探析建模思想 落實核心素養

摘 要：新課改的提出并逐步深入，要求當下的教育者明確學生在課堂中的主體地位，在傳遞學生知識的同時，落實學生的核心素養。高中數學是一門非常重要的學科，該學科考查的是學生基礎知識的掌握能力、思維的應變能力。學生想要學好該門課程，就必須要學會采用各種數學思想進行解題。其中建模則是數學學習過程中較為普遍的一個思想，基于這類思想，可以幫助學生化抽象為具體，化難為易，逐步提高學生學習的自信。文章就建模思想以及建模思想在解高考數學題中應用的意義進行闡述，分析高中階段學生在解數學題所面臨的現狀，提出在解高考數學題中融入數學建模思想的策略。

關鍵詞：建模思想;高考數學題;意義;現狀;應用

一、 引言

建模思想是數學學習過程中學生的核心素養之一，通過把題目的原型進行分析、提煉，建立圖形、數字或者是符合數學的模型，繼而基于所學習的數學工具對數學模型解答，最終將結果和原型之間相互比較或者擴充，獲得答案。近年來的數學高考題目中采用建模思想解答的題目非常多，也是學生在學習過程中必須要學會的一種思想。因此，加強對數學建模思想在高考數學題目中的研究就顯得尤其必要。

二、 建模思想以及建模思想在解高考數學題中應用的意義

（一）建模思想的基本概念

建模思想就是基于原有的現實問題，對其進行分析并建立數學的模型，基于所學習的數學知識，對數學模型進行解答，繼而解決實際的題目。通常建模會分為五個過程：分別是模型的準備，在這個階段需要深入探索問題的背景，問題的意義，在問題中的各種要素;假設模型，根據對象的基本特征以及建模的目的，簡化問題，適當提出假設;建立模型，在假設的基礎上，用數學工具將各個變量之間的數學關系進行刻畫，構建數學模型結構;解答模型，根據題中的各種數字資料，對數學模型進行解答;分析模型，將解答的結果和題中的要求進行對比和分析，以驗證模型建立的合理性。如果實物和模型之間比較吻合，那么則需要給計算結果賦予含義。如果模型和實際吻合度不高，則需要修改假設，再次建模。

（二）建模思想在解高考數學題中應用的意義

1. 有利于幫助學生突破較難的數學題目

數學一直是高中階段比較基礎且重要的學科，在高考中數學的分值也占據較大。很多學生語文、英語成績都還可以，但是數學卻很難提升。這和數學這門課程本身的性質有關，其并不是一門光靠死記硬背就可以獲得好成績的學科，需要學生掌握一定的數學思維。建模是數學解題非常重要的思想，在高考題目中很多難題都可以通過建模的方式化難為易，化抽象為具體，幫助學生突破數學考試中較難的題目，獲得高分數。

2. 有利于提高學生解題的自信心

高考一張試卷從填空題、選擇題、解答題，每一道題目都需要認真思索，而高考是決定學生這十幾年寒窗苦讀是否一戰成名的關鍵時刻。如果學生在解答題目時總是遇到攔路虎，必然會影響解題的積極性，甚至會自暴自棄，最終也很難獲得好的成績。相反，融入建模思想，即使遇到較難的題目，學生也可以通過建模進行解決，當解答越來越順暢時，學生的自信心也會爆棚，考試的成績必然也非常理想。

3. 有利于落實學生的數學核心素養

建模思想屬于數學學科的核心素養之一。教師在教學的過程中將建模思想滲透其中，不僅能夠提高學生對數學學習和探究的興趣，還能夠幫助學生有效解題，培養學生數學思維，促進學生在數學領域的提升。

三、 高中階段學生在解數學題所面臨的現狀

第一，學生的畏難心理嚴重。高中階段的數學知識是非常復雜的，無論是概念的學習還是題目的解答，都不是通過表象或者簡單的記憶就可以掌握的。如果學生在課堂上未專心聽講，那么在解題時看到題目就會產生一種畏難的心理，在第一步就失去了解題的信心，那么想要完整的將整個數學題目進行解題就顯得更加的困難。第二，建模思想應用存在問題。建模思想是數學解題過程中使用的較多的一種思想。很多學生在教師的引導之下，都會將實際問題通過建模的方式轉變為數學問題。但是在轉變完數學問題之后，學生又并不能利用所學習的知識對題目很好地進行解答，這就使得建模思想停留在建立模型的第一步，很難真正地達到解題的目的。

四、 在解高考數學題中融入數學建模思想的策略

（一）基于建模思想，解答函數數學問題

函數知識一直是高中數學教學中的重點，也是難點。通過在高考題目中函數的問題并不是直接進行闡述，而是將函數的內容融入實際問題中，同時還會包含多個變量，以培養學生的數學思維，提高學生對數學的認知。例如這樣一道題目：老張想要建造一個池塘，采用活水囤魚的技術，已知平均每條魚在生長時的速度每年y千克，正好是養殖密度x的函數。如果x小于每平方米4條，那么y則是每年2千克。如果x大于4小于等于20，那么y和x恰好可以構成一次函數。如果x大于每立方米20條，那么魚塘就會缺氧，而此時的y值也會是0。根據已知條件求兩個問題。第一，當x大于4且小于等于20時，y和x屬于怎樣的函數關系。第二，y想要達到最大，x應該取何值？通過閱讀和分析這道題目可以發現，該題目涉及一次函數的相關知識，可以通過建模的思想將魚塘問題轉變為一次函數的問題，繼而利用所學習的函數知識進行解答，并求出最恰當的值，最終根據實際情況分析并檢驗。在這個例題中，從條件可以得到這樣一個公式，y=ax+b，同時得知在（4，20]這個區域內其為減函數。通過建立模型，并解答，得到當x大于4且小于等于20時，函數y=（-1/8）x+5/2。接著根據函數解析式，對其單調性進行分析，當x等于10時，y可以達到最大值為12.5。將其帶入到實際問題中，便可以得到最終答案。

（二）基于建模思想，解決排列組合問題

在生活中包含著很多和排列組合相關的問題，這些問題內部都是各種數學思想的集合，因為其比較抽象和獨特，在數學高考題中考查得也較多。如果學生能夠理解題目中的各種數量關系，通過構建位置、填格子等方式進行解答，便可以很好的解決問題。如這樣一道高考例題：如果將6個人排成一排，那么甲乙兩人不相鄰的排法一共有多少種。這類題目可以建立排位置的模型，采用間接或者直接法進行解答。如直接法解答則是甲、乙一共排法是10A22=20種，將其他4個人排除，一共的排法是

A44=24種，根據分步法的相關原理，最終得出共有480種，即20×24。間接計算法則是先計算6個排成一行的總數是

A66=720種，甲乙相鄰排法是2A55=240種。綜合分析當6人排成一行，甲乙不相鄰的排法則是480種，即是用6個人排成一行的總數減去相鄰的排法。這道題目是生活中非常常見的一種情境，主要考查的是學生對加法技術以及分步乘法計數的掌握方法。在具體運算的過程中通過建模的方式，優化排列組合的公式，繼而實現問題的有效解決。

（三）基于建模思想，建立概率統計問題

在高中數學中，概率和統計問題是考查較多的一個內容，通常在填空題和選擇題中。所出的題目更注重和生活之間的聯系，經常考的概率題目包含互斥事件、古典概率等。在面對這些概率問題時，可以先將原型變成數學問題，再利用所學習的數學知識有效進行解答。例如這一道高考的例題，有一個公益活動，讓4名同學任意選擇周六或者周日中的其中一天，請問周六以及周日都有學生參與活動的概率是多少呢？A. 18，B. 38，C. 58，

D. 78，拿到這個題目，學生如果僅靠想象是并不能夠解答問題的。可以先在草稿紙中建立模型。先分析如果是在周六、周日任意選擇一天參加公益活動，那么其一共是24種情況。而4名同學都選擇周六或者是周日的情況則是一種，因此可以得出周六、周日均有同學參加活動的概率是P=24-1-124=78，最終可以得出答案是D。該道題目是古典概率模型題目，考查的是學生對概率知識點掌握的程度，數學知識和實際問題綜合應用的能力。在解答類似的題目時，可以在草稿紙上建立模型，也可以基于模型去檢驗答案，以保證正確率。

（四）基于數學建模思想，解答數學不等式問題

建模思想在高中數學中應用是非常廣泛的，無論是數列、函數還是概率問題都可能會使用到這一思想，其可以快速的簡化問題，幫學生找到正確的答案。不等式在高中數學學習過程中也屬于一個非常重要的內容，利用建模思想解決不等式的實際問題，繼而提高學生解題的效率。如這樣一道題目，有個圓柱體鐵塊，其長度是4000mm，小芳爸爸想要在上面截出若干個A、B兩個類型的圓柱體，其中A、B的長度分別是698mm、518mm，請問爸爸在截取時最便捷的方式是什么？這道題目實則就是在探究如何截取可以使得這個圓柱體的余料最少。從題目中的已知以及未知條件，則可以建立不等式的模型，求最值解答問題。這道例題中可以采用最極端的分析方法，如全部截成A類或者B類圓柱體時，則能夠求出截取的數量。當全部截取A類圓柱體時，x∈

[0，5]，全部截取B類圓柱體時，y∈[0，7]，函數關系則為698x+518y≤4000，z=（698x+518y）/4000，而如果想讓余料最少，則需要盡可能讓z接近1。通過這類解答，則可以發現較好的截取方案，則是A、B兩類圓柱體各截取2個、5個。像這類不等式的問題在高考題目中非常多，需要學生學會將實際問題進行轉化，找到題目考察的知識點，確定范圍，再進行分析和解答，解題也會事半功倍。

五、 結語

綜上所述，在高中數學學習階段融入建模思想是非常重要的。其能夠有效的幫助學生解決數學問題，培養學生的數學思維，落實學生的數學核心素養。因此在進行數學教學時，教師要有意識對學生進行建模思想的訓練，通過固有的題型，讓學生思考、分析，產生建模的意識，并能夠解決實際問題。除此之外，基礎知識的掌握也是必不可少的，只有基礎知識掌握扎實，才能夠達到在建模過程中的靈活應用，提升整個解題的效率和質量。

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作者簡介：周開標，甘肅省慶陽市，甘肅省慶陽市鎮原縣鎮原中學。