探尋學生識圖、畫圖與析圖能力的培養路徑

蔡鳳梅

[摘 要]數學識圖、作圖與析圖能力的強弱一定程度上直接影響學生幾何直觀能力的發展和數學素養的培養。由從直觀走向抽象、從簡單走向復雜和從認知走向思辨三個角度入手，結合具體的案例闡述如何培養學生識圖、畫圖與析圖的能力，從而有效促進學生數學素養的全面發展。

[關鍵詞]識圖;畫圖;析圖;幾何直觀

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2021）05-0001-03

幾何直觀是《義務教育數學課程標準（2011年版）》的核心概念之一， 其實質是利用圖形描述和分析數學問題，把復雜的數學問題變得簡明、形象，從而有效降低數學的抽象性給學生解決問題帶來的困擾。理性審視當前課堂教學，很多教師能認識到運用圖形幫助學生理解數學知識的重要性，但在實踐操作過程中只是停留于想當然式的單向解析與引導，并沒有立足于學生的內在需求，因而導致學生識圖、作圖與析圖能力缺失，對學生幾何直觀能力的發展和數學素養的培養造成不利影響。下面基于筆者所倡導的“啟智數學”教學主張，結合多年的實證性研究，就如何培養學生識圖、畫圖與析圖的能力進行論述。

一、從直觀走向抽象，培養學生識圖能力

1.培養識圖的習慣

小學生尚處于形象思維為主的重要階段，對直觀性、生動性的圖形更容易產生興趣，尤其是低年級學生，他們隨意性大，常常只會對圖中較為明顯的內容感興趣。識圖能力是學生的基本數學素養之一，也是學生今后學習數學的必備條件。然而識圖能力的培養并非一朝一夕之事，需要教師能夠掌握學生的認知特點和規律，引導學生對圖意進行有序的描述，促使學生養成識圖習慣。

例如，教學人教版教材二年級上冊“認識乘法”時，若教師直接出示主題圖（如圖1）后便讓學生觀察，學生往往會游離于數學信息之外，將數學課演繹成看圖說話的語文課。對此，為了突出“乘法”的本質意義，筆者通過有針對性的引導“圖中設置了幾種游戲項目，每種游戲項目各可以玩多少人？”將學生的觀察視角立足于數學，不但促使學生分類后能夠提出相應的數學問題，還能得出“4個3”“4個6”“7個2”等數量關系，直接揭示了“乘法”的本質意義。

從低年級開始，就要經常性地進行這樣的數學訓練，致力于以導向性的問題引導學生用數學的眼光觀察并識別圖形，讓學生養成識圖的習慣。

2.滲透識圖的方法

教師要注重對識圖方法的示范與引導，由淺入深、循序漸進，從直觀走向抽象，引導學生有序、有目的、完整地讀圖，形成從圖中收集、分析和處理信息的能力。

例如，教學人教版教材一年級上冊“1～5的認識”時，當學生通過教材主題圖初步認識“1～5”之后，筆者讓學生認真觀察教材中的圖式（如圖2），學生一看這5幅珠子圖便想當然地說出“1、2、3、4、5”。學生有可能是不看圖只看數字，也有可能是只看珠子數，還有可能是既看數字也看珠子數。這些都僅僅是學生淺層的直觀感知。如何引領學生由直觀走向抽象呢？

筆者是這樣進行啟發的：“大家都能很快地看懂這些數字和圖，但這些圖背后還藏著一些有趣的小秘密！看看誰的眼睛最亮。”當學生答非所問，或是答題無序且混亂時，筆者再引導學生有序觀察：“我們觀察圖時，要有順序地、一幅幅地觀察。先認真觀察第一幅圖。”于是學生就會說出：“第一幅圖是一顆珠子，下面是一個圓片，所以表示數字1。”筆者及時給予肯定：“觀察得很仔細，先看有幾顆珠子，再看有幾個圓片，然后說出用數字幾來表示。”有了這樣的指導與示范，在觀察第二幅圖時，學生就能進行模仿式的有序識圖了。這時，筆者再讓學生找出第一幅圖與第二幅圖的不同點，學生都能馬上發現“多了一個箭頭”。在說這個箭頭的含義時，學生能夠有序地表述：“第二幅圖原來也跟第一幅圖一樣，只有一顆珠子表示1;這里箭頭表示的是又撥來一顆珠子，所以從1變成了2。”筆者給予積極的肯定。在觀察第三幅圖、第四幅圖和第五幅圖時，不僅要讓學生有序識圖，還要讓學生用聯系的眼光識圖，從而促使學生明白每一個數字都是在前面數字的基礎上增加1得來的。從實物到圖形，再到數字，從直觀不斷走向抽象，不但培養了學生有序識圖的習慣，而且滲透了數形結合思想與函數思想，促使學生的數學素養得以提升。

圖式，不管是主題圖，還是幾何圖形，都是一種數學語言。而數學識圖其實質就是觀察并識別圖式所要傳遞的數學信息。因此，教師應致力于用各種途徑促進學生掌握數學識圖方法，促使學生用數學的眼光讀懂圖意，在提升學生數學識圖能力的同時，提高學生的幾何直觀能力。

二、從簡單走向復雜，培養學生畫圖能力

用圖形直觀語言表述數學概念，一定程度上可以有效降低數學知識的抽象程度，使復雜的數學問題變得簡明、形象。然而，數學畫圖只有出自學生內在的強烈需求，才能彰顯其價值， “因畫圖而畫圖”反而會增加學生的厭惡感。畫圖能力并非與生俱來，在引導學生畫圖的過程中需要教師根據學生的認知規律，引導學生從簡單走向復雜，拾級而上。

1.悉心指導，從簡單入手

小學生形象思維占主導，教師應從學生熟悉的實物圖著手，從簡單的實物圖開始，讓枯燥的數學變得生動、直觀，激發學生畫圖的興趣，讓學生懂得通過畫圖將數量關系表達出來。

例如，學習“一個數比另一個數多（少）幾”時，學生常常難以理解其中的數量關系，這時，教師可引導學生借助畫圖的方法來厘清數量關系。大部分學生會畫出實物圖（紅旗，如圖3），也有一部分學生會用圓形（或是其他圖形）來代表紅旗，還有一小部分學生懂得用直條圖來代表紅旗。根據學生的認知特點，立足于學生的“最近發展區”，教師可引導學生先厘清實物圖，再比較用圓形、小棒等模型代表紅旗的簡潔性，接著抽象出用直條圖來代表紅旗的清晰性，最后引導學生體會用直條圖表示兩者的數量關系最為簡潔清楚。

這樣的教學從簡單的實物圖入手，使得學生的思維從直觀走向表象，再從表象走向抽象，學生體驗到了圖形所展現的數學簡潔之美。

2.扶放結合，向復雜過渡

線段圖是發展學生幾何直觀能力的一個重要媒介。因此，教師要根據學生的思維特點，充分挖掘教材資源，邊扶邊放，促使學生學會通過畫線段圖將抽象復雜的數量關系變得直觀具體。

例如，人教版教材五年級下冊“解決問題”的例3（如圖4）：

先讓學生嘗試用自己喜歡的方法分析題中的數量關系，當學生思維受阻時，教師啟發學生閱讀教材中的“畫圖法”（如圖5）。

教材呈現了半抽象的直觀圖，并在直觀圖的下面用文字進行詳細的標注說明，這樣的編排是基于學生的思維特點，本著“扶”學生的思維的宗旨，讓學生能對題中復雜的數量關系有一個清晰的建構，進而喚醒學生畫圖的內在需要，感受畫圖對解決問題的重要性。接著，教師可以繼續追問：“除了可以這樣畫圖分析題中的數量關系外，還有沒有更簡潔的畫圖法？”五年級學生已經具備畫線段圖的經驗，這樣“半扶半放”的教學有效掃除了學生的思維障礙，促使學生順利地從文字抽象走向圖形直觀，繼而上升到數學圖形的簡約抽象上。學生親身經歷從“半抽象”到“全抽象”的過程，自然感悟到數學的抽象美與簡潔美，實現了數學學習的橫向化發展。

三、從認知走向思辨，培養學生析圖能力

數學識圖側重于讓學生形成辨識圖形外在呈現信息的數學直覺，數學析圖則側重于讓學生辨析圖形所要表達的內隱的數量關系。數學畫圖重在讓學生將數學語言轉換成圖形語言，而數學析圖則重在將圖形語言轉換成更為清晰精練的數學語言。可以說，數學識圖更多的是聚焦于學生的認知層面，數學畫圖則更多的是聚焦于學生的動作思維層面，而數學析圖則是關注學生思維的思辨性。基于這樣的認識，教師要借助圖形這個直觀手段，致力于促使學生形成超越直觀圖形走向更為“抽象”的數學思維。

1.同中求異，辨析拓展

利用線段圖來表征時，首先要厘清條件與問題之間的關系，從而找到解決問題的路徑。數學問題千變萬化，就算是同一種解決問題的策略，其問題的呈現方式也會有所不同。因而教師要有意識地引導學生靈活地辨析線段圖表征信息的方式。

例如，教師可設計一幅線段圖（如圖6）：

先讓學生根據線段圖提出問題并解決。有學生提出：“柳樹和楊樹一共有多少棵？”有學生提出：“蘋果樹有多少棵？”還有學生提出：“蘋果樹比柳樹多多少棵？”等等。顯然，第一個問題比較簡單，利用第一條線段呈現的信息便可以解決;第二個問題就稍復雜一些，學生要先通過第一條線段求出柳樹和楊樹一共多少棵，再通過圖中信息“10棵”才能求出蘋果樹的數量;對于第三個問題，有的學生會運用正遷移先求出蘋果樹的棵數，再用蘋果樹的棵數與柳樹的棵數進行比較，而有一部分學生則是通過觀察和辨析線段圖，一步解決問題，即“18-10”，算出的就是蘋果樹比柳樹多的棵數。這樣的訓練，能促使學生發現同樣的線段圖表征信息卻可以解決不同的問題，從而彰顯了圖形辨析策略之于同類問題的統攝作用，有效提升了學生的析圖能力。

2.異中求同，辨析溝通

數學是一門抽象性和邏輯性極強的學科，數量關系常常因一字之差而表征各異。因此，教師不但要引領學生辨析數學信息的異同，還要溝通數學知識之間的聯系，使學生構建完整而清晰的認知結構。

例如，題目一：小度和小智共有卡紙48張。小度比小智多6張 ，他們兩人各有卡紙多少張？題目二：小智和小度共有卡紙48張。小度給小智6張，這時兩人卡紙一樣多。他們兩人原來各有卡紙多少張？

這兩道題一起出現時經常讓學生感到困惑，學生解題時往往弄不清數量關系。此時，借助線段圖（如圖7），學生便能很快明確兩道題的不同點：題目一中小度和小智的卡紙數之差是 “6張”;題目二中小度和小智的卡紙數之差是“2 個 6張”。通過這樣直觀的對比與辨析，兩道題中的數量關系便十分清晰，學生很快就能找到解決問題的方法。像這樣經常性地引導學生利用圖形辨析和分析內隱的數量關系，能有效增強學生的析圖能力。

3.轉化突破，辨析重構

對于一些數量關系呈現較為隱蔽和復雜的圖形，學生看到就想放棄。對此，教師要引導學生適時地改變思路，促使他們主動調用數學思維析圖，在解構與重構的過程中提升析圖能力。

例如，筆者設計了一道比較面積的習題： 如圖8，在梯形[ABCD]中，[△AOD]和[△BOC]的面積相比，誰更大？

大部分學生想當然地認為△BOC 的面積比較小，而另一部分學生卻提出了疑問。在學生眾說紛紜，處于強烈的思維沖突之際，筆者適時啟發：“能否用轉化的方法分析△AOD與△BOC的面積的關系？”學生很快就能利用三角形同底等高的性質發現△AOD與△BOC的面積是相等的。這樣的教學引導能讓學生打破思維定式，靈活調用數學經驗與數學方法進行理性析圖，從而找到圖形中隱含的數量關系，促使問題得以快速解決。

綜上所述，小學階段是學生直觀形象思維向抽象邏輯思維過渡的重要時期，教師要充分挖掘教材資源，不但要關注學生識圖能力的培養，還應增強學生的畫圖能力，使學生數學思維可視化，更要提升學生的析圖能力，從而讓學生數學素養的培養得以落實。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 侯美霞，李醒群.低年段解決問題教學中學生畫圖能力的培養[J].小學數學教育，2015（Z3）.

[2] 楊志榮.淺談畫圖法在小學數學解決問題教學中的作用[J].吉林教育，2015（20）.

【本文系福建莆田市教育科學2020年度名師專項課題《基于啟智數學的小學數學習題設計研究》（編號：PTMS20002）階段性成果。】

（責編 金 鈴）