以幾何直觀推動深度學習，有效發展學生數學思維

李巧儀

[摘? 要] “幾何直觀”是《小學數學課程標準（2011）》中提出的十大核心概念之一，幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。文章將從“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”以及“綜合與應用”四個部分舉例說明借助幾何直觀將抽象的數學語言與直觀的圖形語言有機結合，充分展現問題的本質，突破數學理解上的難點，從而推動課堂深度學習。

[關鍵詞] 幾何直觀;深度學習;數學思想;數學思維

小學數學教學內容分為數與代數、圖形與幾何、統計與概率以及綜合與實踐四個部分。對學生幾何直觀的培養不應該只局限于圖形與幾何部分，而應該涵蓋所有的數學教學領域。因此在教學過程中，教師應善于發現適合使用幾何直觀探究的數學問題，對學生做出積極的引導，激發學生積極主動地探究知識，推動數學課堂深度學習。

一、借助幾何直觀感受問題本質，在數與代數的教學中發展數學思維

小學階段的數與代部分占據了整個學段50%的內容，因此教師應重視引導學生對該部分知識的分析和理解。利用幾何直觀把抽象的概念和算理以直觀的圖形呈現出來，這樣可以全面、完整地詮釋知識的產生原因、過程和結果，促進學生數學思維的發展。

例如，在“分數的意義”的教學中，教學難點在于認識單位“1”，突破把一件物品看成單位“1”的思維定式，能夠把多樣物品看作一個整體，即看作單位“1”。在教學過程中，教師要求學生畫圖表示1/4。學生根據已有的知識經驗，很容易就能在練習本上畫出多種以一個圖形為單位“1”的圖畫，并通過平均分和涂色表示出1/4。也就是說，把一個圖形看成整體，平均分成4份，每份就是整體的1/4。其實我們可以還把4個相同的圖形看成整體，其中一個小的圖形就是這些圖形的1/4。學生通過觀察總結，發現整體不一定是一個物體。有的學生也能發現只要把一些相同的物體平均分成4份，其中的一份就能表示1/4。在這里，借助幾何直觀畫圖分析，把分數的意義非常直觀地呈現出來，也就是把單位“1”平均分成若干份取其中的一份或幾份，可以用分數表示。

分數是如何產生的？問題的實質就是要找準單位“1”。師生通過反復地畫圖和分析，使學生不斷地從“分數的初步認識”的舊知識的認知延伸到新知識，即把一個物體或一些物體看作單位“1”，從而明白了分數的產生過程和意義。學生從“畫圖”到“看圖”，既能用圖形表達自己對1/4的認識，又能直觀地感受和認識單位“1”，輕松突破課程難點。這個過程培養了學生的推理思想、數形結合思想等，有效促進了學生數學思想的發展。

二、借助幾何直觀探究面積公式，在圖形與幾何的教學中發展數學思維

圖形與幾何是小學數學教學的重要部分，它對于小學生的立體空間結構概念的樹立和嚴謹的邏輯思維能力的培養有著非常重要的影響。幾何知識從概念上來說是比較抽象的，但從實際應用上來說，它又是比較具體的。因此，在實際教學時，我們應借助幾何直觀，通過真實、具體、形象的幾何圖形來輔助學生理解和分析。

例如，在“平行四邊形的面積”中，教師引導學生借助幾何直觀通過不同的方式探究平行四邊形的面積。

生1：我畫格子時感受到長方形和平行四邊形都有一組6米的邊，我就在想它們的面積也很可能相等，但是平行四邊形的另一組邊的長度肯定比長方形的寬要長，所以就想辦法找找其他的關系，結果我發現如果以6米的邊為底，所對應的高和長方形的寬都是4米。

生2：由于平行四邊形的底和高分別與長方形的長和寬相等，并且它們的面積也相等，所以通過對比，我們得出的結論是平行四邊形的面積=底×高。

（學習小組展示、匯報。）

生：我們都可以把一個平行四邊形轉變成一個面積不變的長方形。轉化所得的長方形的長其實就相當于平行四邊形的底，長方形的寬就相當于平行四邊形的高。因此，平行四邊形的面積=底×高。

在對平行四邊形的面積的探究過程中，教師引領學生運用幾何直觀把新知識轉化為舊知識，不管是通過數格子得出了長方形與平行四邊形的關系再推理出平行四邊形的面積公式，還是通過割補法把平行四邊形轉化成長方形后經過對比得出平行四邊形的面積公式，學生運用幾何直觀探究問題的能力都得到了培養和體現。這樣的教學過程發展了學生的歸納推理思想、轉化思想、幾何變換思想等，有效地發展了學生的數學思維。

三、借助幾何直觀培養統計思想，在統計與概率的教學中發展數學思維

小學數學統計與概率部分的內容，要求學生在信息化社會的背景下掌握統計的方法，可以根據統計圖總結經驗或做出預案，培養學生的統計思想。因此，在統計部分需要大量的統計圖來幫助學生理解和掌握統計的知識與技能，感受數學與生活的聯系，調動學生學習的積極性并發展其數學思維。

在教學過程中，教師出示表格并提問：2006至2012年哪一年的參賽隊伍最多，哪一年的參賽隊伍最少？（教師出示表格）

生：我可以利用數據進行比較得出2012年的參賽隊伍最多，2007年的參賽隊伍最少。

師：同學們，如果我把表格中的數據用條形統計圖展示出來，你們覺得怎樣？

生1：我能馬上分辨出參賽隊伍最多的年份是2012年，參賽隊伍最少的年份是2007年。

生2：我覺得很方便，我們只需要根據每個條形圖的高低就能直觀地判斷數據的大小。

師：如果我把表格中的數據用折線統計圖展示出來，你們覺得怎樣？

生1：我可以很直觀地發現參賽隊伍的數量在2006年至2007年以及2008年和2009年呈下降趨勢，其他年份都呈上升趨勢。

生2：我還發現從2009年起參賽隊伍的數量一直呈上升趨勢，我估計2013年參賽隊伍的數量應該比2012年多。

師：通過統計圖，我們可以把復雜的、無序的數據整理成一幅幅清晰直觀的統計圖，這樣可以幫助我們分析問題、總結規律、預測結果等。

在課程的教學中，教師讓學生從利用表格數據分析問題到觀察統計圖分析問題，借助幾何直觀讓學生感受到統計圖系統、直觀的優點。通過統計圖，學生可以更輕易地找出數據之間的聯系，甚至可以聯想到未展示出來的數據。不管是利用條形統計圖找出數據之間的大小關系還是利用折線統計圖分析數據的變化趨勢，都培養了學生的統計思想和數據分析的能力，促進其數學思維的發展。

四、借助幾何直觀建構數學模型，在綜合與實踐的教學中發展數學思維

課程改革后，小學數學設置了綜合與實踐部分，要求學生以現實生活為背景，以問題為載體，把數學與生活實際相聯系，解決生活中的一些特定問題。由于學生缺乏生活經驗，難以做到學科與學科之間以及生活與生活之間的聯系，常常無法建構出解決一類問題的數學模型。在這里，借助幾何直觀就顯得尤為重要，幾何直觀可以把這些抽象的數學語言以及陌生的數學問題轉化成具體而易懂的數學圖形，幫助學生理解問題，從而順利建構出對應的數學模型。

例如，在“植樹問題”一課中，教學重難點在于學生能理解棵數與間隔數成一一對應關系并建構出植樹問題的模型。在教學過程中，教師創設問題：在長100米的馬路的一邊栽樹，每5米栽一棵，要栽多少棵？

師：畫一畫這100米的馬路到底該如何栽樹？

生1：先在馬路的一端栽上一棵樹，然后空一個間隔，栽上一棵樹，再空一個間隔，栽上一棵樹……就這樣栽完20棵后再補上末端的一棵，所以就要栽21棵樹。

生2：我根據每5米栽一棵樹，用馬路總長除以間隔距離，可以把馬路平均分成20個間隔，因為一棵樹后面就連著一個間隔，所以就種20棵樹，但是在末端不再有對應的間隔了，所以只需要加上1棵樹。

列式：100÷5=20（個），棵數為20+1=21（棵）。

師：通過畫圖我們知道一棵樹后面就連著一個間隔，也就是說棵數和間隔數成一一對應的關系。

師：你們能總結一下怎么求兩端都栽這一類植樹問題的棵數嗎？

生：間隔數=馬路總長÷間隔距離;棵數=間隔數+1。

在本課程的教學中，學生通過畫圖分析，得出棵數與間隔數成一一對應關系，這就是植樹問題的核心。在借助幾何直觀分析植樹問題時，教師善于發現學生不同的想法，不斷地凸顯問題本質，引導學生順利地建構數學模型。這樣的教學培養了學生的數形結合思想、建模思想、化繁為簡思想等，促進了學生數學思維的發展。

總之，為了使學生能夠直觀地理解數學問題，在借助幾何直觀剖析問題本質、突破知識重難點時，教師應更多地指導學生以自主探究為主要模式，突出學生的主體地位。在借助幾何直觀探究問題的過程中，學生必須經歷借助畫圖、觀察圖形或圖像、割補圖形等過程，從而把抽象的數學語言與直觀的圖形語言相結合，進而通過歸納推理出一類問題的本質并建構相對應的數學模型，達到輕松突破知識難點，促進數學思維發展的教學效果。