數學建模復習教學探析

劉興安

[摘 ?要] 概述數學建模的概念與價值，提出數學建模專題復習的教學策略，以使學生在操作體會的基礎上，總結數學建模的一般步驟，并遷移應用在其他問題上，進而發展學生的數學核心素養.

[關鍵詞] 數學建模;復習教學;初中數學

數學核心素養包括數學抽象、數學建模、數學運算等六大核心素養. 其中數學建模是中心，其是聯系數學與外部世界的橋梁，也是運用數學的思維方式解決實際問題的重要工具.筆者嘗試在學生操作體會的基礎上，總結數學建模的一般步驟，并遷移應用在其他問題上，進而發展學生的數學核心素養.

數學建模的概念與價值

數學建模是指抽象現實問題，用數學語言表達，然后運用解方程、解不等式或函數的性質進行研究，得到數學問題的結論，最后用數學問題的結論解釋實際問題，從而得到實際問題的結果[1].

數學建模的操作步驟：（1）分析現實問題;（2）根據現實問題的特征選擇合適的數學模型;（3）應用數學中的定理、性質或法則等解答數學模型;（4）以數學模型的答案解釋實際問題得到現實問題的解，如圖1.

數學建模的價值：學習數學建模，可使學生認識到數學的應用價值，發展學生數學抽象、數學建模、數學運算與數據分析等核心素養，在分析問題與解決問題的過程實現數學的教育價值.

教學目標及解析

（1）教學目標：①通過具體實例，經歷建立方程、不等式、函數模型的過程;②總結歸納建立方程、函數、不等式模型的一般過程，得到數學建模的一般步驟，感受數學建模的價值;③應用抽象出的數學建模的方法步驟解決新問題.

（2）教學目標解析：①完成第一個教學目標的標志是：在實際問題中，學生能夠通過自主學習，發現方程、不等式、函數模型;②完成第二個教學目標的標志是：學生能夠對數學建模解決現實問題的過程進行反思，總結得出數學建模的操作要領，深化學生對數學建模的認識;③完成第三個教學目標的標志是：在鞏固訓練中，學生能夠自主運用數學建模解決問題[2].

教學問題診斷分析

（1）學生原有的基礎：學生已經掌握了三種函數的概念、圖像及性質，掌握了四種方程的概念、解法及應用，掌握了不等式的概念、解法及應用，對數學建模有了初步理解.

（2）存在困難：學生對數學建模的經驗是零散的，沒有形成體系，沒有掌握其操作要領，沒有應用數學建模解決問題的意識，什么情況下選擇什么樣的數學模型，學生沒有認識.

（3）教學難點：根據現實問題選擇合適的數學模型解決問題，突破難點的方法是以具體問題為背景，體會數學建模的價值，總結數學建模的方法和步驟，并通過適當的訓練加以鞏固.

數學建模專題復習的教學策略

1. 反思解決具體問題的過程，感受數學建模的思想和方法

案例1 ?由于新冠肺炎疫情暴發，某公司根據市場需求代理A，B兩種型號的空氣凈化器，每臺A型凈化器比每臺B型凈化器進價多200元，用5萬元購進A型凈化器與用4.5萬元購進B型凈化器的數量相等.

（1）求每臺A型、B型凈化器的進價各是多少元.

（2）公司計劃購進A，B兩種型號的凈化器共50臺進行試銷，其中A型凈化器為m臺，購買資金不超過9.8萬元. 試銷時A型凈化器每臺售價2500元，B型凈化器每臺售價2180元. 公司決定從銷售A型凈化器的利潤中按每臺捐獻75元作為公司幫扶疫區貧困居民，設公司售完50臺凈化器并捐獻扶貧資金后獲得的利潤為w，求w的最大值.

分析 ?（1）設每臺B型凈化器的進價是x元，則每臺A型凈化器的進價是（x+200）元，依題意得=，解得x=1800.經檢驗，x=1800是原方程的解，且符合題意，所以x+200=2000. 答：每臺A型凈化器的進價是2000元，每臺B型凈化器的進價是1800元.

（2）因為購進A型凈化器m臺，所以購進B型凈化器（50-m）臺，又購買資金不超過9.8萬元，所以2000m+1800（50-m）≤98000，所以m≤40. 依題意，獲得的利潤w=（2500-2000-75）m+（2180-1800）（50-m）=45m+19000. 因為45>0，所以w隨m的增大而增大，所以當m=40時，w取得最大值，最大值是45×40+19000=20800. 答：w的最大值為20800元.

設計意圖 ?原題敘述中存在等量關系，即“用5萬元購進A型凈化器與用4.5萬元購進B型凈化器的數量相等”，應建立方程模型求未知數;在第二小題的題意中有不等關系，即“購買資金不超過9.8萬元”，應建立不等式的模型求參數m的取值范圍;求利潤的最大值，應建立函數關系利用函數的增減性解決，其是建立函數模型的標志性信息.

2. 通過歸納推廣，抽象數學建模的一般思想和方法

讓學生分別回顧并反思建立方程模型、建立不等式模型、建立函數模型解決問題的過程，如圖2、圖3、圖4所示，引導學生總結歸納共性，最后得到數學建模的一般操作步驟.即首先要分揀出相關的量，分析相關量之間的數量關系;然后選擇數學模型，并根據數量關系建立模型，從而轉化為數學問題;最后解方程或不等式，化簡函數解析式，利用函數性質解答，從而得到實際問題的答案. 其關鍵步驟是：分析相關量之間的數量關系，選擇數學模型[3].

3. 在遷移應用中，鞏固數學建模的數學思想

案例2 ?如圖5，在一平直的河岸l同側有A，B兩村. A村位于河流l正南4 km，B村位于A村東8 km南7 km處. 現要在河岸邊建一水廠C為兩村供水，要求管道長度最少，請你確定選址方案，并求出所需最短管道的長度.

分析 ?第一步，分析問題的構成要素.即在已知直線l的同側有兩個固定點A，B，其目的是在已知直線上找一點C，使它們構成的單向線段和最小，這里需要把兩個村莊抽象為兩個點，把河流抽象為直線，這樣就把實際問題轉化為數學問題了.

第二步，此問題應分成兩種情況加以研究，即A，B之間有線段連接時，包括兩種情況：第一種，如圖6所示，顯然圖6的第二個圖管道長度比較長，應舍去. 圖6中第一個圖的管道長度計算如下：連接AB，過A作AC1⊥l于C1，則C1即為水廠地址;過B作BD⊥AC1交C1A的延長線于D，則AD=7 km，BD=8 km，AC1=4 km，所以AB==（km），所以所需管道的長度是AC1+AB=（4+） km. 第二種情況是在A，B之間沒有線段相連時，如圖7所示，作A關于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于C2，則C2即為水廠地址. 過B作BD⊥AA′交A′A的延長線于D，則A′D=15 km，BD=8 km，所以所需管道的長度是A′B==17 km.綜上所述，所需最短管道的長度是（4+） km.

設計意圖 ?遷移應用屬于高階思維能力，從方程、不等式、函數模型，應用幾何模型解決了現實問題，鞏固了數學建模的數學思想.在先分類再整合的過程中，學生積累了分析問題、解決問題的經驗，應用總結出的數學建模的思想和方法解決了新問題，實現了數學建模思想的遷移，拓寬了數學建模的應用領域.

總之，培養學生的數學建模素養，能夠讓學生體會數學的實用價值，激發學生的學習數學的內驅力，提高學生思維的靈活性，提升學生發現問題與解決問題的能力.

參考文獻：

[1]邱宗如. 初中數學模型思想的教學實踐與思考[J]. 福建中學數學，2020（08）.

[2]吳香秀. 培養數學建模能力 ?落實數學核心素養[J]. 初中數學教與學，2020（10）.

[3]王秀秀，董磊，陳棉駒. 初中數學模型思想方法的內涵及教學分析[J]. 中學數學教學參考，2019（11）.

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