借助幾何直觀，將幾何探究引向深入(1)

方成勇 郭海英

摘 要：幾何探究教學(xué)是初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)難點(diǎn)，往往出現(xiàn)意味追求速度，學(xué)生簡(jiǎn)單進(jìn)行模仿，缺乏發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題的意識(shí)能力.教學(xué)實(shí)踐說(shuō)明，通過(guò)有意識(shí)地關(guān)注學(xué)生思考難點(diǎn)，有邏輯組織學(xué)生展開幾何探究，借助幾何直觀的優(yōu)勢(shì)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比、直觀體驗(yàn)，測(cè)量感知，給予學(xué)生充分機(jī)會(huì)去發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生分析、解決問(wèn)題并優(yōu)化過(guò)程，激發(fā)學(xué)生自主探究的活力.

關(guān)鍵詞：幾何探究;幾何直觀;類比

1 理念重構(gòu)與優(yōu)化

1.1概念界定

幾何直觀，即指借助于見到的（或想象出來(lái)的）幾何圖形的形象關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象（空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握的能力.

2 實(shí)踐研究

在了解了相關(guān)教材對(duì)比之后，結(jié)合教科書與學(xué)生實(shí)際情況，進(jìn)行了本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施。基于教學(xué)目標(biāo)的可測(cè)性，設(shè)計(jì)本節(jié)課目標(biāo)如下：

本節(jié)課的數(shù)學(xué)思想方法是類比思想，類比平行四邊形邊、角性質(zhì)的研究思路，通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)組成要素間的大小關(guān)系、位置關(guān)系（即對(duì)角線與對(duì)角線的大小關(guān)系、位置關(guān)系），并進(jìn)一步分析組成要素與相關(guān)要素的關(guān)系（即邊與對(duì)角線的關(guān)系），從合作探究中經(jīng)歷度量、觀察、實(shí)驗(yàn)，從幾個(gè)具體四邊形中發(fā)現(xiàn)共性，再推廣到一般，利用特殊到一般的思路將歸納出平行四邊形對(duì)角線的性質(zhì).

2.1分析學(xué)習(xí)的起點(diǎn)：類比研究，確定路徑

通過(guò)提問(wèn)平行四邊形的性質(zhì)有哪些、如何對(duì)這些性質(zhì)展開研究的，獲得了研究幾何一般思路：先對(duì)要研究的對(duì)象進(jìn)行觀察（比如觀察角的大小、邊的長(zhǎng)短），然后發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系，利用度量驗(yàn)證關(guān)系寫出猜想，最后對(duì)猜想進(jìn)行證明.簡(jiǎn)單的說(shuō)研究幾何性質(zhì)的步驟就是：①確定研究對(duì)象;②觀察（數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系）;③度量與猜想;⑤證明獲得性質(zhì).

【評(píng)析】通過(guò)對(duì)平行四邊形從邊、角性質(zhì)研究方法的歸納，學(xué)生經(jīng)歷圖形性質(zhì)完整的探究過(guò)程， 體會(huì)到幾何圖形性質(zhì)研究的基本思路與方法，為對(duì)角線性質(zhì)研究展開奠定方法基礎(chǔ)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的預(yù)見性與主動(dòng)性.

2.2確定研究的對(duì)象：直觀體驗(yàn)，測(cè)量感知

類比平行四邊形邊角的性質(zhì)研究，確定了研究對(duì)象為對(duì)角線，根據(jù)定義任意畫一個(gè)平行四邊形ABCD，連接AC與BD，思考對(duì)角線AC，BD該如何展開研究，寫下你要研究的對(duì)象并說(shuō)說(shuō)你的發(fā)現(xiàn).

教學(xué)片段：

通過(guò)回顧全等三角形性質(zhì)中里研究了邊的關(guān)系后，還研究了邊上的中線、高線等相關(guān)要素的關(guān)系.除了研究對(duì)角線本身，我們還可以研究對(duì)角線和哪些量的關(guān)系，如圖5由學(xué)生提出問(wèn)題，通過(guò)討論獲得相應(yīng)結(jié)論.

生7：我的問(wèn)題是對(duì)角線BD與邊AD，AB有什么關(guān)系？即一條對(duì)角線與兩鄰邊關(guān)系.

生7：AC+BD>2AD，∵AO+DO>AD，AC=2AO，BD=2BO ∴AC+BD>2AD.

生8：我的問(wèn)題是對(duì)角線AC，BD與邊AD有什么關(guān)系？即兩條對(duì)角線與一邊關(guān)系.

生8：過(guò)點(diǎn)C作CE//BD，交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，在□ABCD中AD//BC，AD=BC

∵CE//BD，CB//ED，∴四邊形BCED為平行四邊形，即BD=CE，BC=DE，∴AC+BD>2AD.

生9：我的問(wèn)題是△AOD，△COB，△DOC，△BOA四個(gè)三角形面積、周長(zhǎng)有什么關(guān)系？

生9：四個(gè)三角形面積都相等，因?yàn)榈鹊淄?周長(zhǎng)相差的值就是邊長(zhǎng)相差值.

【評(píng)析】從組成要素對(duì)角線展開探究到和對(duì)角線相關(guān)的要素之間關(guān)系的探究，不斷經(jīng)歷

幾何圖形性質(zhì)研究的一般思路，借助幾何直觀體會(huì)在從組成要素到相關(guān)要素之間存在千絲萬(wàn)縷聯(lián)系.在對(duì)相關(guān)要素性質(zhì)研究中不斷地將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為組成要素的關(guān)系，應(yīng)用對(duì)角線互相平分的性質(zhì)進(jìn)行證明和應(yīng)用，加深對(duì)性質(zhì)的理解.

2.3根據(jù)重點(diǎn)的落實(shí)，由靜及動(dòng)，拓展延伸

例題所蘊(yùn)含的本質(zhì)規(guī)律有助于學(xué)生形成正確思維方式，通過(guò)變式練習(xí)和幾何畫板展示，在變化過(guò)程中探求不變的本質(zhì)，展開邏輯地思考，使學(xué)生在認(rèn)識(shí)上發(fā)生質(zhì)的飛躍.

例1 如圖7，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O.過(guò)點(diǎn)O作直線EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn). 求證：OE=OF

生10：要證OE=OF，即證明三角形全等，只需找到OE，OF所在的三角形即可.

如在△DOE和△BOF中，在平行四邊形ABCD中，OD=OB，CD//AB，所以∠ODE=∠OBF，

∠DOE=∠BOF，所以△DOE≌△BOF（AAS），在△COE和△AOF中同理可得.

追問(wèn)：如圖8，當(dāng)E點(diǎn)在直線CD上運(yùn)動(dòng)，結(jié)論還成立嗎？為什么？

生10：仍然成立，由平行四邊形對(duì)角線互相平分得AO=CO，所以△DOE≌△BOF仍然成立.

追問(wèn)：除了EO=FO，還能得到哪些結(jié)論？

生11：同理得GO=HO，還可以得到FG=HE.

【評(píng)析】基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，符合學(xué)生的階段認(rèn)知特點(diǎn)，從“靜止”到“運(yùn)動(dòng)”，不同角度對(duì)例題進(jìn)行了拓展延伸，牢牢抓住了點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱.通過(guò)拓展延伸，加深學(xué)生對(duì)同類問(wèn)題深層次理解，體會(huì)變化過(guò)程中不變的關(guān)系，做到知其然，并知其所以然.

3實(shí)踐反思

3.1關(guān)注學(xué)生問(wèn)題是驅(qū)動(dòng)深入探究的動(dòng)力

《課標(biāo)》特別強(qiáng)調(diào)：“在日常教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)努力挖掘教學(xué)內(nèi)容中可能蘊(yùn)含的與四個(gè)方面目標(biāo)有關(guān)的教學(xué)價(jià)值。”在日常教學(xué)中我們往往會(huì)忽略一些有價(jià)值的資源，而對(duì)于這些具有價(jià)值的資源，我們有必要將其重新回歸課堂.本課探究就是取材于學(xué)生在八年級(jí)下學(xué)習(xí)平行四邊形性質(zhì)3時(shí)學(xué)生遇到的遇到的疑問(wèn)：為什么連接AC，BD后直接研究OA與OC，OB與OD是否相等？連接對(duì)角線后除了對(duì)角線互相平分還有其他的性質(zhì)嗎？

這兩個(gè)問(wèn)題的思考就要求教師引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀有邏輯進(jìn)行思考、分析，獲取研究對(duì)象，同時(shí)在探究展開時(shí)有系統(tǒng)方法的指導(dǎo)，搞清楚這兩個(gè)問(wèn)題對(duì)于學(xué)生在之后幾何研究具有重要的指導(dǎo)意義.

3.2關(guān)注數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是激發(fā)深入探究的活力

《課標(biāo)》強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。”深度探究就是讓學(xué)生經(jīng)歷操作、思考、推理、反思等過(guò)程，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)加以領(lǐng)會(huì)和感悟，積累分析和解決問(wèn)題的基本經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而將這些經(jīng)驗(yàn)遷移應(yīng)用到后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中.而這些經(jīng)驗(yàn)的取得必須經(jīng)歷大量的數(shù)學(xué)活動(dòng).

3.3關(guān)注學(xué)生的感悟是落實(shí)深入探究結(jié)果的內(nèi)核

悟是學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解最好的狀態(tài)，通過(guò)潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲式的感受與思考，才能促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和素養(yǎng)的提升.本節(jié)課為學(xué)生搭建了許多悟的時(shí)機(jī)，在學(xué)習(xí)起點(diǎn)處通過(guò)回顧感悟幾何性質(zhì)研究一般路徑：借助幾何直觀獲得研究對(duì)象，通過(guò)觀察、測(cè)量、猜想、證明獲得性質(zhì)，在例1和例2后通過(guò)感悟得到解決四邊形問(wèn)題的基本思路：將四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形問(wèn)題.通過(guò)教師適時(shí)追問(wèn)引導(dǎo)、生生互動(dòng)，幫助學(xué)生及時(shí)感悟、內(nèi)化.

總之，借助幾何直觀為了讓學(xué)生有更直觀、更整體的體驗(yàn)，把握幾何研究一般思路，遵循學(xué)生的個(gè)性特征，讓學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決、優(yōu)化的過(guò)程，學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

參考文獻(xiàn)：

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