適合大班授課的高等數學翻轉課堂實踐與探索

常洛

[摘 要] 對大班授課的高等數學翻轉課堂的教學模式進行探索和研究，分別對翻轉課堂的自學、討論和檢驗三個環節提出了改進方式，并從教學目標和在教學中引入高效學習方法這兩個方面提出了兩個輔助環節以保障翻轉課堂高效教學的實施，解決了高等數學課程難度大且是大班授課不易進行翻轉課堂的困境。所有改進方式體現了“以學生為中心”的教學理念。并給出一節翻轉課堂的實例進行具體說明。通過教學實踐證明了這種教學模式的可行性，實現了培養學生各項能力和提高教學質量的目標。

[關鍵詞] 教學改革;高等數學教學;翻轉課堂;以學生為中心;線上線下混合式學習

[基金項目] 2018年度山東大學（威海）教學改革重點項目“以學生為中心基于高效學習法的‘高等數學’教學方法的探索和研究”（A201804）

[作者簡介] 常 洛（1977—），女，山東淄博人，理學博士，山東大學數學與統計學院講師，主要從事高等數學研究。

[中圖分類號] G642.0 ? [文獻標識碼] A ? ?[文章編號] 1674-9324（2021）48-0101-04 ? [收稿日期] 2021-04-19

一、引言

翻轉課堂于2008年首先被提出[1]，在高校教學改革中，翻轉課堂是實現線上線下混合式教學的主要教學模式，也是體現“以學生為中心”教學思想的重要途徑。《國家中長期教育改革和發展規劃綱要》提出高校教學要充分調動學生積極性和主動性，激勵學生刻苦學習，養成良好學風，培養一批拔尖創新人才[2]。翻轉課堂的教學理念恰好能滿足這一要求，在教學中通過提高學生的參與度調動學生的學習積極性和主動性。

在翻轉課堂中，提出“教學的目的是學而不是教”的思想[3]，學生是教學中的主人，教師為學生服務，學生自主學習，自己解決問題。翻轉課堂的實施，不僅可以提高學生學習的積極性和主動性，而且可以提高學生自學能力、分析和解決問題的能力，培養學生的創新能力。但在高等數學的教學中，翻轉課堂教學模式推廣度很低，這與高等數學的特點和教學現狀有關。首先，高等數學難度大抽象性強，不利于學生自學。其次，高等數學教學往往是大班授課，教師很難服務于每個學生。因此想在高等數學教學中實現翻轉課堂，必須在原有的模式上進行改進。

本文討論翻轉課堂的具體實現，根據教學實踐，提出適合大班授課的高等數學翻轉課堂教學模式，在翻轉課堂的自學、討論和檢驗三個主要環節提出改進，解決了上述困難。除此之外，作者還提出了兩個輔助環節，以協助翻轉課堂教學的順利進行。

二、適合大班授課的翻轉課堂教學模式

翻轉課堂模式分為三個環節，分別是學生課前自主學習、課堂討論和學習檢驗環節，我們將從這三個環節出發，來說明高等數學的翻轉課堂如何實施以適應大班授課的情況。

（一）教材為主SPOC為輔的課前自學環節

常見的翻轉課堂模式是借助線上教學資源，通過線上自學，完成翻轉課堂的第一步學習，學生對學習內容的認知主要是在這一步完成。線上課程是以知識點為單位進行編排，其優點是教師和學生可靈活的選用資源，缺點是教學內容碎片化。而高等數學對于學習的系統性要求特別高，碎片化的學習不利于高等數學學習。在數學教學中，有一個公認的觀點，教材是學習的基礎和重點，自學能力強的學生，通過自學教材就可以取得不錯的成績。作者將這一教學經驗引入到翻轉課堂中，在自學環節安排教材自學和線上SPOC學習兩部分內容，以教材學習為主。

學生自主學習并不意味著教師放任不管，事實上，教師需要做很多工作。在傳統課堂上，為了達到建立系統知識體系的目標，教師會對知識點鋪墊、分析、引申以及建立知識點之間的聯系，教師有充足的課堂時間實現教學設計，使整堂課形成一個完整體系，這是傳統課堂的優勢。而在翻轉課堂中很難加入這些教學設計。作者通過教學實踐，發現把這部分內容放在自主學習階段能夠取得不錯的教學效果。在布置自學任務的同時，教師發給學生一份學習材料，里面主要包含五方面內容。一是學習的知識點與先前知識的聯系，如果要用到前面的知識，寫明學生需要復習的內容。二是對知識點的深度剖析，通過提問題的方式推動學生思考。三是知識的引申，引導學生進一步思考學習內容的應用和拓展，教師可以指出思考的方向，也可以以問題促進思考。四是知識的對照，有的問題從形式上非常相近，卻涉及不同的知識點，將其放在一起對比，可以加深理解，提高應用的靈活性。五是指出學習的知識點和后面知識點的關系，為后續學習做好鋪墊。對于每個知識點來說，這五個方面的內容不一定都會涉及。這其中有的是直接告知學生，如一和五;有的是以問題為導向推動學生思考，即PBL教學法，如二、三和四。這些問題也將是課堂討論環節的討論內容。實踐證明，通過深度思考，很大一部分學生可以回答這些問題，回答不出的同學又有一部分在課堂討論過程中想出答案。經過自主思考獲取的知識，掌握得更牢，理解得更深入，在應用時也更熟練靈活，為培養創新能力打下基礎。

在以上內容的輔助下，學生完成教材的學習，教材內容的完整性和連貫性有助于學生在自學過程中構建知識體系。學習教材是第一輪自學，學習SPOC課程是第二輪自學，是對前者的查缺補漏，也是對知識的強化，學生有目標的選擇SPOC內容進行學習，通常來說第二輪學習耗時較少。

（二）大班課堂討論的實施

翻轉課堂的第二個環節是課堂討論。如果是小班授課的翻轉課堂，教師會盡量聆聽每位學生的發言，檢驗學習效果，但這種方式在大班授課中無法實施。為了提高大班課堂討論的參與度，作者實踐了三種討論方式。

第一種方式是學生將討論問題的答案提交給教師，教師選出有代表性的進行講解。因為節省了討論時間，教師有時間對學習內容充分解析。在學生適應翻轉課堂教學的過渡期，可采用這種方式。

第二種方式是分組討論，根據學情對學生分組，讓每組中有處于各個學習水平的學生，要求每位同學必須參與討論和交流。教師在各組隨機選取一位同學陳述討論結果，并解答學生的問題。盡管按組匯報節省了時間，但仍會出現等待的情況，所以采用這種討論模式時，通常會把第二、三環節放在一起，讓完成討論的同學先行進入實踐環節。這種方式適用于難度低、含義明確、不需深度解析的內容，學生經過組內討論基本就可以得到問題的正確答案。

第三種方式是選幾名學生主講發言，其他學生參與討論。為了保證每位同學都積極參與，主講學生由軟件隨機選取，其余參與討論的學生由舉手發言和隨機選取兩種方式產生，隨機性使得每位同學必須完成課前自學，而且在討論過程中要高度集中注意力。發言的學生有平時成績加分以激勵參與的積極性。這種方式雖然無法保證每位同學都有發言機會，卻可以確保每位同學集中精力聽講和進行深度思考，達到了高等數學的教學要求。這種討論方式適用于有難度、有深度的知識點，學生討論過程中教師可適當參與進行引導和補充。

在教學中教師可根據學習內容和教學課時靈活應用這三種討論模式。無論采用哪種方式，教師須在最后總結，梳理知識主干和細節，這一步可借助思維導圖完成。如果需要引入課程思政元素，可放在教師總結時間完成。隨著翻轉課堂教學的進行，會發現學生在討論環節進行的越來越流暢，通過調查發現，超過55%的學生會在課前的自學環節中針對教師提出的問題進行討論。為了搞懂學習內容，同學們也會主動尋找線上資源或查閱書籍資料，這說明同學們逐漸掌握了探索性和研究性的學習方式。

（三）高等數學的學習檢驗環節

在多數相關文獻中，對于這一環節介紹的比較簡單，如文獻[4，5]等。其他課程的做實驗、寫論文等方式[1]都不適用于高等數學。作者認為，對于高等數學來說，能否正確做出題目是檢驗學習效果的重要標準。在傳統授課模式中，這部分在課下完成，教師批改作業發現學生學習的疏漏。但因為教材有習題答案，學生會確保自己作業正確后才上交，使得老師難以在作業中發現問題。我們將作業放在翻轉課堂的第三環節，學生在遇到困難時可與老師或同學交流，老師可及時發現問題并對知識漏洞補足。要注意的是，在師生交流中教師只需適當點撥，需把主動思考的機會留給學生。

在這一環節，很重要的一點是教師要在作業完成后和學生一起整理思路，特別是對于難題，可按照“頭腦風暴”形式組織學生分析題目尋找解決方法。此環節的一個優點就是完成作業后馬上進行復盤，學生對于解題時思路哪里對、哪里錯、哪里沒想到有更深的領悟。借此可培養學生分析問題和解決問題的能力，同時在一定程度上培養了學生的創新能力。

關于翻轉課堂的一個爭議是占用學生過多的課下時間，我們的翻轉課堂模式的設計經過課前兩輪和課上一輪的學習，可大大減少學生課后復習和寫作業時間，總體來說沒有顯著增加學生的學習時間。可以看出，這三個教學環節設計從學生出發，全面圍繞學生的需求，是貫徹了“以學生為中心”思想的教學設計。

三、翻轉課堂的其他輔助環節

對于教師來說，為了保障翻轉課堂的順利進行和取得更好的教學效果，還需要完成兩個輔助環節。

（一）設定明確的教學目標

翻轉課堂的教學中教師需將教學目標盡可能詳盡、明確的制定出來。作者按布魯姆教學分類法將教學目標分為“記憶、理解、應用、分析、評價、創造”六個層級。除此之外，在撰寫教學目標時參考了ABC模式[6]，即要有對象（A）、行為（B）、條件（C）三個因素。撰寫教學目標要以學生為主語，讓學生以第一視角了解自己的學習目標。這也是“以學生為中心”教學思想的體現。學生可以根據學習目標評價自己的學習效果，從而在課堂上與老師、同學交流時能有的放矢，有助于在翻轉課堂中實現高效學習。

（二）在教學中注重引入高效的學習方法

在翻轉課堂教學中特別適合推行高效學習法。首先，費曼學習法是物理學家費曼在教學時提出的一種學習方法，是讓學生用自己的語言講解知識。翻轉課堂中學生發言討論環節恰好符合了費曼學習法的要求。其次，《刻意練習》[7]中指出，想要又快又好的學會知識，需要專業老師帶領并設計學習方式，需要有明確的大目標和細化的小目標，需要學習者依照目標全身心地投入學習，在學習過程中需要得到老師的及時反饋，這些在我們的翻轉課堂中都得以實現。再次，《認知天性》[8]中提出反復間隔性檢測有助于內化知識?？稍诹曨}課上注重間隔練習，比如第三章的習題課中加入第一章的題目，通過反復間隔練習鞏固學生已掌握的知識。高效的學習方法在提高學生學習效率的同時也優化了學習成果，取得了事半功倍的效果。

四、翻轉課堂的教學實例

以第九章第二節平面直角坐標系下二重積分的計算[9]為例，說明翻轉課堂實現的過程，時長是2課時100分鐘。

（一）教學目標

我們分別用I～VI來代表布魯姆教學目表中的各層級。共五個教學目標，以學生視角敘述：完成本節學習后，我們需做到（1）掌握區域D的描述方法（I，II），要求能夠將已知圖形描述成X型區域或Y型區域（III），也能夠根據D的描述方法畫出其表達的圖形（III）。（2）學習并掌握二次積分的概念（I，II），可以將二重積分化為二次積分，也可以將二次積分化為二重積分（III）。（3）能正確完成二元函數求積分的題目，其中包括二重積分化為二次積分、累次積分交換積分次序、求曲頂主體的體積、求由兩個曲面圍成的幾何體的體積的題目（III）。（4）知道二元函數積分和一元函數積分之間的聯系（IV）。（5）思考并分析二重積分計算方法得到的過程，領會其中體現的創新思想（VI）。

（二）自主學習環節的材料

學習材料內容：（1）復習第四章一元函數定積分的定義和求法;復習已知平行截面面積的立體體積的求法。（2）請回顧二重積分的定義9.1.1，你會發現二重積分是一個極限，也是一個級數，請問用求極限或者求級數的方法能否求二重積分？類比一元函數定積分，它是用求極限的方法求得的嗎？（3）轉換思考問題的角度，在第一節中用積分表示曲頂主體的體積，反之，一個二元函數的積分是否對應了某個曲頂主體的體積？（4）請用已知平行截面面積的立體體積的求法求一個長方體的體積。如果把這個長方體的頂變為曲面呢？如果底面是不規則區域，你會遇到什么困難？（5）請閱讀課本153～154頁例9.2.1以上部分，是如何解答（4）的？（6）請關注區域D的描述方法，它和累次積分的順序有什么關系？如果想交換累次積分的積分次序，你該怎么辦？（7）請讀例9.2.1～9.2.3，請思考在將二重積分化為二次積分時，該如何選取積分順序，選取的依據是什么？（8）請回憶一元奇、偶函數在對稱區間上的積分的計算及其幾何意義，然后請閱讀例9.2.4～9.2.6，它們的共同特點是什么？（9）請閱讀158頁，當二元函數關于某一個變量是奇、偶函數時在相應的對稱區域上的積分性質，你能從幾何意義上理解它們嗎？你能推導出它們嗎？（10）研讀完課本請觀看SPOC課程。

（三）課上討論環節

教師先用5分鐘引入知識背景，然后根據上部分提出的問題進行討論，采用的是第三種討論模式，大約45分鐘。利用雨課堂的點名功能隨機抽取9位同學發言，其余同學可舉手發言參與討論，此外教師再隨機抽取同學參與討論，還可以通過雨課堂彈幕功能發言。討論完教師進行總結，加入課程思政元素，大約10分鐘。

（四）作業解析環節

共40分鐘，其中25分鐘作業時間，15分鐘講解時間。在作業時間學生可與老師交流。

五、翻轉課堂的教學效果的評價

從期末考試成績來看，翻轉課堂教學班的成績比傳統教學班的成績高4.7分，及格率高8.7%。這兩種教學方式從成績上看沒有顯著差異，但從及格率上可發現翻轉課堂能夠大大減少學生不學習的情況。而啟發學生思維，提高學生探究式、研討式學習的興趣，培養學生自主學習的能力才是翻轉課堂的教學目的。期末調查顯示，92%的學生喜歡這種教學方式。教學中發現經過翻轉課堂學習的學生學習主動性更高，初步具備了探究式學習的能力，學生在參加科研活動時也愿意用數學解決問題，這都表明我們實施翻轉課堂教學的目標得以實現。

參考文獻

[1]于歆杰.以學生為中心的教與學：利用慕課資源實施翻轉課堂的實踐（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2017：5-7.

[2]教育部.國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010-2020年）[EB/OL].（2010-07-29）[2021-01-21].http：//www.moe.gov.cn/srcsite/A01/s7048/201007/t20100729_171904.html.

[3]拉塞爾·L·阿克夫，等.翻轉式學習[M].北京：中國人民大學出版社，2015：19.

[4]李薇，等.高等數學翻轉課堂教學模式的設計與實踐[J].高教學刊，2021（8）：109-112.

[5]李玲，等.翻轉課堂教學模式在大學數學教學中的應用[J].數學理論與應用，2015（6）：123-128.

[6]何仁生.教學系統概論[M].長沙：湖南大學出版社，2014：103.

[7]安德斯·埃里克森，等.刻意練習[M].北京：機械工業出版社，2019：129.

[8]彼得·C·布朗，等.認知天性[M].北京：中信出版社，2018：79-83.

[9]劉建亞，等.微積分[M].北京：高等教育出版社，2018：145-155.