整體性教學設計

李宏

[摘 要]教學設計作為一個系統，它的主要特征在于整體性.合理的整體性教學設計有助于調動學生的學習積極性，有助于學生對學習內容進行整體把握，認清知識本質.

[關鍵詞]整體性;教學設計;冪的運算

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）26-0009-03

整體性教學設計是對課堂教學系統化規劃而進行的教學設計.教學設計作為一個系統，它的主要特征在于整體性，不能因為每一部分的重要性而丟棄整體系統的觀念.我們應該通過教學設計創設一個合理的教學系統來促進學生的學習，并以此提高學生的邏輯思維能力.下面以“冪的運算”為例談談如何進行整體性教學設計.

一、教材解讀

“冪的運算”是魯教版初中數學教材六年級下冊第六章《整式的乘除》的內容，包含同底數冪的乘法、冪的乘方、積的乘方、同底數冪的除法、零指數冪、負整指數冪等內容.這部分內容既是整式乘除的基礎，又是一種獨立的運算，其知識基礎是“冪的意義”“有理數的乘方”“有理數的乘法運算”等.教材從數到式、從特殊到一般、從具體到抽象的數學活動貫穿始終，為后續進一步深入學習整式運算提供了知識、技能和思想方法的基礎，積累初步探究公式、法則的數學活動經驗.

二、問題分析

對于本章的教學，過去的做法是按照教材上的順序將同底數冪的乘法、冪的乘方、積的乘方、同底數冪的除法分為4個課時開展教學，然后通過大量的習題訓練來鞏固.這是否有利于學生對數學整體把握？是否有利于學生對數學本質的理解？基于對學情的把握以及對數學知識內在邏輯連貫性的考慮，可以把“冪的運算”進行整合，開展一個單元的教學.

三、學情分析

學生為城區學校普通班學生，初一入學進行了數學思維的訓練.筆者平時仔細研究了人大附中和北京八中少年班的教學模式、教學案例，同時也認真思考，針對普通城市、普通學生的情況，如何提高其數學成績以及數學能力.在數學教學中注意對章節的整體架構，讓數學知識如何更高效地傳遞給學生，使學生樂意學數學，調動學生學習的積極性.在給上一屆學生授課的過程中，就運用了這種方法，教學效果良好.教師不要以為初一學生就接受不了這樣的數學思維訓練，事實證明他們是可以的.

四、教學目標

（1）通過演算、歸納并證明冪的運算性質（同底數冪的乘法、冪的乘方、積的乘方、同底數冪的除法），讓學生在此過程中感受從特殊到一般、從一般到特殊的數學思想方法.

（2）通過乘除互逆，體會同底數冪除法與乘法的關聯，以及零指數冪、負整指數冪作為特例來理解.

（3）運用冪的運算性質進行簡單的運算，掌握運算背后的算理.

（4）著重激發、訓練學生的數學抽象能力、邏輯推理能力和數學運算能力.

五、教學重難點

（1）重點：冪的運算性質的探究、證明與簡單應用.

（2）難點：冪的六種運算性質的證明及應用.

六、教學過程

（一）創設問題情境導入

師：我們現在研究的數學主要有哪些內容？（代數和幾何）

師2：前一章圖形研究告一段落，今天我們再次進入代數領域的學習.代數的學習離不開最基本的內容，那就是——（運算）

師：54是什么運算？它的意義及各部分的名稱是什么？5n（n為正整數）呢？an（n為正整數）呢？乘方的意義是什么？（復習）

設計意圖：建構“冪的運算”，來自內部，簡單純粹.從數學兩大領域引出運算與冪，體現了教師的整體教學觀.從舉例到猜想、從數字到字母，從學生的已有經驗出發，通過回顧乘方運算，引出同底數冪的乘法、冪的乘方、積的乘方、同底數冪的除法等課題.

（二）性質探究

猜想1：[anam=an+m]（m、n都是正整數）.能否運用乘方意義驗證？

舉例：略.

猜想：[am·an=am+n]（教師引導補充：m、n為正整數）.

驗證：

[am·an= ][（a·a·…·a）m個·（a·a·…·a）n個]（乘方的意義）

[=a·a·…·a（m+n）個]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（乘法的運算律）

[=am+n]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （乘方的意義）

性質：同底數冪相乘，底數不變，指數相加.

鞏固練習：

計算：（1）[c·c11];（2）[（-b）3×（-b）2];（3）[-b2·b3].

問題：在探究同底數冪的乘法法則的過程中，我們經歷了怎樣的過程？其中蘊含了怎樣的數學思想方法？（舉例—猜想—驗證，從特殊到一般）

猜想2：[（am）n=amn].

問題：你能用類似的方法來探究另外幾個冪的運算的規律嗎？

（學生先獨立研究，再小組交流，最后小組代表進行展示.）

猜想：[（am）n=amn]·（m、n為正整數）.

驗證：

[（am）n=am·am·am·…·amn個]? （乘方的意義）

[=am+m+m+…+mn個]? ? ? ? （同底數冪的乘法法則）

[=amn]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（乘法的定義）

性質：冪的乘方，底數不變，指數相乘.

[（a）mn=]？（m，n為正整數） 只有這一種可能嗎？

[（a）mn=（an）m]也可以[（a）mn=（am）n].

鞏固練習：

計算：（1）[-（a2）5];（2）[5·（y2）2n;（3）（x3）4·x2].

猜想3：[（ab）n=anbn] （n為正整數）.

驗證：

[（ab）n=（ab）·（ab）·（ab）·（ab）·（ab）n個]? （乘方的意義）

[=（a·a·a·a）n個·（b·b·b·b）n個]? ? ? ?（乘法的運算律）

[=anbn]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （乘方的意義）

性質：積的乘方等于每個因式的乘方的積.

推廣：[am·an·ak]（m、n、k都是正整數）等于多少？

鞏固練習：

計算：（1）[x3·x5+（x2）4+（-2x4）2];（2）[（-3n）3];（3） [（y2z3）3].

注意：

（1）底數必須是乘積的形式，要看清有幾個因式.

（2）底數含“-”時，應將其視為“-1”，作為一個因式，防止漏乘.

設計意圖：通過適當練習，深化理解.建構完整的內容框架后，再逐一探究、展示.作為單元教學中的第一課時，將數學知識進行統籌，系統思維，這正是基于整體教學的需要.以乘方的意義貫穿始終，埋下整章知識的邏輯主線.力求改變規則教學中只注重掌握結果再熟練運算的做法，更多關注了規則的發生、發展以及思想方法的滲透，關注數學語言的轉化，步步有據.從特殊到一般、從一般到特殊、分類、類比轉化等多種思想方法的滲透旨在提升學生的數學核心素養.

（三）練習反饋

1.計算，結果用冪的形式表示.

（1）[（2x+1）2·（2x+1）5];

（2）[（a-b）5·（a-b）2];（3）[a4·a6+a5·a5].

2.計算.

（1）[（m-n）·（m-n）2·（m-n）5];

（2）[an·an+1+a2n·a]（n是正整數）.

設計意圖：簡單應用，回歸性質，明白算理.一要能準確分辨運算的類型（是什么），二要能說出具體運算的過程（怎么算），三要明白其中的道理（為什么）.

（四）層層遞進

師：研究了乘法，你覺得后面我們還會研究什么內容？對于同底數冪的除法是不是也有規律和法則呢？如何研究？

同底數冪的除法法則的推導.

當[a≠0]，m、n是正整數，且[m>n]時，

[am÷an=aman=a·a·…·a（? ? ? ? ? ）個aa·a·…·a（? ? ? ? ? ）個a=a·a·…·a（? ? ? ? ? ）個a·a·a·…·an個aa·a·…·an個a=a? ? ? ? ? ?].

歸納法則：

同底數冪的除法：

.

特例：

1.零指數冪

（1）符號語言：[a0 = 1 （a≠0）];

（2）文字語言：任何不等于0 的數的0次冪等于1.

2.負整數指數冪

（1）符號語言：[a-n? = 1an]（[a≠0]，n是正整數）;

（2）文字語言：任何不等于0的數的[-n]（n是正整數）次冪，等于這個數的n次冪的倒數.

師：運用今天學過的知識，你會證明嗎？

（五）拓展

1.（1）[23÷24]等于幾？

（2）能利用同底數冪除法的運算性質進行計算嗎？

（3）[am÷an=am-n]中對于m、n的要求是[m>n]，我們有必要對此做出修改嗎？怎么改？同底數冪的除法和乘法什么關系？

2.下面的計算是否正確？如有錯誤，請改正.

（1）[a8÷a4=a2];

（2）[t10÷t9=t];

（3）[m5÷m=m5];

（4）[（-z）6÷（-z）2=-z4].

3.計算 [（3-π）0+（-0.2）-2] = .

4.若[（x-2）0]有意義，則x .

（六）課堂小結

師：同底數冪的乘法、除法、積的乘方、冪的乘方等法則的正用、逆用以及其他復雜運算，都是我們學習的內容，萬變不離不宗，只要同學們善于思考、積極思考，就一定能領悟數學真諦，體會學習數學的快樂.通過本節課，我們把冪的這幾種運算整合在一起，高屋建瓴，使大家對冪有一個整體的認知.隨后的幾節課，我們將通過對具體的習題的練習，進一步加深理解.

設計意圖：從知識、思想、方法等角度回顧并延伸所學，并賦予同本節課相關的解釋，升華了數學思想，有層次、有深度，體現了課堂的完整性.

（七）板書設計

<F：＼茂恒＼雜志社＼中學教學參考第9期（中旬）＼s8-24.tif>

（八）課后反思

通過本節課的建構，提高學生的數學核心素養.本節課著重訓練學生的數學抽象能力、邏輯推理能力和數學運算能力.隨后的幾節課，將通過對具體的習題的練習，進一步加深學生對相關知識的理解，逐步使學生會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界、表達現實世界.

這樣的數學思維訓練，不可能一次就使得學生的數學思維能力、抽象能力突飛猛進，但是在長期的過程中堅持這種訓練，學生必有長足的進步.

長期以來，教學中教師整體思維、邏輯思維等匱乏，以及碎片化教學使得課堂教學事倍功半.整體性教學設計可以讓學生先見森林，再見樹木，最后又見森林.數學教學的價值在于發現學生的思維，在這個過程中，需要教師的引領和激發，學生有發現問題的快樂，進而進一步促進其自主學習，這樣，教育的目的就達到了.

進行整體性的教學設計需要符合學科特點，符合基于學科素養的教學要求.因此，教師要仔細推敲并進行剖析，找到教學設計的關鍵點.謹以此文拋磚引玉，期望得到各位同仁指正.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 劉永鳳.國際“核心素養”研究的最新進展及啟示[J].全球教育展望，2017（2）：31-41+98.

[2]? 卜以樓.“再探冪的運算”教學設計[J].江蘇教育，2017（11）：29-32.

（責任編輯 黃桂堅）