感悟基本圖形，提升初中學生數學解題能力

鄧紫琳

[摘? 要] 當前數學知識的運用主要體現在解題上，因此解題能力的培養就成為初中數學教學的重中之重. 數學是研究數與形的學科，數形結合是數學教學的基本思想，面向初中學生，以基本圖形為研究對象，并將其作為提升學生解題能力的載體，符合初中學生的認知特點，能收到較好的效果.

[關鍵詞] 初中學生;數學解題能力;基本圖形;感悟

在諸多學科中，數學學科可能是對思維要求最高的了. 在初中數學教學中，思維能力主要體現在兩個方面：一是數學知識的建構;二是數學知識的運用. 當前數學知識的運用主要體現在解題上，因此解題能力的培養成為初中數學教學的重中之重.

作為一門基礎學科，可以說數學教師的主要精力就在解題上. 梳理與初中生數學解題相關的文獻可以發現，提升初中學生數學解題能力的策略極多，進一步比較則發現，更多的策略研究往往集中在題型分類上，而沒有去尋找更加根本的東西. 在筆者看來，基本圖形就是“根本”之一.

數學是研究數與形的學科，數形結合是數學教學的基本思想，面向初中學生，以基本圖形為研究對象，并將其作為提升學生解題能力的載體，符合初中學生的認知特點，能收到較好的效果. 下面就這一話題談談筆者探究的收獲.

基本圖形對提升初中學生數學解題能力的作用

之所以選擇基本圖形作為提升初中學生解題能力的載體，是因為筆者看到了基本圖形發揮的作用. 基本圖形屬于幾何范疇，數學教師都知道，數學是培養人的思維能力的一門科學，數學中的幾何學，就是研究空間結構及性質的一門學科，它是數學中最基本的研究內容之一. 在幾何學科中，學生會遇到數不清的圖形，這些圖形不可能完全進入學生的長時記憶，這是因為人的記憶容量有限，而教學經驗以及解題經驗也表明，其實很多復雜圖形都是從基本圖形演繹而來的，因此研究基本圖形可以對學生的解題能力培養起到固本培元的作用.

上面提到的初中學生的認知特點，這里想詳細闡述一下. 眾所周知，初中學生以形象思維為主，而形象思維的對象就是表象，那表象從哪里來呢？從認知心理學的角度看，這取決于學生在學習過程中的思維加工對象. 如果在學習過程中，讓學生重點加工基本圖形，那么這些基本圖形就可以在學生的大腦中形成比較清晰的表象，從而為解決更加復雜的圖形做準備.

舉一個例子，在相似三角形的教學中，有這樣一個圖形（如圖1），在這個圖形當中，有∠C=∠ABD，根據相似三角形的性質能得到AB2=AD·AC. 這個關系式在很多問題的解決中都會用到，相應地，有些題目的圖形也是根據這個圖形轉變而來的，因此以此圖為基本圖形，并以之為“母圖”，將其他演繹出來的圖形稱為“子圖”. 如果“母圖”越基本，“子圖”越豐富，那實際教學中學生就能更好地基于“母圖”，借用其中的等量關系，解決與之相關的其他問題.

還有一點值得注意，那就是，基本圖形的獲得，不一定全部是教師的工作，讓學生在解題的過程中進行總結與提煉，讓他們尋找基本圖形，本身就是一個分析與綜合的過程，可以培養學生的解題能力，提升學生的解題品質.

利用基本圖形提升初中學生數學解題能力案例

在實際教學中，利用基本圖形來提升初中學生的解題能力，這樣的實踐案例教師積累得越豐富越好，而且在此過程中要講究策略. 有研究指出，這樣的一些策略可能是有效的：滲透數學思想方法，提高學生數學素養;提煉基本圖形，提高學生思維水平;利用一題多解，促進學生思維發展;利用變式訓練，將知識融會貫通;利用開放性試題，發散學生思維;解題后進行反思，綜合提升能力. 筆者在實踐中也發現，利用一定的策略去研究基本圖形，可以讓學生的解題能力提升變得事半功倍.

例如，圖2是四邊形中的一個基本圖形，其中的基本關系是AP·BP=AD·BC. 對這個基本圖形進行概括，可以用一句話——一線三垂直，這個特征必須讓學生記住，因為這是基本圖形的“基本”所在. 在這個基本圖形的基礎之上，教師可以通過變式向學生提供其他習題，如：將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點C落在AB的中點處，記作C′，點D的對應點為D′，C′D′與AD交于點M，如圖3. 試用AB和BC表示AM的長.

通常情況下，學生遇到折疊類試題時，會感覺十分頭疼，這是因為學生的想象能力不足以支撐這么復雜的變換. 當學生感覺頭疼的時候，實際上就是學生思維加工出現困難的時候，此時如果引導學生分析，就可以找到這個復雜的圖形中其實存在著“一線三垂直”特征——可以讓學生自己尋找. 事實表明，當學生有了這一發現之后，他們就找到了解題思路，也就是會找到圖中相似的兩個三角形——△AC′M和△BFC′，其后的求解過程就比較順利了.

此時讓學生去總結，他們就會更加清晰地認識到前面那個基本圖形的作用，同時會在學生的大腦中強化一個認識，即解圖形類試題時，自己大腦中一定要儲存一定量的基本圖形，因為這些基本圖形是解決更復雜問題的工具. 一旦學生有了這個認識，并且能落到實處，那學生的解題能力自然能得到提升.

基本圖形的構建本質上是擴充學生的知識組塊

在初中數學教學中，之所以高度重視基本圖形的作用，其中一個很重要的原因是，這一策略符合初中學生的認知特點. 關于這一點，前面已經有所強調，這里想進一步表明的是，在幾何教學中，將同種類型的問題進行合理歸納、梳理，進而形成一個基本圖形，對提高課堂效率和提升學生的數學解題能力有很重要的作用. 這種作用發揮的機制在于，學生大腦中的基本圖形越豐富，他們在解題的時候能夠運用的工具就越多，而且能更加得心應手. 但記憶規律表明，人的記憶容量是有限的，學生不可能將大量的圖形儲存在大腦當中，而要有效地面對復雜的圖形以及題目，學生唯一有效的選擇就是基本圖形.

很顯然，如果這些基本圖形儲存不夠，那學生在解決復雜問題的時候，就一定會捉襟見肘，這自然不利于解題能力的提升. 當研究并儲存了基本圖形之后，尤其是基本圖形之間能夠發生有益的聯系時，學生的知識組塊就會變得更大，而知識組塊越大，這些基本圖形在學生解題能力提升的過程中所能發揮的作用自然就越大.

總之，在初中數學教學中，教師要高度重視基本圖形的作用，要幫助學生積累基本圖形，要引導學生發現基本圖形，只要做到這些，學生解題能力的提升便水到渠成.