基于數學核心素養立意的問題驅動教學

陳夫凱

【摘要】問題驅動教學，教學培養學科素養.問題始終伴隨著數學教學，特別是概念教學，更應該注重與學生思維的連接.本文通過問題的設計，以核心素養為引領，旨在促進學生對數學定義的理解、對數學知識的掌握，推動數學核心素養的提高.

【關鍵詞】問題驅動;數學核心素養;數學知識的掌握

問題是促使數學發展的源動力，數學上許多基本的、核心的概念與原理都是為了解決許許多多的實際問題而產生的.因此，在教學中教師應以問題為中心，讓學生在解決問題的過程中形成相應的概念與原理.《普通高中數學課程標準（2017版）》指出，數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人發展的過程中發揮著不可替代的作用，數學素養是現代社會每一個人應該具備的基本素養.因此，每一節數學課都蘊含著提高學生科學素養的目的，也體現了學科育人的目的.本文著力于以數學核心素養為導向，滲透在任意角的三角函數定義的每一個環節，精心設計問題，旨在提高學生的數學核心素養.

一、任意角的三角函數定義的教學過程

1.情境引入，引出問題

問題1 點P為摩天輪上的任意一點，如何表示點P的位置？

設計意圖：在摩天輪模型中，通過對一點的觀察與分析，引導學生能夠用（x，y）和（r，α）兩種方式準確描述出點的位置，并初步體會到兩者之間的關系，提高學生的觀察能力.

問題2 在直角坐標系xOy中，同一點P的坐標（x，y）和（r，α）之間有什么關系？為什么？

設計意圖：引導學生了解在坐標系中研究點的位置時，P點在第一象限時有如下結論：sin a=yr，

cos a=xr，r2=x2+y2，tan α=yx等，并讓學生聯想初中學過的三角函數的定義.

2.回顧舊知，找尋本質

問題3 在初中，銳角A的正弦、余弦、正切值分別是如何定義的？

學生通過回憶：銳角A的正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）都叫作角A的銳角三角函數.

正弦（sin）等于對邊比斜邊：sin A=ac，

余弦（cos）等于鄰邊比斜邊：cos A=bc，

正切（tan）等于對邊比鄰邊：tan A=ab.

設計意圖：從學生原有的認知結構出發，為推廣任意角的三角函數做準備.

通過前兩問的引導，學生已經初步回憶起了銳角三角函數值的定義.教師此時再發問，學生可以回答得順理成章，也為本節課的任意角的三角函數進行引入.

問題4 在直角坐標系中，30°角的三角函數值怎么求？

設計意圖：將角置于直角坐標系中時，學生會想到初中學過的三角函數的幾何定義，并取自己熟悉的30°角的直角三角形，在其斜邊上取點，取點依據是30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.教師帶領學生得出特殊點，比如P（3，1），接著教師提問：還可以取其他點求嗎？探究發現：在30°角終邊上任取一點（x，y），這些比值都相等;只要角確定，終邊就確定;只要角的終邊確定，三角函數值就不變;可以用坐標表示銳角三角函數等結論.

3.積累素材，建構數學

問題5 在直角坐標系中，你認為390°角的三角函數值怎么定義？

設計意圖：教師引導學生繼續回到摩天輪模型中討論，結合直角坐標系，得出390°和30°兩角終邊相同，三角函數值也對應相等.教師創設認知沖突的情境，引導學生通過討論摒棄原先的概念，讓學生通過求390°角的三角函數值，體會用坐標來表示三角函數的必要性和合理性，提高學生的探索能力，為引入任意角的三角函數的定義做準備.

問題6 如何定義3π4角的三角函數值？

設計意圖：有了390°角三角函數的求法經驗，學生可以在角的終邊上選點，按照坐標相應比值來計算，通過操作用坐標來表示3π4的三角函數值，感受新定義的運算.

問題7 如何定義任意角的三角函數？（給出任意角的三角函數的定義）

經過討論發現對于任意角α，在其終邊上任意取一點P（x，y），比值yr，xr，yx都是唯一確定的，因此得到

f1：α→yr——正弦：sin α=yr;

f2：α→xr——余弦：cos α= xr;

f3：α→yx——正切：tan α=yx（x≠0）.

設計意圖：學生通過討論能夠說出任意角的三角函數（正弦、余弦、正切）的定義，體會坐標思想，體驗數學概念的推理過程，樹立勇于探索、善于發現的創新意識.

4.函數思想，加深理解

問題8 sin α，cos α，tan α是α的函數嗎？

通過回顧函數的定義，討論得出結論：對于確定的角α，比值yr和xr都是唯一確定的，故正弦和余弦都是角α的函數.當α≠π2+kπ（k∈Z）時，對于確定的角α，比值yx也是唯一確定的，故正切也是角α的函數.sin α，cos α，tan α分別叫作角α的正弦函數、余弦函數、正切函數，以上三個函數我們都稱為三角函數.

設計意圖：讓學生結合函數的定義，分析得出三角函數是函數，將三角函數統一理解.

問題9? sin α，cos α，tan α的符號如何確定？

利用任意角的三角函數定義，根據角的終邊的位置判斷任意角的三角函數值的符號.

設計意圖：通過函數的概念類比得到任意角的三角函數定義，對“任意角的三角函數”的概念有進一步的理解.

5.例題解決，鞏固所學

例1 已知角α的終邊經過點P（2，-3），求α的正弦值、余弦值、正切值.

例2 確定下列三角函數值的符號.

（1）cos 7π12 ;（2）sin（-465°） ;（3）tan11π3.

設計意圖：讓學生在例題的練習中再次鞏固任意角的三角函數的定義和三角函數定義中反映的數值特點（與該角所在的象限有關），簡單進行數學運算與邏輯推理.

二、數學核心素養導向的問題驅動設計分析

1.探究式情境的引入和抽象問題的可視化，體現了數學的抽象、直觀想象與數學建模等核心素養

情境的引入最好貼近生活.在探求摩天輪上一點的位置的過程中，問題探尋很自然地創造了探究環境，潤物細無聲，使得數學問題可觸及、有依據、可視化、形象化，觸發學生自己解決身邊相關的數學問題的欲望，提高了學生用數學知識解決生活問題的學習積極性，引導學生通過直觀想象將摩天輪放置于坐標系中，抽象出（x，y）和（r，α）兩種形式，培養學生分析觀察能力，體現了數學抽象、直觀想象與數學建模等數學核心素養的要求.

2.對銳角三角函數定義的適時提問，體現了數學建模與數學抽象的有機組合

初中學的銳角三角函數定義是在直角三角形中研究的.復習此定義的目的是想讓學生說出：銳角三角函數是直角三角形邊之間的一個比值.在研究摩天輪上一點位置的表示的時候，在探究的過程中，學生會想到利用銳角三角函數來解釋.此時，教師提出任意角的三角函數的定義顯得更自然，體現了數學建模與數學抽象的有機結合.

3.對30°角、390°角、3π4角的三角函數值先后進行探究，體現邏輯推理與數學運算

π4角與3π4角的聯系不如30°角和390°角緊密，所以首先選擇30°角和390°角開始研究，只要角確定，終邊就確定.對于30°角的詳細探究得出：只要角的終邊確定，三角函數值就不變.因此，對于390°角的定義的研究自然就有了依據，可以很容易得到390°的三角函數值與30°角對應相等，突顯了數學推理的嚴謹性和任意角的三角函數定義的合理性.關于3π4角的求解，學生會在角的終邊上選點，通過數學運算求出3π4角的三角函數值，體會任意角三角函數的求解，進一步加深對非銳角的特殊角的三角函數定義的理解.

4.定義層層鋪墊，呼之欲出，體現數學抽象與數學運算

在對30°角、390°以及3π4角的正弦值求解時，學生已經清晰三角函數值可以用坐標表示.在層層的計算探討過程中，學生由特殊到一般，通過知識遷移，自然想到任意角的三角函數用坐標來定義，并已經組織好了相應語言，只等著教師來問.任意角的三角函數不再局限于邊之比，抽象的邊已經轉化成了坐標.

5.概念及時鞏固，體現數學運算與邏輯推理

對于sin α，cos α，tan α是不是α的函數的判斷，是檢驗學生對定義的理解程度.任意角的三角函數是關于角的函數，求法為在角的終邊上取一點，借助坐標來求.結果可得三角函數是恒定的比值關系，與終邊上點的選取無關，只與角有關.教師讓學生體會用定義找出終邊上的點所在的位置來判斷三角函數的符號，鞏固加深本節課的概念，體現了數學定義的嚴謹性.

三、數學知識的掌握與數學核心素養

我國教育學、心理學理論對知識的掌握所持的普遍觀點是：領會、鞏固和應用，知識的掌握過程就是通過一系列的心智活動，在頭腦中建立起相應的認知結構的過程.曹才翰、章建躍指出，數學知識的掌握分為：增生、重建、融會貫通三個階段.在摩天輪上一點的位置探究過程中，學生產生了疑問;求解決疑問的過程中學生出現了建立直角坐標系;尋找兩種表示關系的過程中學生回想到銳角三角函數的定義;在得出銳角三角函數定義的本質的過程中，重建了銳角三角函數的定義，也使得三角函數的定義跨越了銳角，突破象限，推廣到了任意角.總之在數學核心素養的引導下，充分說明了素養與能力是相互依存的.

四、核心素養下的數學教學思考

章建躍指出數學教育在學生的核心素養的發展中具有不可替代性，數學教育要用數學的方式來發揮內在力量.對于數學教師來說，真正提高學生數學核心素養最主要的陣地就是課堂.教師要在課堂中精心設計教學的每一個環節，將課程改革的目標體現在每節課里，將教學目標可視化、可量化.如今，數學實驗室建設已經非常完善，運用先進的信息技術，如Seewo授課助手、iPad工具、圖形計算器等.教師以探究式教學引領課堂教學改革，有效變革學習方式，培養學生學習的主體性與合作性，進一步提高學生數學的邏輯思維與抽象概括能力，發揮學生的想象力，提高動手操作能力，培養學生敢于質疑、勤于實踐的科學精神.而實現這一切的前提與關鍵是教師自身的理念與觀念要及時更新，要仔細研讀課本教材、課程標準，研究學生，研究教學.

【參考文獻】

[1]劉劍鋒.問題驅動教學——“函數的單調性”的課堂實錄與思考[J].中學數學教學參考，2020（1）：71-74.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3]曹才翰，章建躍.數學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2006.

[4]章建躍.核心素養統領下的立體幾何教材變革[J]數學通報，2017，56（11）：1-6.