學材再建構：在思想滲透、方法引領中整體架構

徐曉蓉

[摘? 要] “學材再建構”就是從學生實際出發，在認真研究的基礎上，對教材進行合理的增、刪、調整等，引導學生整體架構自己的知識體系和結構，從而成為數學教學中涵育學生核心素養的重要方向和主要途徑.

[關鍵詞] 整體架構;數學思想;方法引領;活動經驗

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）指出：“……注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數學的整體性……”并建議“教學方案的形成依賴于教師對教材的理解、鉆研和再創造”[1]. “學材再建構”就是依據《標準》，從學生實際出發，在認真研究的基礎上，重組教材并建構適合的“學材”，引導學生整體架構自己的知識體系和結構，從而成為數學教學中涵育學生核心素養的重要方向和主要途徑. 2020年1月14日，在“廣西初中數學品質課堂建設培訓活動”中，筆者認真聆聽了施俊進老師執教的“直線和圓的位置關系”一課及“例談初中數學‘學材再建構研究”的專題講座. 施老師重視數學思想的滲透，研究方法的引領，引導學生從知識、能力、思維等多方面架起結構，體現了“學材再建構”的基本理念和價值追求. 現將教學設計、點評分析，以及反思啟示整理成文，與各位同行交流.

教學過程簡述及點評

環節一：回顧復習，以待類比

練習：⊙O的直徑為6 cm，點P為平面上的一點.分別由OP的長，判斷點P和⊙O的位置關系（OP=2 cm，OP=3 cm，OP=4 cm）.

追問：點和圓的位置關系有哪幾種？你是如何判斷的？我們是如何研究點和圓的位置關系的？

點評? 分別從知識和方法上抓住了知識的“生長點”與“延伸點”，通過“以題理知”“問題誘思”，回顧舊知及其研究過程和研究方法，進而為類比研究新知做好準備. “以題理知”有別于常規的泛泛而談的復習方式（僅復習知識內容），有利于學生在解決具體問題（根據新舊知識之間的內在聯系而編制）的過程中主動回憶舊知，快速集中注意力;“問題誘思”又注重了研究方法和過程的引領，調動了學生自主類比學習新知的積極性.

環節二：操作思考，探究歸納

（1）觀察太陽升起的過程，地平線（看作一條直線）與太陽（看作一個圓）有哪幾種位置關系？由此能得出直線和圓的位置關系嗎？

（2）操作演示：線與圓相對運動（借助實物）.

追問：在直線與圓相對運動的過程中，共有哪幾種位置關系？直線與圓有公共點的個數是如何變化的？

（3）合作探究：①在直線與圓相對運動的過程中，除了公共點的個數發生變化外，還涉及哪些量變化？如何用數量之間的關系來描述這些位置關系？②類比點和圓的位置關系的相關內容，說說直線和圓的位置關系的相關內容，并完成表1（設圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r）.

追問：①直線和圓的各種位置關系在生活中隨處可見，你還能舉出一些生活中相交、相切、相離的實例嗎？②直線和圓的三種位置關系，與“點和圓的三種位置關系”相比，有何異同點？這兩者之間有何聯系？

點評? 從生活中舉出直線和圓的位置關系的實例（太陽升起的過程）以及動手操作探索直線（直尺）和圓（鑰匙扣）的位置關系出發，從直線和圓的相對運動（移動直尺或鑰匙扣）引出（感受）直線和圓的三種位置關系. 整個探索活動分為四個層次，第一層次是分別通過“操作與思考”（在具體操作演示后，教師通過問題來引領），引導學生感受直線和圓的位置關系的變化會引發“直線和圓的公共點的個數的變化”和“圓心到直線的距離的變化”;第二層次是探索“直線和圓的公共點的個數的變化”和“圓心到直線的距離的變化”之間的關系;第三層次是歸納直線和圓的三種位置關系，介紹相交、相切和相離等有關概念;第四層次是探索“數量關系”和“位置關系”之間的聯系[2].

學生積極參與這四個層次的探索活動，通過獨立思考、合作交流，逐步感悟數學思想;在“做”的過程和“思考”的過程中逐步積累數學活動經驗（體現了“做數學”的教育理念和原則）.

另外，通過填表和反思——“直線和圓的三種位置關系”與“點和圓的三種位置關系”相比，有何異同點？這兩者之間有何聯系？——引導學生找到“直線和圓的位置關系”和“點和圓的位置關系”的聯系與區別，使得學生進一步理解為何將“直線和圓的位置關系”轉化為“點和圓的位置關系（即圓心到直線的垂線段的垂足）”，明確了圖形的位置關系與相應的數量關系之間的內在聯系，有助于學會數學思考、感悟理性精神.

環節三：分層鞏固，理解掌握

（1）判斷正誤：①圓的切線只有一條;②直線上一點到圓心的距離等于半徑，則直線與圓相切;③線段AB與⊙O無公共點，則直線AB與⊙O相離. （追問：有幾種不同的方法來判定直線與圓的位置關系？判定時要注意什么？）

（2）⊙O的直徑為10，圓心到直線l的距離為d.

①若d=5，則直線l與⊙O有______個公共點，它們的位置關系為______;

②點A在直線l上，OA=5，則直線l與⊙O的位置關系為______. （追問：若OA=4或6呢？）

（3）直線l與半徑為r的⊙O相交，圓心到直線l的距離為5，則r的取值范圍為______.

（4）已知∠AOB=30°，M為OB上一點，且OM=5 cm，以M為圓心、r為半徑作⊙M. 當r分別為2 cm，4 cm，2.5 cm時，⊙M與直線OA有怎樣的位置關系？為什么？（追問：①你是怎么判斷的？用到了哪些知識？②若⊙M與射線OA有兩個交點，則r的取值范圍是什么？）

（5）如圖1，A城氣象臺測得臺風中心在A城正西方向300千米的B處，并以每小時10千米的速度向北偏東60°的BF方向移動，距臺風中心200千米的范圍是受臺風影響的區域.

①A城是否會受到這次臺風的影響？為什么？②若A城受到這次臺風的影響，試計算A城遭受這次臺風影響的時間有多長.

點評? 通過分層練習，不僅使學生多維度地認識到直線和圓的位置關系，而且增強了思維嚴密性. 通過練習的分層（特別是題后的“追問”），使得大部分學生比較好地理解了圖形的位置關系與相應的數量關系之間的內在聯系，對于少部分有余力的學生有了達到一定高度的彈性目標，從而最大限度地滿足學生個體差異發展的需要，讓不同的學生得到不同的發展.

環節四：回顧總結，反思提升

（1）直線和圓有怎樣的位置關系？直線和圓的三種位置關系和數量關系之間有怎樣的內在聯系？

（2）通過學習，你積累了哪些重要的數學方法？

（3）如果讓你自主探究兩圓的位置關系，簡要說說你的探究思路或過程.

共同總結，并完善板書如圖2.

點評? 引導學生從知識、技能、方法、思想、情感等多方面進行自主反思內化，從整體上架起結構，形成“結構性板書”.這種包含了知識研究的基本內容和思想方法的“結構性板書”，突出了“與圓有關的位置關系”的知識體系和知識之間的內在聯系，有利于學生整體把握相關知識和方法，力求實現“智慧不是別的，而是一種組織得很好的知識結構（教育家烏申斯基語）”.雖然《標準》沒有將“圓和圓的位置關系”列入目標要求，但是學生有了對于點和圓、直線和圓的位置關系的學習基礎，對于圓和圓的位置關系，研究方法和前兩者是一脈相承的，都是從幾何特征（交點個數）和代數特性（圓心的距離和半徑的關系）兩個角度考慮. 考慮到研究內容和研究方法的連貫性，在課堂的最后讓學生類比前兩者的位置關系，簡述選學內容“圓和圓的位置關系”的探究思路或過程.有利于學生進一步體會其中的研究方法;有利于學生感悟數學思想，掌握學習方法，積累數學活動經驗;有利于增強學生學習數學的自信心，提高學生學習數學的興趣，使學生養成良好的學習習慣，促進學生的發展.

啟示和思考

1. 從課堂的教學設計看出執教者之用心

一是將直觀感知和實驗操作相結合，即利用直觀操作，發現直線和圓之間的位置關系（那么圓和圓的位置關系也是如此）. 突出了“做中學”的教育理念和原則.

二是數學思想方法的滲透. 分類的思想不必多說. 另外，通過對圖形的位置關系與相應的數量關系之間的內在聯系的理解，圓和直線之間的位置關系從量變到質變等，對學生進行辯證唯物主義觀點的教育，良好的個性品質得到發展.

三是突出研究方法的引導. 通過類比的方法自主研究學習“直線和圓的位置關系”（有了點和圓的位置關系的學習基礎，對于“直線和圓的位置關系”，與“點和圓的位置關系”的研究方法是一脈相承的）[3].

正所謂“知識誠可貴，技能價更高;若為思想（方法）故，二者兼可退”. （改編自裴多菲的《自由與愛情》）

2. 從課堂的生成過程看出執教者之匠心

一是充分考慮到研究內容和研究方法的連貫性，注重了知識的結構和體系，引導學生感受到數學的整體性，體會到數學知識之間的關聯.

二是積極轉變數學學習的學習方式，變“聽”數學為“做”數學，變“被動接受”為“主動探究”. 注重引導學生通過“做中學”“學中思”“思中悟”“悟中生（生成、生長）” 的過程，體驗發現的樂趣，感悟數學的真諦，發展數學思維和智慧，提高實踐能力和創新意識，不斷積累數學基本活動經驗，并逐步感悟數學思想方法（顯然是提高學生數學素養的重要標志）.

三是通過“問題引領”（體現教師的“引導”作用）追求“學法三結合”的深度. 教師通過“問題引領”，引導學生積極思考、探索，并且始終讓學生保持個人在獨立學習（畫圖、觀察、表達、思考、實踐等）. 小組學習和全班學習都是建立在個人獨立學習的基礎上進行的，追求了“個人學習、小組學習和全班學習”有機、靈活、交替進行的學習方式（即“學法三結合”）的深度，使學生成為學習的主體，逐步學會學習.

3.？搖關于“學材再建構”

教材作為學生學習的資源，是有生成性的，當然它的生成性要借助教師來實現. 但教學有法，教無定法，貴在得法. 在教學“與圓有關的位置關系”這部分內容時，執教者依據《標準》，從實際出發，在認真研究的基礎上，合理進行“學材再建構”. 通過類比“點和圓的位置關系”進行研究“直線和圓的位置關系”;課堂最后將選學內容“圓和圓的位置關系”提出來（花時3分鐘），不是片面追求內容的深度、問題的難度和解題的技巧，而是注重于介紹重要的數學概念、數學思想和方法. 這樣既能面向全體學生，又考慮到學生發展的差異. 在保證基本要求的前提下，體現一定的彈性，以滿足學生的不同需求，使不同的人在數學上得到不同的發展，充分體現了教師發揮自己的教學創造性（從板書設計也可看出）. 課堂中能用恰當的思維方式（特別是在“思想滲透”“方法引領”中整體架構體系結構）將自己再建構的“學材”呈現給學生，使他們便于學、樂于學. 體現了不僅要“教教材”，更要“用教材教”的教材觀.

4. 通過類比的方法自主研究

對于選學內容“圓和圓的位置關系”的具體教學，可置于數學拓展課程中并加以實施. 具體實施時，完全讓學生自主類比研究點和圓、直線和圓的位置關系. 即先讓學生通過操作，探索圓和圓的不同位置關系;再從兩圓半徑、圓心距出發，讓學生自主尋找兩圓具有不同的位置關系時它們之間的數量關系，充分體現研究問題的類比的方法. 為此，教師要放手讓學生自主設計探究步驟、探究方法和探究思路. 在整個過程中，教師既要關注學生的探究結果，又要關注學生的探究過程，更要鼓勵并引導學生充分利用“探究”過程，積累數學活動經驗、積極展示思考過程、交流反思收獲體會，乃至激發創造潛能.

5. 要重視信息技術的應用

課堂上除了讓學生直觀操作外，還可以通過計算機軟件讓圖形動起來（有條件的話）. 在動態變化中發現直線和圓的位置關系，通過測量發現與位置關系相對應的數量關系（在動態變化中發現圖形的性質）. 合理、有效地使用計算機和有關軟件，可以提高教學效益. 當然，在應用現代信息技術的同時，教師還應注重課堂教學的板書設計. 本節“結構性板書”給人留下了深刻的印象，不僅實現了學生的思維與教學過程的同步，有助于學生更好地把握教學內容的脈絡，而且特別是在知識結構和思想方法引領的統整中，有利于學生自主架構起整體的認知體系和認知結構.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制訂. 義務教育數學課程標準（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]楊裕前，董林偉. 義務教育教科書教師教學用書（九年級上冊·數學）（蘇科版）[M]. 南京：江蘇鳳凰科學技術出版社，2014.

[3]課程教材研究所中學數學課程教材研究開發中心編著. 義務教育教科書教師教學用書（九年級上冊·數學）（人教版）[M]. 北京：人民教育出版社，2014.