淺談如何在小學數(shù)學課堂教學中滲透建模思想

摘 要：文章從創(chuàng)設問題情境，激發(fā)建模興趣;嘗試猜測探究，親歷模型構建;精煉數(shù)學思想，完善建模過程;解決實際問題，拓展數(shù)學模型四方面闡述了如何在小學數(shù)學課堂教學中滲透建模思想，從而有效提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

關鍵詞：小學數(shù)學;數(shù)學建模;課堂教學

數(shù)學建模也叫做創(chuàng)建數(shù)學模型，即利用合理的數(shù)學語言與方法，將數(shù)學問題中所描述的復雜的已知條件，經(jīng)過剝繭抽絲，以簡馭繁，提取出有價值的數(shù)學信息，保留問題的本質(zhì)屬性，把抽象問題具體化、形象化，進而轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號或圖像并形成某種數(shù)學模型，最后再將這一數(shù)學模型運用到實際中去解決問題。由此可見，滲透、培養(yǎng)建模思想具有重大的現(xiàn)實價值。

一、 創(chuàng)設問題情境，激發(fā)建模興趣

每一個數(shù)學模型，都是建立在現(xiàn)實生活背景上的。教學中，教師應精心設計新奇、有趣的問題情境，鏈接一些與教學內(nèi)容有關的實際生活案例，喚醒學生現(xiàn)有的生活經(jīng)驗，激發(fā)學生的建模興趣，讓學生在嘗試解決問題的基礎上，體會并構建潛藏于其中的數(shù)學模型。

如教學人教版四年級“平均數(shù)”一課時，教師從學生熟悉的、感興趣的運動會“一分鐘投籃”比賽入手，充分激發(fā)學生的探究精神，自主解決問題。

出示比賽視頻（運動會當天一個男隊員生病請假），學生觀看視頻并填寫表格：

師：請同學們把兩隊的總成績算出來。

生：女隊一共投中34個，男隊一共投中28個。

師：現(xiàn)在根據(jù)他們的比賽總成績，老師宣布最后的勝利者是女隊，你們覺得公平嗎？

男生：不公平！女生人數(shù)多，根據(jù)總個數(shù)決定勝負不公平。

女生：我們女隊不僅總成績最高，而且個人最高成績也是我們女生，投中了9個，我們女生是當之無愧的冠軍。

男生：團體比賽怎么能光看一個人的成績決定輸贏？如果這樣，我們也可以說最低分是女生，女生才是失敗者。

師：哦，那怎樣才能公平的判決比賽的勝負呢？

男生：女隊去掉一個隊員或者男隊增加一個隊員。

師：可是比賽已經(jīng)結束了，怎么加啊？

男生：那就女隊去掉一個人。

師：女隊去掉幾號選手？

男生：104（男生激動地喊道）

女生：103（女生也不甘示弱）

師：大家意見出現(xiàn)了分歧，如果現(xiàn)在既不增加男隊人數(shù)也不減少女隊人數(shù)，怎樣才能使比賽公平？

……（全班沉默中）

可以分別求出兩隊的平均數(shù)（一個小小的聲音從角落中傳出）

師：你的意思是用平均數(shù)來比較兩隊的勝負嗎？

生：嗯。

師：平均數(shù)是什么意思啊？你能給大家解釋一下嗎？

生：平均數(shù)就是使男隊每個隊員投中的個數(shù)變得一樣多，女隊每個隊員投中的個數(shù)也變得一樣多，這樣就能定輸贏。

師：他的意思同學們聽明白了嗎？（一陣熱烈的掌聲響起）

通過“一分鐘投籃”比賽這一情境的創(chuàng)設，學生提出了判斷比賽勝負的方法：比較男女隊員的總分、比較男女隊員的個人最高成績，但都被一一否定了，初步建模顯然失敗。這時學生的思維陷入了瓶頸，激發(fā)了他們的建模需求，在熱烈地討論中積極尋求一個新的解決問題的策略，在一次又一次的思維沖突中引出了“平均數(shù)”，由此構建了“平均數(shù)”這一數(shù)學模型。

二、 嘗試猜測探究，親歷構建模型

數(shù)學模型的建立需要通過共性事物的不斷積累，教師要選取多維度的數(shù)量關系，為學生構建數(shù)學模型提供可能。教學中，教師應多鼓勵學生自主探究與合作交流相結合，勇于質(zhì)疑解疑、善于猜想驗證，從而構建數(shù)學模型，并在實踐中不斷改進、優(yōu)化。

如教學人教版四年級“雞兔同籠”一課時，當學生利用“畫圖法”數(shù)形結合，深刻理解了雞兔同籠的數(shù)量關系后，教師趁機啟發(fā)學生嘗試用假設法來解決問題。

師：剛才的思考過程能否用算式表示出來呢？請獨立完成，并同桌交流想法。

生展示：11×2=22（條） 36-22=14（條） 14÷2=7（只） 11-7=4（只）

師：能說說你是怎么想的嗎？

生：先假設籠子里11只都是雞，就有11×2=22（條）腿，再用36-22求出少了14條腿，要補上少了的這14條腿，就要把7只雞換成7只兔子，求出兔子有7只，最后把11-7=4（只），求出雞的只數(shù)。

師：14÷2=7（只），這里的2是什么意思呢？

生：2是指把一只雞換成一只兔，腿就增加了2條。

師：對，在這里我們要先算出4-2=2（條）。（在作業(yè)單上補上4-2=2（條））

師：我們要補上少算的14條腿，就要把幾只雞換成幾只兔？

生：14÷2=7（只）。

師：求出的7只和4只分別是誰的只數(shù)？

生：7是兔的只數(shù)，4是雞的只數(shù)。

師：怎樣區(qū)分雞、兔的只數(shù)？

生：假設全是雞，腿必定會少，就要用兔子去換雞，所以先求出兔的只數(shù)。

師：真棒！剛才我們假設籠子里都是雞，求出了答案。現(xiàn)在轉(zhuǎn)換思考角度，假設籠子里都是兔，你能挑戰(zhàn)自己解答這個問題嗎？

生：能。

師：請同學們先獨立完成，再與同桌交流，注意把自己的想法表達清楚。

學生反饋，理清解題思路。

師：我們通過假設籠子里都是雞或者都是兔的方法解決問題，發(fā)現(xiàn)破解此類問題的規(guī)律：假雞先得兔，假兔先得雞，從中求得答案，這在數(shù)學中叫做假設法。

這一環(huán)節(jié)的教學，讓學生經(jīng)歷從多種角度思考，根據(jù)已有的經(jīng)驗，不斷調(diào)整解題策略，提取問題本質(zhì)，探索解題方案，積攢解題經(jīng)驗，讓學生在思考、分析、歸納過程中建立“假設法”這一數(shù)學模型。

三、 精煉數(shù)學思想，完善建模過程

思想方法是學生建模過程中不可缺少的思維工具，是數(shù)學模型的核心。在教師的指引下，學生主動探尋數(shù)學奧秘、獲取數(shù)學知識，并嘗試通過自我努力將其精煉、轉(zhuǎn)化為數(shù)學思想，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。同時不斷完善數(shù)學模型的建構，深化數(shù)學模型的內(nèi)涵。

如教學“圓的面積”一課，教師在建構圓的面積公式這一數(shù)學模型時，要注重滲透“轉(zhuǎn)化”和“極限”兩種數(shù)學思想方法，加深對公式推導過程的理解，使學生知其然并知其所以然。

（一）滲透“轉(zhuǎn)化”思想，促進知識遷移

1. 回顧猜想

師：在推導平面圖形的面積公式時，我們運用了哪些數(shù)學思想？

生：運用了轉(zhuǎn)化的方法。

師：猜猜，圓能轉(zhuǎn)化成哪些平面圖形？

學生大膽猜測，有的猜轉(zhuǎn)化為長方形，有的猜轉(zhuǎn)化為平行四邊形。

2. 操作驗證

師：拿出學具動手剪一剪、拼一拼，驗證大家的猜測是否正確？

（教師給學生提供剪刀、不同等分的各種圓等學具，學生分組動手操作并完成學習單。）

3. 反饋交流

生1：我們小組把圓平均分成8份，剪開后，把這些小扇形拼起來，拼成一個平行四邊形。

生2：我們小組是把圓16等分，剪拼后的圖形近似于長方形。

師：請同學們仔細思考，如果把圓無限等分，能拼成什么圖形？

課件演示：圓的分割拼合過程（把圓32、64、128…等分）。

生：拼成圖形的邊越來越直，就變成了長方形。

4. 歸納總結

思考：

（1）圓剪拼成長方形什么變了？什么不變？

（2）嘗試推導圓的面積公式。

學生得出結論：

（1）圓剪拼成長方形周長變了，面積不變。

（二）滲透“極限”思想，開放思維空間

極限思想極其抽象，不易理解，必須依托于教材的學習進行滲透。在推導“圓的面積”公式這一環(huán)節(jié)中，從“8、16等分”到“32、64、128…等分”，從“分的份數(shù)越來越多”到“一直不停地分下去”，讓學生在動手操作和觀看課件演示中，觀察圖形剪拼的變化趨勢，學生在大腦中呈現(xiàn)圖形的分割從有限到極限的過程，從而得出最終結論，并相機滲透“極限”思想，感悟極限思想的價值。

有了這一知識的鋪墊，在今后學習“圓柱體積”時，學生自然而然就會想到把圓柱無限分割拼成一個長方體，從而推導出圓柱體積公式，實現(xiàn)了自主學習。

四、 解決實際問題，拓展數(shù)學模型

應用數(shù)學模型解決問題，不僅使構建的數(shù)學模型得以擴展和延伸，大大提高學生的解題能力，還能使學生深刻領悟到數(shù)學模型在生活中的意義及價值，強化學生建模的自發(fā)性與能動性。

如教學人教版五年級“植樹問題”一課，教師借助于畫圖——提煉——應用，讓學生明確植樹問題的本質(zhì)特征及解題模型，并將其應用于解決現(xiàn)實生活中的問題。在教學例題后，教師可設計以下三題練習來拓展此類數(shù)學模型。

第一題：為慶祝元旦，湖州營新社區(qū)在全長1400米的江濱大道一側(cè)，從頭到尾每隔7米插一面彩旗，一共要準備多少面彩旗？

第二題：長樂南山公園林蔭小道上種植了35棵桂樹（兩端都栽），每兩棵桂樹之間相隔6米，這條林蔭小道長多少米？

第三題：筆直的跑道一旁擺了31盆花，每盆花的間隔是3米，現(xiàn)在只擺19盆花（兩端的花不動），間隔應改成多少米？

第一題直接應用模型：兩端都栽的總棵數(shù)=間隔數(shù)+1，學生很容易就能列出算式：1400÷7+1=201（面）。第二題是模型的變式，學生通過自主探究，也能明白在兩端都栽的情況下，種了35棵桂樹，就意味著有34個間隔，從而延伸出新的數(shù)學模型：總長度=間隔米數(shù)×間隔數(shù)，使問題迎刃而解：6×（35-1）=204（米）。第三題更是加大了難度，教師應引導學生細致分析，理解題意，把原題分解為兩個部分，先根據(jù)跑道一旁擺了31盆花，每盆花的間隔是3米，應用第二題的新模型，求出跑道的總長度：（31-1）×3=90（米），再提示學生通過畫圖遷移，構建出新模型：間隔米數(shù)=總長度÷間隔數(shù)，順利地解答了此題：90÷（19-1）=5（米）。在構建“植樹問題”的解題模型后，進行從易到難的階梯練習，使學生主動學會數(shù)學模型的變形和拓展，提升學生的應用能力。

綜上所述，小學數(shù)學建模過程是一個持續(xù)性、全面性的發(fā)展過程，極具現(xiàn)實意義。教學中，教師要深入理解和把握數(shù)學建模的著力點，注重因材施教，使學生體驗建模樂趣，并將數(shù)學建模與實際問題相聯(lián)系，以實現(xiàn)教學的最終目標。

參考文獻：

[1]孫海艷.小學數(shù)學建模思想的滲透策略[J].小學教學參考：數(shù)學版，2014（3）：1.

[2]姚秀清.小學數(shù)學課堂中“數(shù)學建模”教學策略分析[J].教學管理與教學研究，2018（20）：75-76.

作者簡介：高香琴，福建省福州市，長樂區(qū)營前中心小學。