高中數(shù)學(xué)均值定理及其應(yīng)用探討

張連英

摘 要：在高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，均值定理是一項(xiàng)工具性知識(shí)內(nèi)容。同時(shí)不少學(xué)生在學(xué)習(xí)均值定理的過(guò)程中，對(duì)均值定理沒(méi)有深刻的理解，不能正確的應(yīng)用均值定理解決問(wèn)題，不能熟練的靈活的運(yùn)用均值定理。在這樣的背景下，做為一名高中的數(shù)學(xué)老師，要深刻的認(rèn)識(shí)到均值定理的廣泛用處，了解到均值定理在高中數(shù)學(xué)中的重要作用。所以教師在日常的教學(xué)過(guò)程中，要注意向?qū)W生展示均值定理在解決問(wèn)題方面的的突出特點(diǎn)，幫助學(xué)生加深對(duì)均值定理的理解。本文就高中數(shù)學(xué)均值定理及其應(yīng)用探討展開(kāi)討論。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);均值定理;應(yīng)用

高中階段的均值定理在學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程中，是一個(gè)比較難以理解的知識(shí)點(diǎn)。因?yàn)楦咧猩拥牧?xí)慣于叫算出準(zhǔn)確的結(jié)果，對(duì)于均值定理這樣的不等式表達(dá)方式?jīng)]有明確的認(rèn)識(shí)。學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候?qū)刀ɡ聿粔蛑匾暎诮忸}的過(guò)程中就不會(huì)有有效的練習(xí)。在高中階段的學(xué)習(xí)過(guò)程中，有很多部分的習(xí)題都可以利用均值定理進(jìn)行解答，就算不能利用均值定理解出正確的答案，也可以對(duì)解決問(wèn)題提供一定的幫助。做為一名高中的數(shù)學(xué)老師，要幫助學(xué)生建立起對(duì)均值定理的正確理解，讓學(xué)生了解到均值定理的廣泛應(yīng)用，幫助學(xué)生提高解題的效率，提高學(xué)生成績(jī)。

1、均值定理的內(nèi)容

均值定理是建立在均值不等式的只是基礎(chǔ)上的一個(gè)工具性定理，要想對(duì)均值定理的的內(nèi)容有所了解，就要掌握好不等式的相關(guān)知識(shí)。但是對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)，基礎(chǔ)的不等式知識(shí)是比較簡(jiǎn)單的，學(xué)生也更容易掌握。但是學(xué)生對(duì)于均值定理的理解是有些困難的。對(duì)于均值定理的內(nèi)容（a+b）/2>=（ab）1/2來(lái)說(shuō)，是由于一定的使用條件的，教師在教學(xué)的過(guò)程中要著重強(qiáng)調(diào)均值定理的使用條件。對(duì)于這樣的均值定理來(lái)說(shuō)，其中的a、b都要求是正數(shù)，而且當(dāng)且僅當(dāng)a=b的時(shí)候，才能取到等于號(hào)。而對(duì)于的均值定理的變式a2+b2>=2ab來(lái)說(shuō)，僅僅是要求a、b屬于實(shí)數(shù)即可。同時(shí)在教材里把（a+b）/2定義為算數(shù)平均數(shù)，把（ab）1/2稱(chēng)為a、b的幾何平均數(shù)，所以也可以把均值定理表述成兩個(gè)正數(shù)的算數(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。在高中的教學(xué)階段中， 教師要非常注意到對(duì)于均值不等式的條件的講解，在日常的應(yīng)用過(guò)程中，也要注意到對(duì)應(yīng)用條件的講解與推導(dǎo)。均值定理在高中階段的解題過(guò)程中，有著非常重要的應(yīng)用。在解決一些不等式問(wèn)題、導(dǎo)數(shù)問(wèn)題、函數(shù)問(wèn)題以及一些比較特殊的選擇填空問(wèn)題的時(shí)候，都有著非常重要的應(yīng)用。有效的利用均值定理進(jìn)行解題，在一些特殊的問(wèn)題里，可以更準(zhǔn)確的、更快速的得出正確的答案。均值定理的應(yīng)用是非常廣泛，特別是利用均值定理的特殊條件，可以有效的解決選擇、填空中的最值問(wèn)題。所以老師要注意均值定理的講解，幫助學(xué)生有效的理解均值定理，靈活的應(yīng)用的均值定理，提高做題的效率，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成就。

2、均值定理的有效應(yīng)用

2.1深刻理解均值定理

想要有效的應(yīng)用對(duì)均值定理，首先就要對(duì)均值定理有一定的理解。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)不僅要記住均值定理的內(nèi)容和適用條件，還要對(duì)均值定理的內(nèi)容有一定的理解。應(yīng)用是要建立在一定的理解上，對(duì)知識(shí)的理解的越深刻，對(duì)知識(shí)的利用就越靈活，在這樣的條件中，學(xué)生才能提高成績(jī)。對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，就要注意在上課的過(guò)程中，對(duì)均值定理進(jìn)行有效的講解，幫助學(xué)生加深對(duì)均值定理的理解。老師在講解的過(guò)程中，要注意與之前的知識(shí)相聯(lián)系，加強(qiáng)學(xué)生的基礎(chǔ)，還要利用各種方法提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到均值定理的重要作用。

例如在人教版教材中第二章2.2節(jié)《基本不等式》的講解過(guò)程中，就要利用各種有效的教學(xué)方法，幫助學(xué)生深刻的理解均值定理。在上課的時(shí)候，教師可以先利用多媒體技術(shù)幫助學(xué)生復(fù)習(xí)一下不等式的知識(shí)點(diǎn)，幫助學(xué)生鞏固好基礎(chǔ)。然后教師就要結(jié)合教材的內(nèi)容，給出均值不等式，讓學(xué)生利用不等式的知識(shí)加以證明。這個(gè)知識(shí)的證明比較簡(jiǎn)單，基本上所有學(xué)生都可以完成。然后就要向?qū)W生明確基本不等式的使用條件。幫助學(xué)生加深對(duì)均值不等式的理解。然后教師可以利用反證法在黑板上板書(shū)證明均值不等式的應(yīng)用條件，加深學(xué)生的記憶。之后就要結(jié)合幾何圖形幫助學(xué)生理解均值不等式的幾何意義。教師在黑板上畫(huà)個(gè)圓，找出圓心，做直徑，做出垂直于直徑的一條弦。讓學(xué)生思考，如何用這個(gè)圖形證明基本不等式。學(xué)習(xí)比較好，觀察能力比較強(qiáng)的學(xué)生就可以發(fā)現(xiàn)均值定理的幾何解釋?zhuān)窗霃讲恍∮诎胂议L(zhǎng)，僅當(dāng)半弦通過(guò)圓心是二者相等。這樣的教學(xué)過(guò)程就可以讓學(xué)生清晰的感受到均值定理的內(nèi)容和使用條件，對(duì)學(xué)生深刻的理解均值定理有很大的幫助。

2.2利用均值的定理解決最值問(wèn)題

最值問(wèn)題是高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題，是具有一定難度的問(wèn)題。均值定理最基本的也是最常見(jiàn)的應(yīng)用就是解決最值問(wèn)題。根據(jù)均值定理的內(nèi)容可以知道，當(dāng)幾個(gè)正數(shù)的和為定值的時(shí)候，它們的積就可以利用均值定理取得最值，同樣如果積是定值也可以利用均值定理取得最值。當(dāng)然在高中的教學(xué)背景下，數(shù)學(xué)題目的設(shè)計(jì)有簡(jiǎn)單的也有困難的，對(duì)學(xué)生能力考察也是比較全面的。所以作為一名高中的數(shù)學(xué)老師，想要讓學(xué)生在考試中能夠正確的使用均值定理，不僅要幫助學(xué)生打好不等式的基礎(chǔ)，還要讓學(xué)生對(duì)均值定理有更加深刻的理解，真正的做到靈活的運(yùn)用均值定理。

例如教師在設(shè)計(jì)練習(xí)題的時(shí)候，紀(jì)要注意到均值定理這一方面的應(yīng)用。可以設(shè)置一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)，設(shè)置一個(gè)到兩個(gè)有難度的幫助學(xué)生拓寬思維。教師在上課的時(shí)候?qū)τ诶}的選擇是非常重要的，如果選擇一些過(guò)于簡(jiǎn)單的習(xí)題作為例題，不能突出均值定理的優(yōu)點(diǎn)，學(xué)生對(duì)均值定理的內(nèi)容就不能明確的認(rèn)識(shí)。如果選擇的題目太難，對(duì)于剛學(xué)習(xí)到均值定理的學(xué)生來(lái)說(shuō)又難以理解，打擊學(xué)生的自信心。所以例題的選擇是非常重要的。像a>b>0，求a2+16/b（a-b）的最小值，這樣的題目已知條件里明確的滿(mǎn)足了均值不等式的使用條件，有助于學(xué)生把解題思路放在均值定理上，學(xué)生在解題的時(shí)候只需要對(duì)題目的結(jié)構(gòu)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危涂梢园l(fā)現(xiàn)利用均值定理解決問(wèn)題的方法，得出24的正確答案，利用均值定理解決最值問(wèn)題是每個(gè)學(xué)生都應(yīng)該掌握的。

2.3利用均值定理解決證明問(wèn)題

利用均值定理不等式的形式，可以用來(lái)對(duì)一些不等式的證明，但是在證明不等式成立的時(shí)候，需要注意到均值定理的使用條件，即都是正數(shù)而且和或者乘積為定值，才可以可利用均值不等式解決證明問(wèn)題。老師在講解均值定理的時(shí)候，就要向?qū)W生介紹這一方面的內(nèi)容。雖然這種證明不是高考考察的重點(diǎn)，但是它也在均值定理的考察范圍內(nèi)，對(duì)于高考的準(zhǔn)備不能有半點(diǎn)的僥幸心理。同時(shí)對(duì)于這類(lèi)應(yīng)用的掌握，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性的思維，會(huì)在學(xué)生學(xué)習(xí)其他的內(nèi)容是提供一定的幫助，有利于學(xué)生成績(jī)的提高。

例如在教學(xué)的過(guò)程中，老師就可以設(shè)置一些不等式證明的題目，用來(lái)給學(xué)生講解均值定理在證明上的應(yīng)用。老師在上課的時(shí)候就可以板書(shū)題目：已知X1X2.......Xn=1，且X1X2......XN均大于零，求證（1+X1）（1+X2）......（1+Xn）>=2n，這樣的題目就就可以利用均值定理進(jìn)行求解。然后讓學(xué)生短暫的思考一下，然后老師就可以提問(wèn)學(xué)生：“大家有什么解題思路嗎”然后叫幾個(gè)學(xué)生回答，然后老師就要給出正確的解答思路，告訴學(xué)生們要利用均值定理進(jìn)行解答，并提醒學(xué)生在解答時(shí)應(yīng)該注意到的一些問(wèn)題。然后給學(xué)生一些時(shí)間，讓學(xué)生進(jìn)行解題，老師在這個(gè)時(shí)候就要觀察學(xué)生的答題狀態(tài)，適當(dāng)?shù)恼{(diào)整自己的教學(xué)計(jì)劃。在班級(jí)里的大部分的學(xué)生讀出結(jié)果后，教師就要在黑板上講解這道題，幫助學(xué)生加深理解。然后還要留幾個(gè)練習(xí)題幫助學(xué)生鞏固知識(shí)，加深記憶。

2.4利用均值定理解決函數(shù)問(wèn)題

函數(shù)問(wèn)題是高中階段非常重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，難度相較于其他的學(xué)習(xí)內(nèi)容來(lái)說(shuō)也是比較難的，想要解答這類(lèi)問(wèn)題需要學(xué)生有較強(qiáng)的基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)思維。利用基礎(chǔ)的均值定理可以有效的幫助學(xué)生解決一部分的函數(shù)問(wèn)題。均值定理在函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用還是比較常見(jiàn)的，而且一般來(lái)說(shuō)難度不大，大部分的學(xué)生都可以拿到這部分的分?jǐn)?shù)。因?yàn)楹瘮?shù)的題型靈活多變，就需要學(xué)生具有較強(qiáng)的邏輯思維與扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)。在日常的教學(xué)活動(dòng)中就需要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)的練習(xí)。

例如在進(jìn)行這一部分的復(fù)習(xí)的時(shí)候，就要從基礎(chǔ)抓起。在三角函數(shù)問(wèn)題中，均值定理有著非常廣泛的應(yīng)用，所以利用均值定理解決三角函數(shù)問(wèn)題就是教學(xué)的重點(diǎn)之一，同時(shí)也是高考考察的重點(diǎn)。用傳統(tǒng)的方法解決三角函數(shù)的問(wèn)題，過(guò)程繁瑣，需要多次的頻繁的利用三角公式進(jìn)行變換，學(xué)生在解題的過(guò)程中非常容易出錯(cuò)，然而如果利用均值定理解答就會(huì)變得簡(jiǎn)單很多。不僅會(huì)節(jié)約學(xué)生大量的時(shí)間，還會(huì)提高學(xué)生的準(zhǔn)確性，可以有效的提高學(xué)生的考試成績(jī)。

結(jié)束語(yǔ)

在高中階段的均值定理是一個(gè)非常重要的內(nèi)容，不僅在高考中占據(jù)著很重要的地位，而且在利用均值不等式解決問(wèn)題的過(guò)程中，還擴(kuò)寬了學(xué)生的解題思路，而且均值定理與其他的知識(shí)也有很密切的聯(lián)系，可以幫助學(xué)生加深對(duì)其他知識(shí)的理解。幫助學(xué)生找到了新的解題方法，有利于學(xué)生在高考中取得更好的成績(jī)。

參考文獻(xiàn)：

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