高中數學教學中數形結合方法的有效應用

田娟

【摘要】在高中數學教學中，將方程問題轉化為圖形問題并進行處理，以便解決數學方程問題，這就是關于數形結合教學的核心方法.本文重點對高中數學教學中存在的問題進行探討，并重點對數形結合的應用方法、策略等進行了詳細的分析，以供高中數學教師參考.

【關鍵詞】高中數學;數形結合;應用方法;應用優勢

一、引 言

“數”與“形”是高中數學中兩個最重要，最基礎的研究對象，兩者之間是相互對應的關系，在某種情況下能實現相互轉換.在數學解題中，運用數形結合能夠使抽象的問題變得更直觀化、簡便化，可以使學生的解題速度、解題準確率得到有效提升，還能增強學生的學習興趣.在高中數學教學中，一些教師由于過于關注概念、公式、定理方面的教學，從而忽視了教學方法的傳授，數形結合法在高中數學教學中貫串始終，其本質就是數學圖形與代數之間的轉換.數形結合法的有效使用可以讓復雜的問題變得簡單化，幫助學生節省做題時間，提高做題準確率.

二、數形結合法的概念與應用原則

眾所周知，數與形是高中數學中的兩個重要元素，前者代表數量關系，后者代表空間圖像，數量關系與圖形是可以自由轉化的，學生可以利用轉化關系來解決數學問題.數形結合法的應用本質就是將數學圖像與相關的數學語言相互轉化，實現形象思維與抽象思維的結合，從而提高學生的解題能力.

數形結合法的應用有兩個原則：

第一，雙向性原則.在利用圖形來解析題目時，學生必須要對代數的抽象性進行分析，與幾何語言相比，代數語言更加直觀、清晰，可以避免幾何解題法的約束.

第二，等價性原則.等價性原則主要強調幾何性質與代數性質轉化的等價性，由于用圖形解題具有局限，在作圖時，難以精確，就會影響解題的效率.因此，利用數形結合法解題，要重點關注等價性原則.

三、當前高中數學教學中存在的問題

（一）數學思維的局限性

相關研究發現，我國當前的高中數學教學中，學生對數形結合的理解并不透徹.受理解的局限性影響，學生在解題中很難去利用數形結合法解決實際問題.這種局限性主要體現在學生難以將抽象概念具體化或者是缺乏抽象思維能力.在數學學習中，大多數學生在審題過程中并不注重利用思維轉換模式來找準解題方向.

（二）數學思維的差異性

由于數學學習具有連貫性，使得很多學生的數學基礎存在比較大的差異.數學基礎的差異決定高中階段學生在面對同一問題時，有不同的思維方式和思維特點.因此，在高中數學教學中，教師需要對學生進行因材施教.

（三）存在較為嚴重的思維定式

進入高中階段后，學生的受教育時間一般也超過了九年，有很多學生形成了固定的思維模式（經驗主義），使解題思路陷入僵化，影響學生解決數學問題.此外，在數學教學中，如果沒有破除這種固有的思維定式，那么數形結合的解題思路會與學生的思維定式產生碰撞，造成學生思維混亂，更加不利于提升學生解題的實際能力.

四、數形結合在高中數學教學中的應用方法

（一）將抽象的數量用圖形直觀地表現出來

數和形是一種相互依存，相互對應的關系，一些數量是比較抽象的，我們就可以在圖形中找出相對應的數量，然后利用圖形的直觀性來解決問題.學生能夠通過題干中給定的特定條件和圖形所隱含的特殊性質，找出其中的特定關系和結構，題目自然就由復雜變簡單了.在高中數學教學中將數量關系轉化為圖形問題比較常見，其中包含：平面幾何問題、函數問題、立體幾何問題等，對這些來說，首先要對問題題干進行分析，找出已知條件和隱含條件，再根據所求和已知條件進行比較，找出相互聯系的點，作出對應的結構圖，最后根據已知條件和所學的數理公式，利用圖形求證所得結果.

（二）充分發掘圖形所隱含的條件

圖像確實形象、直觀，但在一些復雜的圖像中，就會很難將圖像數字化，所以必須分析出圖形的特殊性質和隱含的條件，利用代數關系式將圖形數字化，把圖形正確表示成數字的形式，進行計算.

（三）將數量與圖形有效結合

數量與圖像有效結合，就是以數化形和以形變數的結合，在解決此類數學問題過程中，學生不僅要考慮如何將數值挪到圖形當中，而且要充分利用圖形的直觀性和其他性質，只有數形得到有效結合才能快速正確地解題.在高中數學教學中，數形結合主要體現在解析幾何中，解決這類難題，首先，學生要理解數形結合的數學思想;其次，學生要打好知識基礎，理解數學概念和運算的幾何意義以及圖形的特殊性質，并且能準確無誤地找到已知條件和目標之間的關系;再次，要能設計參數運用公式建立合適的數形關系體系;最后，根據已知條件給定的范圍和圖形的性質確定結果的取值范圍.

五、高中數學教學中數形結合方法的有效應用策略

（一）高中數學中常見的數形結合思想類型

1.數形結合的思想在集合中的應用

例 某班30人，其中15人喜愛象棋，10人喜愛圍棋，8人對這兩項活動都不喜愛，則既喜愛象棋又喜愛圍棋活動的人數為多少？

解 記30名學生組成的集合為U，喜愛象棋的學生全體為集合A，喜愛圍棋的學生全體為集合B.設兩項活動都喜歡的學生有x人，則只喜歡象棋的有（15-x）人，只喜歡圍棋的有（10-x）人.依題意，（15-x）+x+（10-x）+8=30，解得x=3，所以只喜歡象棋的有15-3=12（人）.

此題可以借助韋恩圖把數的問題轉化為圖形問題，利用圖形直觀地表現出數形結合的完美解題思想.

另外，集合問題是學生高中數學學習的重點，也是學習圖形的實例，韋恩圖正是圖形應用法的典例，能夠將復雜的集合關系展示出來.因此，在遇到類似的問題時，學生可以套用韋恩圖，通過建立坐標系來將圖形的各個要素具體形象地展現出來.

2.數形結合思想在函數中的應用