高中數學立體幾何中軌跡問題探析

劉正煥

摘要：數學，是高中教學里一個重要的科目，也是高考中的重點科目，而立體幾何，是高中數學里一個重要的部分，是高中數學知識架構里的連接線，掌握立體幾何，對于學生整體的數學學習效果都有很大的影響。基于此，本文以軌跡問題為角度，結合幾種典型的軌跡類型題，來分析高中數學立體幾何的教學策略與方案，淺談本人學習過程中對該知識點的思考與探究。

關鍵詞：高中數學;立體幾何;軌跡問題;教學策略

引言：

求立體幾何里的圖形軌跡，是中學里的一個難點，也是高中的一個重點，這部分知識點是幫助學生們建立空間幾何概念、解析幾何理念的關鍵，它融合了立體幾何和解析幾何的知識點，在做這部分類型題目的時候，需要學生們發揮自己的空間想象力和理解力，發散自己的思維，運用以往學習過的圖形知識、代數知識等綜合知識來探索幾何軌跡，從而有效的解答題目。這部分知識點雖然是高中的冷門知識，但是教師也不能忽視該部分的教學，因此，數學教師必須要幫助高中生理解軌跡問題的解題思路和解題手段，提升解題正確率。本文以幾種不同的幾何軌跡問題類型展開探索，提供給教師教學參考。

一、軌跡為點的類型題

軌跡為點的類型題，是立體幾何軌跡問題中一個典型的題目，該類型題主要考驗學生們的軌跡構建能力、空間思維。

例如：已知平面，直線l在α上，點，平面α和β兩個之間的距離為8，那么請問直線β到P點之間距離應該為10并且到l距離是9的軌跡，應該是什么圖形（ ）

A.一個圓形B.2個點C.3個點D.4個點

分析：在做這個題目的時候，教師要引導學生們先將已知的條件和問題繪畫在一個圖形里，將關鍵的點在圖中標出，以此來方便學生思考和分析，如圖1所示。之后再讓學生們看圖分析，假設圖中的Q點為平面β內一個會移動的點，平面β和直線l的相交點為G點，連接MG，設置為l'，因為QP的長度為10，所以OQ的長度根據計算得出為6。點Q在圓0以內，而圓O的半徑為6。教師引導學生們通過點Q做直線，要求QM⊥l'，垂直點為M。又因為根據題目可以看出，Q帶你到直線l'距離為9，所以QM由公式計算出為。所以，Q點和直線l'的直線距離在的兩條平行線上。因此得出，平行線和圓有四個交點，所以題目的答案為4個點。

結論：該題目，是典型的根據線面知識點和軌跡，判斷交點數目的題目，以空間圖形為角度，用更直觀的形式將立體圖形的知識和問題進行展示，借助平面的知識點解決軌跡問題，教師在引導學生們解析該題目的時候，要學會引導學生熟悉的判斷平面幾何點的軌跡，并通過作圖的形式，輔助自己的解答和分析，讓題目解答更加直觀和形象。

本題目為軌跡為點的典型類型題，教師可以讓學生通過本題的練習，學會舉一反三，滲透立體幾何的解題思路，幫助學生懂得如何有效的判斷軌跡的交點數目，提升對軌跡部分知識的理解，加強立體幾何概念架構。

二、軌跡為線段的類型題

軌跡為線段的題目，是初中立體幾何和高中立體幾何里常見的軌跡類型題，該部分知識點相對而言主要考驗學生們的作圖能力、觀察能力。

例如：如圖2所示，正方體ABCD-A1B1C1D1里，已知P點是在BCC1B1和邊界圖形上運動，除此之外，P點的運動中，一直保持著AP線段垂直BD1線段，那么請問，P點的運動所產生的軌跡圖形是（ ）

A.線段B1BC

B.線段C1B

C.線段B1B中點和線段C1C中點所組成的線段

D.線段CB的中點和線段B1C1的中點所組成的線段

分析：在解答本題的時候，教師為了方便學生們理解和分析，可以引導學生們將已知條件串聯。鏈接B1A、AC、B1C組成三個線段，求證明出AB1⊥與面BA1D，所以可以得出，AB1⊥BD1，并通過同樣的方式，證明出AC⊥D1B，CB1⊥D1B。通過三個垂直可以推出，線段D1B會和面CA1B所垂直，若，那么AP會包含于AB1C中，所以可以得出BD1⊥AP，最終得出點P的軌跡是線段CB1。那么本道題選擇的答案為A。

結論：在完成本題目的解答的時候，教師要引導學生們學會對線段軌跡的概念進行回顧，通過線面垂直，線線垂直的知識推出一些結論，得出P點的運動軌跡，從而解答題目。

又例如：已知題目中圓錐的軸截對應的面積是長度為3的等邊三角形，點O是圓錐的底部中心點，M點為OS的中點，點P在圓錐的底面上運動，已知MA⊥PM，那么請問點P的運動軌跡是什么？運動軌跡的長度為多少？

分析：同樣的，在分析這道題目的時候，教師要引導學生對題目進行詳細的探究，強調題目中的文字語言和圖形語言，將已知信息突出標注，了解題目的已知條件，學會連接線段，過M點做AM的垂直線段，與BA的交點為點C，之后通過C在做出對應的線段，總結出AM⊥面MDE，通過線面垂直的性質，得出P點的運動軌跡，在設置AD單位1，推斷出P點運動軌跡的長度，得出本題目的結論，提升學生們的線段軌跡解題方法和技巧。

軌跡問題中，教師要引導學生們將這些語言進行熟練的分析和使用，并進行準確的描述。在做立體幾何軌跡問題的題目時，可以將命題中的文字語言提出來，然后聯想出圖形語言，最后形成符號語言，反映在題目的證明及計算上。在日常教學中，在證明相關問題時，教師要引導學生將相應的依據和理論知識寫出來，保障立體幾何解題邏輯更加嚴密，軌跡的證明更加合理。將一層一層的推理關系和層次闡述清楚，數學符號語言使用的盡可能恰當，以此來提升學生們的軌跡問題解題正確率和效率，幫助學生鞏固該部分知識點

三、軌跡為直線的類型題

直線類型的軌跡問題，是高考中常見的軌跡題目，掌握該類型題的解答方法，是學生們的立體幾何學習重點，這部分的知識點考核內容相對而言比較廣泛，需要學生們有開拓的思維和解題邏輯，才能夠準確的解答題目。

例如，在北京的高考題目中曾經出過一題：如圖3所示，AB是平面α的一條斜的線段，A是斜的線段的斜足，一直通過B點做出直線l，直線l和AB線段是垂直的關系，那么請問，題目中直線l和平面α交點的運動對應的軌跡是什么圖形？（ ）

A.圓B.圓錐C.一條直線D.一條線段

分析：在做該題目的時候，教師可以讓學生們分析題目的已知條件，通過已知條件可以看出直線l所對應的軌跡，主要是和B點有關，并且已知BA直線是垂直于平面的，那么可以通過線面垂直的性質推出交點的形狀為一條直線，所以本題目的答案為C。

結論：本課題主要考驗的是學生們對性質的掌握程度。在引導學生們解答該題目的時候，可以幫助學生鞏固現有的軌跡問題的理論概念和相關性質。高中立體幾何的知識點相對比較抽象，需要學生們在理解的時候運用一點的技巧，如將理論知識和立體圖形所結合，讓數學問題變得更加簡單和直觀，有效的掌握知識點所反映和表達的內容。要學習立體幾何，特別是立體幾何的軌跡問題，就需要學生們掌握解題的方法和技巧，學會對立體幾何的理論知識進行運用，如立體圖形的性質、立體幾何各個知識點之間的聯系和區別，從而逐步構建自己的立體幾何知識體系，然后將立體幾何的知識點和其他知識進行融匯，方便學生解答軌跡問題。最后，在開展立體幾何教學時，教師要為學生灌輸立體幾何概念，布置與幾何概念有關的類型題，讓學生們在不斷的練習中總結軌跡問題的解題經驗，學會對同種類型題目進行舉一反三。

四、軌跡為雙曲線的類型題

雙曲線的軌跡類型題，相對而言難度有一定的提升，在高考題目中，也是一種重點提醒。

例如，重慶市的2010年高考題目：已知，在兩個相互垂直的不同的面上的直線里，已知兩個直線的距離相等的位置有一個點，請問，經過這個點和其中一條直線，并且會平行于另外一條直線的軌跡圖形是什么樣的？

A.圓形B.線段C.雙曲線D.圓錐

分析：在引導學生們解答本題目的時候，教師可以讓學生們對題目中的圖形進行建模，按照正方形的底和高建立一個坐標軸，針對坐標軸展開后續的分析。在邊長為α的正方體內，可以得出CD和A1D1線段是兩個互相垂直的不同面上的線段，而題目中的平面ABCD，是經過CD線并且和A1D1互相平行的面。因此，教師讓學生們以正方體的D點作為坐標軸的中心點，DA作為坐標軸的x軸，CD作為坐標軸的y軸，建立一個空間坐標軸。將動點P點設置為坐標軸內移動的一點，并且到CD與A1D1線段的距離都是相同的，那么可以得出坐標軸的曲線公式：x2-y2=a2，所以軌跡的圖形形狀為雙曲線，本題選擇C。

分析：在解答本題目的時候，教師引入了一個新的解題思路和方法，“建立空間直角坐標系”，通過建立空間直角坐標系，讓立體幾何中的點、線段，都有對應的坐標點，便于學生探索問題，提升學生們的空間思維和空間理念，方便學生們展開后續的分析和解答，讓學生們有效的判斷軌跡的形狀和數據。

五、結束語

綜上所述，高中立體幾何中的軌跡問題，一直是同學們學習的重點和難點，同時也是高考中的常見題型，作為高中數學教師，要認真的分析軌跡問題的命題類型、解題方法，結合學生們的認知特點和學習狀況，設計合適的教學方案。在實際的教學里，教師可以根據題目的類型，將軌跡問題進行分類，針對不同的類型為學生們展開不同的教學，幫助學生認識和掌握同一類型的問題應該采用何種思路和方法進行解答，實現舉一反三的教學效果，有效的提升學生的空間幾何思維和理念，提高軌跡問題的學習效果和質量。

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