高中數學解題中隱含條件的挖掘

尹秀香

【摘要】數學在高中階段是非常重要的科目之一，對高中生的學業及生活都起到十分關鍵的作用.從高中生的角度來看，數學的學習任務相對繁重，需對掌握許多知識點，所學習的內容也較為龐多和雜亂.因此，高中數學能夠對大部分的高中生產生阻礙.對高中生而言，要想把數學學好，就須將高中數學的知識點融會貫通，對高中數學題中具有的隱含條件進行挖掘，從而發現解題的思路，使數學問題能夠得到順利解決.本文旨在探討如何通過對高中數學解題中隱含條件的挖掘，發現解題方法.

【關鍵詞】高中數學;解題;隱含條件;挖掘

數學問題的完整性通常包括條件與目標兩個方面.問題條件主要具有顯性條件與隱含條件以及干擾項.顯性條件在解答方面能夠提供非常直接的幫助;隱含條件普遍都受忽視，因此需要學生獨立挖掘;干擾項使題目難度增加，對學生的思考設置產生影響.在解題的過程中，學生只要對顯性條件進行確認，對隱含條件進行挖掘，對干擾項進行排除，才可以使解題的效率得到提升.

一、意義

有些數學問題即使表面上看比較有難度，但是若是能夠把數學題內存在的隱含條件挖掘出來，就可以使解題步驟得到快速簡化，將題中具有的數量關系理清，使解決數學問題的效率提高[1].

二、方法

（一）已知條件方面

解決高中數學問題的過程，本質就是對學生邏輯思維的考查過程.分析題中存在的隱含條件就是通過邏輯思維進行的.在學習高中數學知識的過程中，雖然教師的講解十分重要，但是學生進行練習也是十分關鍵的.學生進行數學的日常練習時，基本上都會把教師在課堂上傳授的知識進行變形或者拓展，屬于將知識進行延伸.所以，學生在練習時，題目難度就會變大.學生在進行具體題目的解決時，若是想得到其中存在的隱含條件，就需要全面分析與研究已知條件，對已知定理或者設定進行透徹理解與分析，準確找到題目條件所包含的定義與公式，再利用公式變形將題中存在的隱含條件找出.

例如：已知函數f（x）=loga（x+1）（a>0，且a≠1），g（x）=loga（4-2x）.求使函數f（x）-g（x）的值為正數的x的取值范圍.

題目自身較為復雜，學生在表象認識方面存在困難.學生第一眼看到此題目時，會認為此題所給的條件不夠，無法解答.有些學生還會被禁錮于題目呈現的簡單條件之中，這時若是想在其中發現隱含的條件就非常困難了.因此，學生在做題時，必須將題面上所給的全部已知內容都找到，且在其中找到需要解決的問題與高中數學內一些定理的相似之處[2].

解析：令f（x）-g（x）>0，得f（x）>g（x），即loga（x+1）>loga（4-2x）.當a>1時，可得x+1>4-2x，解得x>1.因為-1<x<2，所以1<x<2;當0<a<1時，可得x+1<4-2x，解得x<1，因為-1<x<2，所以-1<x<1.綜上所述，當a>1時，x的取值范圍是（1，2）;當0<a<1時，x的取值范圍是（-1，1）.

由解析所表達的內容可以清晰地看到，本題的解題關鍵在于通過已知條件進行轉化，從而找到該題目的解題核心即“令f（x）-g（x）>0，得f（x）>g（x）”.在找到解題關鍵后，該題由已知條件不完整，變成了一道簡單的不等式問題，這在極大程度上降低了解題難度.同時，在上述的題目解析中可以發現，高中數學問題的條件通常不會直接呈現給解題者，而是需要解題者在利用平時課堂上所學內容的基礎上，合理運用邏輯思維在題干中找到解題關鍵.因此我們可以說，高中階段的數學題目正是為了有效考察學生的邏輯思維，并以此鍛煉學生的思維能力.

（二）推理方面

學生在進行高中數學的學習時，只需對方法有一定的掌握就能夠使題目難度得到明顯降低.題目內具有的隱含條件是將數學問題徹底解決的重要內容.學生只有不斷推理和探究題目，才能發現解決問題的方法，發現解題時需要的實質內容.但是一部分題目非常復雜，很難挖掘其中存在的隱含條件，只有利用具有嚴密性的邏輯推理與求證，才能夠將隱含條件推導出來，最終將問題解決[3].

例如：已知A+B+C=π，求證：tan2A2+tan2B2+tan2C2≥1.

學生在看到此題時，第一反應就是題目中條件不夠，沒有辦法解題.但是若是經過較為嚴密的推理就可以將此題中存在的隱含條件找到.

解析：利用基本不等式a2+b2≥2ab，同向不等式相加，可以得到tan2A2+tan2B2+tan2C2≥tanA2tanB2+tanC2tanB2+tanA2tanC2;然后只需證明tanA2tanB2+tanC2tanB2+tanA2tanC2=1即可.由兩角和的正切公式的變形可得tan α+tan β=tan（α+β）（1-tan αtan β），結合三角形內角的關系可得tanC2=cot（A+B）2，至此即可求出結果.

證明：因為tan2A2+tan2B2≥2tanA2tanB2，

tan2C2+tan2B2≥2tanC2tanB2，

tan2A2+tan2C2≥2tanA2tanC2，

所以將三個不等式相加可得：

tan2A2+tan2B2+tan2C2≥tanA2tanB2+tanC2tanB2+tanA2tanC2=tanA2tanB2+tanC2tanA2+tanB2=tanA2·tanB2+cotA+B2tanA+B21-tanA2tanB2=1，

即tan2A2+tan2B2+tan2C2≥1.

由上述題目解析可知，僅憑題干的已知條件進行證明是無法直接解開此題的，需要學生進一步利用自身的知識積累來找到題中的隱含條件.類似于上述形式的數學題目，在高中階段的“出鏡率”較高，并且具有一定的難度.但是通過上述解題過程不難發現，該類題目的出題意圖在于考察學生的知識儲備，學生只有掌握固定的不等式關系，才能滿足上述題目的解題要求.同時，學生在解題過程中，依舊需要將自身積累的數學知識運用于解題過程中，從而為題目“湊齊”解題條件.而這種思維在學生未來進行科學或學術研究時，能夠為其起到一定的支撐作用.在學術研究過程中必須通過已知的知識來求證未知知識，在條件不滿足的情況下，科研人員一定要具有上述的“拼湊”思維，巧妙且合理地將所有知識及條件匯聚在一起，才能解開未知的謎題.因此，學習與練習數學題目能夠在一定程度上培養學生的思考能力，為其日后的工作及學習奠定良好的基礎.

（三）定義方面

定義和性質是數學解題過程中的著手處，屬于淺顯的隱含條件，但若是不夠重視就會成為非常隱蔽的隱含條件.例如，一元二次方程中的二次項系數不能是0，指數函數中底數必須是不是1的正數，等等.

例如：已知數列{an}中，a1=3，前n項和Sn=12（n+1）·（an+1）-1.求證：數列{an}是等差數列.

解析：由Sn=12（n+1）（an+1）-1，得Sn+1=12（n+2）·（an+1+1）-1，兩式相減后整理可得nan+1=（n+1）an-1，則（n+1）an+2=（n+2）an+1-1，兩式相減整理后利用等差中項公式可判斷.

證明：因為Sn=12（n+1）（an+1）-1，

所以Sn+1=12（n+2）（an+1+1）-1，

所以an+1=Sn+1-Sn=12[（n+2）（an+1+1）-（n+1）（an+1）]，

整理可得，nan+1=（n+1）an-1，①

所以（n+1）an+2=（n+2）an+1-1，②

②-①可得，（n+1）an+2-nan+1=（n+2）an+1-（n+1）an，

所以2（n+1）an+1=（n+1）（an+2+an），

所以2an+1=an+2+an，

所以數列{an}為等差數列.

通過上述題目解析可知，在進行數學題目解答時，學生需要準確掌握使數學概念成立的充分與必要條件.在高中階段的數學學習過程中，很多定理的存在與成立都需要一定的固有基礎，同時根據定理又能得到相應的固有結論.因此，在一般的數學題目中，既定的充要條件通常不會直接呈現，學生需要通過自身對于定理的熟練掌握在解題過程中自行進行補充，從而滿足題目的解題需求.因此，教師在日常的數學教學中，需要對學生在該方面進行強調，并在講解新定理的過程中要求學生對定理的結論及條件進行記憶.但需要注意的是，教師在課程中對學生提出定理記憶要求時，需要直接配合上述類型的題目要求學生進行練習，從而使學生直觀感受到記憶定理的作用.

（四）聯系方面

在單獨地、孤立無援地對已知條件進行審視時，能夠在已知條件的聯系中發現新的隱含條件.

例如：銳角α，β滿足條件sin4αcos2β+cos4αsin2β=1，求證：α+β=π2.

證明：由已知可設sin2αcos β=cos θ，cos2αsinβ=sin θ，

則sin2α=cos θcos β，① cos2α=sin θsin β，②

①+②得：cos（θ-β）=1θ-β=2kπ，

所以θ=2kπ+β（k∈Z），

所以sin2α=cos θcos β=cos2β，cos2α=sin θsin β=sin2β，

因為α，β為銳角，所以sin α=cos β=sinπ2-β，

所以α=π2-β，即有α+β=π2.

由上述類型的題目及對應解析可知，學生在進行數學習題解答的過程中，需要充分認識到題干中所存在的固有關系，而該類固有關系正是題目的隱含條件，學生只有及時發現該類隱含關系才能有效解開該類題目.此類題目在發現隱含條件后的整體運算并難，故需要教師在日常練習過程中幫助學生進行解答，并指導學生進行相應的積累.其中在要求學生進行積累時，教師要有所側重的為學生指出解題重點，意在培養學生發現隱含條件的思維能力，切忌放任學生死記硬背.

（五）認知動因方面

在數學教學活動中，不但具備將認知動因進行激活的策略，也具備將認知內容和方法進行激活的策略，前面的內容依據聯想，后面的內容依據類比[4].解題的過程不僅是聯想的過程也是類比的過程.

例如：在等比數列中，若S30=13S10，S10+S30=140，則S20等于多少？

分析：這是一道關于等比數列的題目，要回憶等比數列的前n項和的公式.首先，由已知條件可得q≠1，S10=10，S30=130，接下來就可以利用等比數列的前n項和公式將其進行變形，進而得到關于q的方程，即可求出q10的值，然后利用等比數列的前n項和公式進行解答就可以了.

解：因為S30=13S10，且數列為等比數列，所以q≠1.

因為S30=13S10，S10+S30=140，

所以S10=10，S30=130，

所以a1（1-q10）1-q=10，且a1（1-q30）1-q=130，

所以q20+q10-12=0，

所以q10=3，

所以S20=a11-q201-q=S10（1+q10）=10×（1+3）=40.

從該類題目的解題過程中可以看出，此類題目能夠很好地檢驗學生對題干的拆解能力，教師在為學生講解過題目后，一定要重點對其隱含條件“q≠1”及等比數到的特征進行總結，其目的在于吸引學生對題干的注意力，從而在后續解題過程中能夠發現題干中的隱藏條件.

（六）圖形方面

一位法國數學家曾經說過，代數和幾何一旦分道揚鑣，那么它們的發展范圍就會變得十分緩慢，它們在應用方面就十分狹窄，但是把它們相互結合、相互聯系，它們就能相輔相成、互相影響，就能夠加快發展的步伐，變得更加完善.

例如：已知點A（1，2），B（3，-5），P為x軸上一動點，求P到A，B的距離之差的絕對值最大時P點的坐標.

分析：從題中能夠看出，若不通過數形結合，則很難算出P到A，B的距離之差的絕對值最大時P點的坐標，因此，可以利用數形結合的方式進行解題，如下圖所示.易得當B′，A，P三點共線時，|PA-PB|最大，設直線AB′的解析式為y=kx+b，利用待定系數法即可求得直線AB′的解析式，點P即是此函數與x軸的交點坐標.

解：設B關于x軸的對稱點為B′，連接PB′，AB′，

則B′（3，5），PB′=PB，

所以|PA-PB|=|PA-PB′|≤AB′，

則B′，A，P三點共線時，|PA-PB|最大.

設直線AB′的解析式為y=kx+b，

則有2=k+b，

5=3k+b，可得k=32，

b=12，

所以直線AB′的解析式為y=32x+12.

令y=0，可得x=-13，

所以符合題意的點P的坐標為-13，0.

數形結合不僅是數學發展歷史中的重要發現，也是當下高中數學題目中隱藏條件的最好手段.因此，教師需要充分培養學生將圖形與函數進行聯系的能力，往往題干中的隱藏條件就存在于圖形與函數之間.此外，高中數學的教學內容中包含了多種函數形式，并進一步提升了學生對于函數的理解要求.故教師要重視在日常教學中加強學生于函數的理解，并在適當時間要求學生自行進行函數圖像的描繪，或通過建立函數圖像來要求學生寫出對應的函數表達式.

三、結語

學生在學習高中數學知識時，需要把所學的知識不斷運用，這樣才可以實現學習的目的.學生在解題時挖掘題中蘊含的隱含條件，并采取與之相關的定義將問題解決，對解題效率的提高有很大的幫助.

【參考文獻】

[1]任運生.分析高中數學解題中隱含條件的挖掘[J].中學生數理化，2020（04）：13.

[2]劉九華.高中數學解題中隱含條件的挖掘分析[J].中學生數理化，2019（12）：17.

[3]畢小巖.高中數學解題中如何挖掘隱含條件：以三角函數為例[J].高中數理化，2019（08）：1-2.

[4]錢瑋.挖掘數學隱含條件，找到解題突破關鍵[J].數學學習與研究，2019（01）：127.