滲透化歸轉(zhuǎn)化思想，提高數(shù)學(xué)解題能力

夏仕嫻

【摘? ?要】? 近年來(lái)，隨著教育改革的不斷深入，教師越來(lái)越注重學(xué)生綜合素質(zhì)的提高。化歸轉(zhuǎn)化思想作為數(shù)學(xué)學(xué)科中常用的解題思想，也受到越來(lái)越廣泛的關(guān)注。它旨在化繁為簡(jiǎn)、化未知為已知等，從而幫助學(xué)生更加高效地解題。因此，如何在教學(xué)中滲透化歸轉(zhuǎn)化思想、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力成為眾多初中數(shù)學(xué)教師的研究重點(diǎn)。

【關(guān)鍵詞】? 初中數(shù)學(xué);化歸轉(zhuǎn)化思想;解題能力

化歸轉(zhuǎn)化思想，即將一個(gè)問(wèn)題由復(fù)雜化為簡(jiǎn)單的過(guò)程，它是一種十分高效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。眾所周知，數(shù)學(xué)與生活緊密相連，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的就是將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際中解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題。但是學(xué)生往往學(xué)的是理論知識(shí)，教師不可能將所學(xué)的數(shù)學(xué)問(wèn)題都一一講解。在面對(duì)問(wèn)題時(shí)，大家應(yīng)當(dāng)分析思考，將其與所學(xué)知識(shí)相聯(lián)系，化歸轉(zhuǎn)化，進(jìn)而進(jìn)行求解。因此，教師應(yīng)當(dāng)在教學(xué)時(shí)滲透化歸轉(zhuǎn)化思想，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)解題的方法，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)解題能力。下面，我將圍繞初中數(shù)學(xué)中化歸轉(zhuǎn)化思想的培養(yǎng)策略展開論述。

一、變形，化陌生為熟悉

題是永遠(yuǎn)做不完的，數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化，但是萬(wàn)變不離其宗，題目背后考查的知識(shí)點(diǎn)是固定不變的。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，很多學(xué)生都會(huì)產(chǎn)生畏懼心理，在面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，這部分學(xué)生總覺(jué)得沒(méi)有學(xué)過(guò)，不會(huì)求解。歸根結(jié)底是因?yàn)榇蠹覜](méi)有融會(huì)貫通。為了解決這一問(wèn)題，教師應(yīng)在教學(xué)時(shí)帶領(lǐng)大家掌握數(shù)學(xué)變形，化陌生為熟悉，學(xué)會(huì)將數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的知識(shí)，進(jìn)而求解得出正確答案。

1.條件變形，梳理數(shù)量關(guān)系

數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)問(wèn)題中十分重要的條件。只有弄清楚數(shù)量關(guān)系后，才能繼續(xù)探究求解。而在應(yīng)用化歸思想解題時(shí)，學(xué)生需要將已知條件進(jìn)行變形梳理，從中得出數(shù)量關(guān)系，方便后續(xù)求解。因此，教師應(yīng)在教學(xué)時(shí)向?qū)W生講解條件變形的方法，引導(dǎo)大家形成意識(shí)，合理利用已知條件，梳理數(shù)量關(guān)系。

例如，在講解“乘法公式”時(shí)，教師可以向?qū)W生講解這樣一個(gè)問(wèn)題：已知a+b=7，ab=10，求（a-b）2。這道題目最終讓求解的是（a-b）2，又因?yàn)椋╝-b）2=a2-2ab+b2，因此，大家就需要從已知條件中尋找a2、ab和b2的值，可是觀察已知條件發(fā)現(xiàn)并沒(méi)有說(shuō)明a2和b2，這個(gè)時(shí)候很多學(xué)生就不知道該怎么辦了。可是已知條件a+b=7還沒(méi)有用，回想完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，這時(shí)候就可以結(jié)合這一公式將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得出a2+b2=（a+b）2-2ab，即29，緊接著就可以利用這一條件得出（a-b）2=9。

在面對(duì)稍微復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生往往無(wú)法直接從已知條件中獲取數(shù)量關(guān)系。這時(shí)，大家就需要結(jié)合所學(xué)知識(shí)，對(duì)已知條件進(jìn)行變形，梳理得出有用的數(shù)量關(guān)系。這一步驟直接影響了大家的解題效率，如果解題方法、角度選擇不恰當(dāng)，就很容易增加解題的難度。

2.問(wèn)題變形，探究問(wèn)題實(shí)質(zhì)

練習(xí)時(shí)，學(xué)生常常會(huì)遇到這樣一種情況：題目往往讓學(xué)生無(wú)從下手，大家無(wú)法很快得出考查內(nèi)容的答案。這時(shí)候，教師就可以對(duì)結(jié)果進(jìn)行變形，將其轉(zhuǎn)化為與已知條件相關(guān)聯(lián)的形式，尋找問(wèn)題本質(zhì)。因此，教師可以在教學(xué)時(shí)向?qū)W生展示講解，帶領(lǐng)大家了解并掌握結(jié)論變形的使用情況及方法，從而提高其數(shù)學(xué)解題效率。

例如，在教學(xué)“分式方程”時(shí)，教師可以出示這樣一道題目：若m-? ? ?=3，求? ? ? ? ? ? ? ? ? 的值。看到這道題目，可能很多學(xué)生都會(huì)直接對(duì)分式方程求解，計(jì)算得出m的值后，代入所求式子計(jì)算最終值。但是分式方程具有一定的難度，計(jì)算量大，這時(shí)候?qū)W生就可以從結(jié)論入手，對(duì)結(jié)論進(jìn)行變形，分子分母同時(shí)除以m2，化簡(jiǎn)可以得出m2-2+? ? ? ，這樣就可以看出它是（m-? ? ?）2的展開式形式，然后得出結(jié)果為9，這樣相對(duì)于解分式方程，計(jì)算量小很多。

對(duì)問(wèn)題變形的目的在于探究問(wèn)題的本質(zhì)。只有明白其本質(zhì)考查點(diǎn)，學(xué)生才能更加高效地找到解題方法和思路。所以，在面對(duì)不熟悉的問(wèn)題時(shí)，大家應(yīng)分析思考，選擇變形方法后，尋求突破口，化陌生為熟悉，提高解題能力。

二、分割，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單

面對(duì)較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生往往會(huì)無(wú)從下手，不知道如何分析求解，但其實(shí)質(zhì)只是對(duì)知識(shí)點(diǎn)的綜合考查。在解決較為復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，大家就可以使用分割的方法進(jìn)行化歸，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，進(jìn)而幫助自己求解。因此，為了幫助大家更好地了解并掌握分割化歸的方法，教師可以在課堂上進(jìn)行講解，引導(dǎo)學(xué)生掌握方法，提高數(shù)學(xué)解題能力。

1.做輔助線，茅塞頓開

初中數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題中，往往會(huì)出現(xiàn)很多不規(guī)則圖形的相關(guān)問(wèn)題，它們沒(méi)有特定的解題公式、步驟等。針對(duì)這種情況，做輔助線分割就是一種很好的解題方法，它可以將不規(guī)則圖形分割成不同的規(guī)則圖形，這時(shí)候就可以應(yīng)用所學(xué)知識(shí)求解了。因此，教師可以在教學(xué)時(shí)向?qū)W生講解輔助線分割的方法，引導(dǎo)大家掌握其方法內(nèi)涵，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，提高解題能力。

例如，在講解“三角形”時(shí)，可以練習(xí)如下的題目：如下左圖所示，已知AE⊥ED，CD⊥ED，且AE=CD=ED=5cm，計(jì)算圖形的面積。這個(gè)圖形既不是我們所學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形，也不是正方形、三角形等，它無(wú)法通過(guò)公式直接計(jì)算得出答案。這時(shí)候，大家就可以在中間構(gòu)建一條輔助線，如右圖所示，這樣一來(lái)，就可以將其分割成一個(gè)三角形和一個(gè)正方形。分別計(jì)算三角形和正方形的面積為10 cm2和25 cm2。相加即可得出該圖形的面積為35 cm2。這樣一來(lái)，就可以化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，將其轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的面積求解問(wèn)題，分步求解，然后相加得出最終結(jié)果。

添助輔助線，將復(fù)雜圖形分割成幾部分，能夠啟發(fā)大家找到解題思路，進(jìn)而求解得出正確答案。但是值得注意的是，輔助線的畫法是靈活的，往往有多種形式，因此，學(xué)生在做輔助線時(shí)不必拘泥于某種特定形式，只要能幫助化繁為簡(jiǎn)即可。

2.移動(dòng)填充，另辟蹊徑

分割能夠幫助大家將復(fù)雜的問(wèn)題拆分成一個(gè)個(gè)簡(jiǎn)單的部分，簡(jiǎn)化題目難度。但是很多時(shí)候，移動(dòng)填充，將不規(guī)則圖形通過(guò)分割移動(dòng)轉(zhuǎn)化成等價(jià)的規(guī)則圖形，相對(duì)來(lái)說(shuō)計(jì)算量更小。

因此，教師可以在教學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生移動(dòng)填充，另辟蹊徑。這樣不僅能夠提升數(shù)學(xué)解題能力，還有助于幫助大家融會(huì)貫通，發(fā)散數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例如，在教學(xué)“圓的面積”時(shí)，可以講解如下所示的例題：如下左圖所示，已知正方形的邊長(zhǎng)為10cm，求解陰影部分的面積。觀察可以發(fā)現(xiàn)陰影部分是不規(guī)則圖形，直接對(duì)陰影部分計(jì)算求解可能不太現(xiàn)實(shí)，無(wú)法計(jì)算，因此，這個(gè)時(shí)候大家就可以思考了，這4個(gè)? ? ?圓全等，因此，如果將其移動(dòng)旋轉(zhuǎn)，那么就可以得到如下右圖所示的樣子，此時(shí)的陰影部分與左圖部分面積是相等的。所以，大家只需要計(jì)算右邊所示的陰影部分面積即可。很顯然，這部分面積可以用正方形面積-圓的面積計(jì)算出來(lái)，即結(jié)果為（100-25π） cm2。這樣一來(lái)，就可以通過(guò)規(guī)則圖形求解不規(guī)則圖形的面積。

移動(dòng)填充，能夠?qū)⒉灰?guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，大大降低了題目難度。但這種方法卻并非十分容易，學(xué)生需要在日常學(xué)習(xí)中不斷練習(xí)并積累經(jīng)驗(yàn)。

三、建模，化抽象為具體

數(shù)學(xué)是一門有規(guī)律的學(xué)科。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可以構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，化抽象為具體。這樣，明白了考查點(diǎn)后，學(xué)生就可以應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析求解。其中，構(gòu)建模型是十分關(guān)鍵的步驟，模型的構(gòu)建直接影響最終的學(xué)習(xí)效果。因此，教師可以在教學(xué)過(guò)程中帶領(lǐng)大家練習(xí)，經(jīng)歷過(guò)程，促進(jìn)掌握建模的方法和意義，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。

1.分析等量，創(chuàng)建方程模型

方程是初中數(shù)學(xué)中常見的模型。構(gòu)建方程模型，計(jì)算求解，能夠計(jì)算得出所需要的未知量。構(gòu)建方程模型的前提就是分析等量關(guān)系。因此，教師可以向?qū)W生講解等量關(guān)系的分析方法，只有得出了正確的等量關(guān)系，才能構(gòu)建出正確的方程模型。

例如，在教學(xué)“一元二次方程”時(shí)，教師可以出示這樣一道題目：某樹林原有樹木8行8列，后來(lái)又增加了36棵樹，且增加的行數(shù)和列數(shù)相等，請(qǐng)問(wèn)現(xiàn)在有多少行和列。分析等量關(guān)系，之前的樹木+36=之后的樹木，那么可以構(gòu)建方程模型，即假設(shè)現(xiàn)在有x行和x列樹木，那么列方程為8×8+36=x2，計(jì)算得出現(xiàn)在有10行和10列樹木。可見，構(gòu)建方程模型能夠十分清晰地展現(xiàn)等量關(guān)系，大家只需要應(yīng)用所學(xué)知識(shí)求解方程即可。但是在構(gòu)建方程模型求解時(shí)，學(xué)生需要注意兩個(gè)方面：一是記清楚未知數(shù)x代表哪個(gè)量，若不是所求量，那么求解出方程后還要繼續(xù)計(jì)算;二是方程式并不是固定不變的，學(xué)生不必糾結(jié)，只需要保證方程式的正確性即可。

分析等量、創(chuàng)建方程模型，能夠化抽象為具體，提高解題效率。同時(shí)，這需要大家熟練了解方程知識(shí)，牢固掌握解方程的幾種方法。

2.抽取規(guī)律，構(gòu)建函數(shù)模型

函數(shù)反映了事物之間的聯(lián)系，應(yīng)用函數(shù)能夠幫助大家探究并發(fā)現(xiàn)事物之間的規(guī)律。因此，在解決一些實(shí)際問(wèn)題時(shí)，學(xué)生就可以抽取規(guī)律，為其構(gòu)建函數(shù)模型。這是一種十分常見且重要的數(shù)學(xué)模型，具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。

例如，在教學(xué)“一次函數(shù)”時(shí)，可以帶領(lǐng)學(xué)生分析這樣一個(gè)問(wèn)題：若某船只在水上航行時(shí)，其順流比逆流每小時(shí)多前進(jìn)4公里，若水流的速度已知，并保持不變，請(qǐng)問(wèn)該船只順流時(shí)船的速度與船在靜水中的速度之間是怎樣的大小關(guān)系。首先，大家需要分析順流和逆流，即順流速度=船在靜水中的速度+水速，逆流速度=船在靜水中的速度-水速，那么可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，順流速度-逆流速度=2水速，因此，結(jié)合已知條件就可以計(jì)算出水速為2千米/時(shí)，緊接著就可以構(gòu)建函數(shù)模型，表示順流、逆流與船速的關(guān)系。即假設(shè)船在靜水中的速度為x千米/小時(shí)，那么順流時(shí)船實(shí)際的速度y=x+2，即呈一次函數(shù)關(guān)系。

可見，構(gòu)建函數(shù)模型，應(yīng)用函數(shù)知識(shí)能夠幫助學(xué)生更好地分析和探究，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。但是它并不適用于所有問(wèn)題，大家還是應(yīng)當(dāng)判斷思考，選取最佳解題方案，提高解題效率。

總的來(lái)說(shuō)，化歸轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著十分重要的應(yīng)用。但是它的形成并非一蹴而就的，教師應(yīng)當(dāng)具有充足的耐心。不斷總結(jié)改進(jìn)，著力打造高效數(shù)學(xué)課堂，將化歸思想滲透在日常教學(xué)中。通過(guò)教學(xué)練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生掌握其思想內(nèi)涵，提高數(shù)學(xué)解題能力，為以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。