以表征性抽象觸發兒童數學抽象思維生長

【摘 要】培養兒童的表征性抽象思維體現了數學學科的本質要求，也是推動兒童實現深度學習和提升核心素養的必然選擇。教師培養兒童的數學表征性抽象思維，應沿著意識凝聚、思維扎根、品格提升等路徑逐步推進，在持之以恒中“靜待花開”。

【關鍵詞】小學數學;表征性抽象;數學抽象思維;數學表征性抽象思維

【中圖分類號】G623.5? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2021）78-0035-04

【作者簡介】劉子嫄，江蘇省連云港師范高等專科學校第一附屬小學教育集團（江蘇連云港，222000）教師，一級教師。

瑞士兒童心理學家皮亞杰的認知發展理論認為，7～12歲兒童的思維處于“具體運算階段”，這個階段的基本特點，是逐步從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡，但抽象邏輯思維在很大程度上仍然具有具體形象性。根據兒童的思維發展規律，筆者認為，小學生的數學抽象思維主要表現為表征性抽象思維。

一、兒童數學表征性抽象思維的內涵及價值

表征性抽象反映為人們概括出事物量（數量關系和空間形式）的特征，不斷建構起基本的概念、關系等。它高于生動直觀而又基于生動直觀，是以表征性抽象思維為基礎，再通過歸納事物的因果性和規律性，得到更高級的定律、原理等，不斷建構新的數學體系的思維發展過程，是更深層次的原理性抽象。（如圖1）

小學生的抽象思維以表征性抽象思維為主。它是兒童抽象思維發展的起步和重要基礎，體現了數學學科的本質要求，也踐行了兒童深度學習的真實效用，更是提升兒童核心素養的必然選擇。表征性抽象思維是兒童在長期的學習過程中能“抓得住”“帶得走”“用得上”的關鍵能力。兒童數學表征性抽象思維的發展，體現出直覺向邏輯過渡、具象與抽象交融、散點到結構建立的特點。

二、培養兒童數學表征性抽象思維的實踐路徑

（一）意識凝聚——聚焦兒童數學表征性抽象思維的萌發

1.強化表象，課堂留白，有向激發思維原動力。

真正有價值的課堂既要有師生雙向積極、有效、高質量的互動，也要把握好抽象的時機，以課堂留白引發學生思維上的“重彩”，引導學生主動經歷由具體情境觸及數學本質的過程，充分激活學生思維的原動力。如教學蘇教版三上《認識分數》一課，針對圖2，筆者設計了三個問題：（1）“科學天地”約占黑板報版面的幾分之幾？（2）在空白處設計一個“藝術園地”，占黑板報版面的四分之一;（3）剩余部分再設計兩個同樣大小的欄目，它們大約占黑板報版面的幾分之幾？這處課堂留白對學生提出了更高的表征性抽象要求，能加深學生對分數本質意義的認識，拓展他們的思維空間。

2.符號意識，表達留心，刻意觸及抽象敏感點。

英國數學家羅素說過：“什么是數學？數學就是符號加邏輯。”教學時，教師應注意讓學生經歷“具體事物—個性化的符號表示—數學地表示”的學習過程。如教學蘇教版一上《認識幾和第幾》一課時，有這樣一個問題：小明前面有3人，后面有3人，這一隊一共有（? ）人。對一年級學生來說，他們的數學學習多依賴于直觀感受，表征性抽象能力幾乎為零。因此，筆者讓學生擺一擺、畫一畫。一年級下學期再次遇到類似的問題：從排頭數，小紅在第15個;從排尾數，小紅在第20個，這一隊一共有（? ）個人？此時，不少學生自覺地通過畫圖來解答問題，他們對問題的表達在慢慢地向數學表示靠攏。這有賴于一年的數學知識積累和教師對表征性抽象看似無意實則有意的滲透和引導。

3.操作引悟，思考留痕，逐步增強圖式建構力。

數學操作不能為了操作而操作，而應以操作感知為明線，以感悟抽象為隱線，明隱兩條線齊行，有方向、有目的地建構數學知識結構。在教學中，教師應注意以實踐操作為橋梁，助推兒童在感悟中自主建構圖式。如教學蘇教版二上《認識角》一課，筆者以引導學生動手操作貫穿課堂始終：（1）讓學生在物體表面找到角并摸一摸對應角的輪廓，正確示范摸角的方式;（2）設計角的位置變換活動，呈現角的變式;（3）設計、制作活動角并比較角的大小，引導學生在激烈的認知沖突中感悟到“僅邊的長短發生變化，不會引起角的大小變化”。

（二）思維扎根——夯實兒童數學表征性抽象思維發展的基礎

1.初嘗數學模型建構，由直觀向抽象跨越。

在教學中，教師應注意引導學生充分經歷數學模型的建構過程，即自然剝除情境中的非數學成分，立足規律本身，從而形成結構。如教學蘇教版四上《加法交換律》一課時，筆者順勢追問：“你還能再寫幾個形如‘（? ）+（? ）=（? ）+（? ）’這樣的算式嗎？”由例引發，學生列舉了很多“交換兩個加數位置，和不變”的算式，加法交換律的概念油然而生。但筆者覺得，此時說概念模型已經建構完成還為時尚早，學生只是暫時形成了表象。于是，筆者繼續引導：“你能用自己喜歡的方式表示出加法交換律嗎？”學生各抒己見，有的說：“可以畫圖表示，○+△=△+○。”有的說：“可以用文字表示，甲數+乙數=乙數+甲數。”還有的說：“可以用字母表示，a+b=b+a。”教師順勢讓學生比較三種表示方法的簡潔性，聚焦產生加法交換律的模型，感悟用字母表示的優越性。

2.高度融合數學思想，促思路與思維鏈接。

兒童的數學思考應具有“百川東到海”的高度融合性，將猜想、假設、求證、轉化、推理、抽象等數學思想融會貫通，剝除事物的非數學成分，尋到其本質屬性。如一年級找規律填數：2，1，4，3，6，5，（? ），（? ），10，9，（? ），（? ）……學生首先常規性地尋找兩數相差幾這樣的規律，他們在此運用了猜測和假設的數學思想，雖然可能是無意識的。第一次猜想失敗后，學生猜測其中是否存在著間隔著排列的規律，雙數項：2，4，6，（? ），10，（? ）……單數項：1，3，5，（? ），9……這里還需假設和求證的思想。由上可知，對兒童滲透猜想、假設、論證等數學思想，促進兒童數學思維發展，應由始至終連續推進。

3.適時引發思維遷移，由學知向創造轉化。

在教學中，教師應注意引領兒童經歷表征性抽象的錘煉過程，內化數學模型，并順勢引發模型應用的契合點。如教學蘇教版三上《間隔排列》一課，有學生提出：“我們之前通過舉例找到了規律（如圖3），學完間隔排列后，我發現其實就是木段與刀之間的間隔排列（如圖4）。”學生思維的敏銳性讓人驚嘆，培養兒童數學表征性抽象思維的目的也是學以致用，激發其創新能力。

（三）品格提升——落實兒童數學關鍵能力的培養

1.整體把握，循序漸進——促表征性抽象層級逐步遞進。

教材的內容設計遵循兒童的思維發展規律，教師要不斷鉆研教材，對兒童不同階段的抽象思維發展要求了然于胸。如教學蘇教版“位置”或“方向”相關的內容，教師應整體考量教材中“位置與方向”相關知識點的抽象層級（如文末圖5），明確兒童表征性抽象思維逐步形成的軌跡，從低年級到高年級，引導兒童循序漸進地經歷四次螺旋上升的抽象發展過程。

2.關注差異，眾口可調——促表征性抽象思維共同發展。

教師還應關注兒童表征性抽象思維水平的差異性，準確把握學生的認知水平和身心發展特點，有針對性地展開多層次教學，讓每個兒童的思維都能得到提升。如教學蘇教版六上“圓柱”時，有這樣一道題目：一個底面周長18.84cm、高3cm的圓柱體，沿底面半徑平均分成若干小份，拼成一個近似的長方體，表面積比原來增加了多少？筆者首先鼓勵學生想象動態的切、拼過程，然后適時利用多媒體動態展示并呈現直觀圖（如圖6）。之后再次追問：“如果將圓柱切一刀，它的表面積可能發生怎樣的變化？”學生產生兩種不同的想法：（1）沿著底面直徑切，分成兩半（如圖7），它的表面積就比原來增加了兩個長方形的面積之和;將圓柱橫著切，切成兩個圓柱（如圖8），表面積就增加了兩個圓的面積。接著，筆者再次引導學生進行想象，這一次，有更多學生能夠自主構建直觀模型。然后，課件動態呈現上述兩種切法的直觀圖，完善兒童的抽象。最后，再次要求學生脫離形象直觀，在腦海中構建上述直觀模型，促進他們實現深刻理解。

3.夯實基礎，自然銜接——促表征性抽象延伸至原理性。

原理性抽象思維是對事物和現象的內在聯系經由抽象形成原理的思維。例如數的發展，學前教育重在具體數數，認識事物的多少、大小、輕重等;一年級抽象成1、2、3、4等自然數;三年級拓展到分數、小數;五年級拓展到負數，形成數的集合表征性抽象概念;中學則進一步進行原理性抽象，提出函數概念，表示常量與變量之間的變化原理和規律。這一過程充分演繹了人的思維水平是怎樣從低級走向高級的，體現了抽象的高度概括性。

綜上所述，表征性抽象思維的發展具有承上啟下的作用。它從直觀中來，向更深層次的抽象中走去。教師培養兒童的數學表征性抽象思維，應沿著意識凝聚、思維扎根、品格提升等路徑逐漸推進，在持之以恒中“靜待花開”。

【參考文獻】

[1]鄭毓信.數學思維與小學數學[M].南京：江蘇教育出版社，2008.

[2]史寧中.數學思想概論（第一輯）：數量與數量關系的抽象[M].長春：東北師范大學出版社，2008.

[3]楊明媚.抽象·推理·建模——小學數學思想和方法的教學研究[M].南京：南京大學出版社，2019.

[4]施玲.小學生數學抽象思維素養的培養[J].福建基礎教育研究，2020（6）：81-82.

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