境自然合理的特點轉變. （3）由于研究義務教育階段的學生發展核心素養體系和學業質量標準不夠深入，學業水平考試如何合理評價不同的數學核心素養以及評價方式等問題的認識不統一，表現出關于初中學業水平考試沒有制定系統的學業質量評價標準. 從評價方式和命題形式的角度來看，學業水平考試中對數學核心素養的考查幾乎還停留在經驗層面. （4）由于學業評價對教學的導向性，學業評價在對邏輯推理素養的考查中僅僅依賴演繹推理，嚴重影響到學生創造能力和創造意識的培養.

啟示與建議

學業評價是數學教學的指揮棒，數學教學中要落實核心素養，學業評價必須有所改變. 針對蘭州市數學學業測評分析研究得出的結論，給予命題者和一線教師以下啟示與建議.

（1）學業評價的考查內容向淡化解題技巧的特點轉變較小，這導致一線教師步入技巧和技能等同的認識誤區. 但是，技巧和技能是不等同的，有關心理學實驗表明，適度的技能訓練可以實現熟練化，而教學中進行大量簡單重復的技能訓練容易導致“熟能生厭”“熟能生惰”. 目前，學校備考中數學教學充斥大量技巧性內容，其實更多是一些解題術，而不是具有普適意義的內容，這種情況可以在學業評價中取得好成績，卻會導致“高分低能”，對學生在數學上的可持續發展產生嚴重的不良影響.

（2）學業評價對邏輯推理素養的考查題量較大，注重邏輯推理（主要是演繹推理）考查，這導致一線教師步入形式化和推理（追求格式）等同以及“重演繹、輕歸納”的認識誤區. 但是，形式化和推理不是等同的，真理的發現和確認，與邏輯推理和歸納推理密切相關. 形式化是數學發展所必需的，學業評價中的證明過程也是按步驟評分，被定位為考試的標準格式，然而過分強調形式化導致數學教學中要求學生死記硬背一些東西，這引發學生將思考的推理過程演化為枯燥的表達格式，這樣的評價和教學不僅會挫傷學生的學習興趣，還會帶給學生畏難情緒. 同時，過分強調演繹推理的考查，導致數學教學中忽視歸納推理的教學，這樣的評價和教學阻礙了創新型人才的培養，影響了數學核心素養的真正落實.

（3）學業評價對知識技能的考核很重要，是培養數學核心素養的基礎，但測評題量較大，過分強調解題的速度. 現在初中學生有近半年時間準備中考，備考的主要形式是高強度的訓練，希望學生達到“一看就會，一做就對”. 事實上，數學是需要思考的，基于目前的狀況，應考慮命題形式的改變，如適度調整考試時間和題量，包括一定的開放試題[11].

（4）學業評價不能單純依賴一份試卷的評價方式考查數學核心素養. 一線教師評價學生的數學核心素養應改變單純依賴一份試卷的現狀，需要參考其他內容建立學生學習評價檔案進行評價，如要求學生完成研究報告或數學小論文. 這個轉變比較困難，而學業評價是否可以通過參考學生學習檔案進行評價來改變現有評價方式，此問題需要進一步深入研究.

參考文獻：

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