合理利用幾何畫(huà)板 提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

姚晉秋

摘? 要 在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中合理運(yùn)用幾何畫(huà)板，可以幫助學(xué)生直觀感受數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，便于探究“定點(diǎn)定值”“軌跡方程”等動(dòng)態(tài)問(wèn)題，提高課堂效率，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞 幾何畫(huà)板;高三數(shù)學(xué);直線與圓;定點(diǎn)定值;軌跡方程;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2021）20-0066-03

1? 教學(xué)背景分析

本節(jié)內(nèi)容是高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)“直線和圓”的探究課，是對(duì)本章知識(shí)的總結(jié)和提升，尤其是對(duì)直線與圓位置關(guān)系中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題進(jìn)行復(fù)習(xí)。在這之前，學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)復(fù)習(xí)了“直線方程”“圓方程”“直線與圓的位置關(guān)系”及“圓與圓的位置關(guān)系”等知識(shí)，并能熟練掌握基本題型的解題方法，但涉及動(dòng)態(tài)問(wèn)題難免會(huì)束手無(wú)策。因此，無(wú)論是從高考應(yīng)試方面，還是從提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)方面，本節(jié)內(nèi)容都是不可缺少的。此外，高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)的下一章內(nèi)容是“圓錐曲線”，“定點(diǎn)定值”“最值問(wèn)題”“軌跡方程”向來(lái)是“圓錐曲線”中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，而本節(jié)探究?jī)?nèi)容所用的思想方法對(duì)下一章的復(fù)習(xí)具有類(lèi)比和啟發(fā)作用，因此，這就使得本節(jié)知識(shí)變得尤為重要。

幾何畫(huà)板是高中數(shù)學(xué)常用的教學(xué)軟件，不僅能畫(huà)出幾何圖形，還具備變換、度量、動(dòng)畫(huà)、跟蹤軌跡等諸多功能。用幾何畫(huà)板輔助數(shù)學(xué)課堂教學(xué)已經(jīng)變成常態(tài)，尤其是數(shù)學(xué)新授課，它不僅融合了PPT中的功能，而且使得原本抽象的靜態(tài)圖變得生動(dòng)而形象，讓學(xué)生對(duì)問(wèn)題的分析更加直觀，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在高三復(fù)習(xí)課中合理地運(yùn)用幾何畫(huà)板，能給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)實(shí)際“操作”幾何圖形的環(huán)境，增強(qiáng)其對(duì)幾何圖形的感性認(rèn)識(shí)，幫助其形成豐富的幾何背景經(jīng)驗(yàn)，從而有助于對(duì)動(dòng)態(tài)問(wèn)題的理解和證明。

2? 制定課前任務(wù)

探究直線與圓的動(dòng)態(tài)問(wèn)題是本節(jié)課的重點(diǎn)與難點(diǎn)，但如何才能自然地引出動(dòng)態(tài)問(wèn)題呢？筆者制定如下課前任務(wù)。

1）直線l：y=kx-3與圓C：x2+y2=16的位置關(guān)系是

2）若直線l：y=kx-3與圓C：x2+y2=4有兩個(gè)不同交點(diǎn)A、B，且AB=2，則k=

3）過(guò)點(diǎn)作圓x2+y2=4的切線方程為

4）過(guò)直線l：x-y+4=0上一定點(diǎn)P（2，6）作圓O：x2+

y2=4的切線，求：①切線方程;②切線長(zhǎng);③切點(diǎn)所在的直線方程。

【設(shè)計(jì)意圖】

1）會(huì)用幾何法和代數(shù)法判斷直線與圓的位置關(guān)系，而題1中所給的含參直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)且此定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，這既是判斷直線與圓位置關(guān)系的第三種方法，又為下文探究1作熱身。

2）復(fù)習(xí)直線與圓相交及相切基本問(wèn)題，指出圓心到直線的距離d是解題關(guān)鍵，圓本身的幾何性質(zhì)決定所有的動(dòng)態(tài)問(wèn)題都離不開(kāi)這個(gè)基本量。

3）第四題中所給的點(diǎn)P是定點(diǎn)且位置比較特殊，學(xué)生會(huì)用多種方法求解。利用幾何畫(huà)板變動(dòng)P的位置之后，如圖1所示，讓學(xué)生明白，多種解法中的“兩圓公共弦所在直線即為切點(diǎn)所在的直線”為最優(yōu)解法，且自然地引出探究1。

3? 課堂探究提升

【探究1】如圖2所示，過(guò)直線l：x-y+4=0上任意一點(diǎn)P（x，y）作圓O：x2+y2=4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，探究直線AB是否過(guò)定點(diǎn)。

【設(shè)計(jì)意圖】拖動(dòng)點(diǎn)P，追蹤直線AB，軌跡如圖3所示，定點(diǎn)一目了然。啟發(fā)學(xué)生思考：如何在有了“形”的直觀后，用“數(shù)”的運(yùn)算得到定點(diǎn)坐標(biāo)？在這一過(guò)程中提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)。

【解題方法】設(shè)P（m，m+4），通過(guò)課前任務(wù)可以知道，A、B兩點(diǎn)所在直線方程為mx+（m+4）y=4，所以恒過(guò)定點(diǎn)Q（-1，1）。

【探究2】過(guò)直線l：x-y+4=0上任意一點(diǎn)P（x，y）作圓

O：x2+y2=4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，探求A、B中點(diǎn)的軌跡方程。

【設(shè)計(jì)意圖】取AB的中點(diǎn)M，追蹤點(diǎn)M的軌跡，拖動(dòng)點(diǎn)P，得到點(diǎn)M的軌跡。消參法和定義法是求軌跡方程的兩種常用方法，引導(dǎo)學(xué)生用這兩種方法探求軌跡方程，在解題過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。

【解題方法1】如圖4所示，點(diǎn)M即為AB與OP的交點(diǎn)。由探究1知直線AB的方程為mx+（m+4）y=4，直線OP的方程為（m+4）x-my=0，兩式聯(lián)立消去m，得M的軌跡方程為x2+x+y2-y=0（y≠x）。

【解題方法2】由探究1知直線AB恒過(guò)定點(diǎn)Q（-1，1），又因?yàn)镼M⊥MO，所以M點(diǎn)在“以O(shè)Q為直徑的圓”上。考慮到點(diǎn)M與點(diǎn)O不會(huì)重合，所以軌跡是一個(gè)不封閉的圓，如圖5所示，軌跡方程為（x+1/2）2+（y-1/2）2=1/2（y≠x）。

【探究3】如圖6所示，過(guò)直線l：x-y+4=0上任意一點(diǎn)P（x，y）作圓O：x2+y2=4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，探究四邊形PAOB面積是否存在最小值。

【設(shè)計(jì)意圖】最值問(wèn)題是解析幾何中常見(jiàn)的題型，怎樣把四邊形的面積表示成某個(gè)變量的函數(shù)形式呢？如圖7所示，拖動(dòng)點(diǎn)P，四邊形面積隨之改變。學(xué)生的第一反應(yīng)是四邊形面積隨著切線PA的變化而變化，但考慮到點(diǎn)P和點(diǎn)A都是動(dòng)點(diǎn)，PA的范圍不容易求，由于有了課前任務(wù)作為鋪墊，此時(shí)學(xué)生自然會(huì)想到連接PO，用PO的長(zhǎng)度作為變量來(lái)表示四邊形面積。這個(gè)過(guò)程有效發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。

【解題方法】S四邊形PACB=2S△PA0=A0·PA=A0·

，PO最小值為O到直線x-y+4=0的距離，所以四邊形PAOB面積的最小值為4。

【探究4】已知P為直線l：x-y+4=0上的點(diǎn)，若圓O：x2+y2=4上存在點(diǎn)A、B，使得∠APB=60°，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍。

【設(shè)計(jì)意圖】“存在性問(wèn)題”是近年來(lái)考試的熱點(diǎn)。前三道探究問(wèn)題中，PA、PB均是切線，在探究4中A、B變成動(dòng)點(diǎn)，思維難度又上一個(gè)臺(tái)階。首先固定點(diǎn)P，任意拖動(dòng)點(diǎn)A、B，讓學(xué)生直觀感受∠APB的大小變化，如圖8所示。此時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)PA、PB分別為圓的切線時(shí)，∠APB最大。其次拖動(dòng)點(diǎn)P，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P離圓O越遠(yuǎn)，∠APB越小，也就不可能存在點(diǎn)A、B，使得∠APB=60°;而點(diǎn)P越靠近圓O，∠APB越大，會(huì)存在無(wú)數(shù)組點(diǎn)A、B，使得∠APB=60°。最后，學(xué)生自然會(huì)去尋求∠APB的“臨界狀態(tài)”，如圖9所示，找到解題突破口。

【解題方法1】設(shè)P（m，m+4），連接PO，如圖10所示，在△PAO中，sin∠APO=AO/PO。由分析知∠APO≥

30°，所以PO=AO/sin∠APO≤4，進(jìn)而求出點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是[-4，0]。

【解題方法2】在掌握方法1的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生理解：在平面內(nèi)，若PO≤4，則P點(diǎn)的軌跡是“以O(shè)為圓心，4為半徑的圓及其內(nèi)部”;又P在直線x-y+4=0上，所以點(diǎn)P為直線與圓面的公共部分，如圖11所示，從而可以求出點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍。此種方法需要找出點(diǎn)P的“隱藏軌跡”，在解題中應(yīng)用廣泛。

4? 課后復(fù)習(xí)鞏固

為了鞏固課堂所學(xué)知識(shí)，筆者制定課后作業(yè)：復(fù)習(xí)教科書(shū)中相關(guān)的作業(yè)與練習(xí)，整理直線與圓動(dòng)態(tài)問(wèn)題錯(cuò)題，提出一個(gè)有價(jià)值的問(wèn)題并嘗試解決它。

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與數(shù)學(xué)基本技能是我國(guó)高中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的重要構(gòu)成部分。通過(guò)課堂學(xué)習(xí)，切實(shí)提高學(xué)生“從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力”。數(shù)學(xué)課程不應(yīng)僅僅滿足于教給學(xué)生一些結(jié)論，而應(yīng)該給學(xué)生以更多數(shù)學(xué)思想、精神的浸潤(rùn)。這節(jié)在幾何畫(huà)板輔助下的“直線與圓動(dòng)態(tài)探究”復(fù)習(xí)課，將會(huì)在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)讓學(xué)生銘記在心。事實(shí)上，從學(xué)生的作業(yè)反饋來(lái)看，確實(shí)收到不錯(cuò)的教學(xué)效果，學(xué)生提出諸如“如圖6，求線段AB的取值范圍”等很有探究?jī)r(jià)值的問(wèn)題。

5? 總結(jié)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不是無(wú)源之水、無(wú)本之木、必須接地氣，要有良好的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)與具體教學(xué)過(guò)程目標(biāo)來(lái)支撐。幾何畫(huà)板的合理利用，一改高三復(fù)習(xí)課高強(qiáng)度、沉悶的課堂氛圍，能使原本枯燥、抽象的知識(shí)變得生動(dòng)有趣，更能激發(fā)學(xué)生的科學(xué)探索精神，有助于他們復(fù)習(xí)迎考。如何用好幾何畫(huà)板，這對(duì)施教者提出新的挑戰(zhàn)，廣大教師要更加激流勇進(jìn)，不斷提高自身學(xué)科素養(yǎng)，真正做到“立德樹(shù)人”。■

參考文獻(xiàn)

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