基于符號意識的數學符號閱讀能力培養

侯海全 陳春雨

摘 ? 要：數學符號本身并沒有意識，數學符號意識特指學習者在感知、認識、運用數學符號時的一種主動性反應，是對符號本身以及符號蘊含的數學原理的一個不斷假設、證明、想象、推理的積極能動的認知過程。每一個數學符號都有特定的含義，數學符號閱讀，也是一個完整的心理活動過程，是對數學符號的感知和認識、對符號表達的抽象了的數學內容和推理過程的記憶和理解的心理活動。同時，也是一個不斷假設、證明、想象、推理的積極能動的認知過程，具有邏輯嚴謹、表達抽象等特點。

關鍵詞：符號意識 數學符號 閱讀能力

數學符號是特殊的文字，是一種含義高度概括，形態高度抽象的科學語言。我國數學史研究者梁宗巨先生曾經說過：“一個較復雜的公式，如果不用符號而用日常語言來敘述，往往十分冗長而且含混不清”[1]。符號語言的使用，使數學思維過程表達更加準確、簡明，更加易于揭示數學研究對象的本質屬性。例如，愛因斯坦僅僅在幾頁布滿數學符號的紙張上就可以把相對論表達得清清楚楚，這足以表明數學符號表達嚴密邏輯的效力。不論是數理邏輯還是計算邏輯，符號的使用在其中都起到了至關重要的作用。

在數學學習過程中，無論是概念、命題學習還是問題解決，都涉及用符號表征數學對象，并用符號進行運算和推理，得到一般性的結論。在這個過程中，對于學習者來說數學符號意識主要的不是潛意識、直覺和感覺，而是一種主動使用符號的心理傾向。符號本身并沒有意識，符號意識特指學習者在感知、認識、運用數學符號時的一種主動性反應，是對符號本身以及符號蘊含的數學原理的一個不斷假設、證明、想象、推理的積極能動的認知過程。[2]

每一個數學符號都有特定的含義，數學符號閱讀，也是一個完整的心理活動過程，是對數學符號的感知和認識、對符號表達的抽象了的數學內容和推理過程的記憶和理解的心理活動。滲透符號意識，培養數學符號閱讀能力，可以從以下幾個方面入手。

一、借助發展歷史理解數學符號

數學符號不是憑空產生的，每一種數學符號幾乎都經歷了曲折的發展史。數學符號的簡潔、和諧、藝術美對于學習數學的人是不言而喻的，但是任何一個數學符號“看似尋常最奇崛，成如容易卻艱辛”。

即使是直觀感覺最簡單的數學符號“0”，也經歷了漫長的發展，0的使用起源于位值制，也因為有0的使用，位值制才得以完善。但是在“上帝創造萬物”的西方世界，傳說第一個使用0的學者竟被釘在十字架上，罪名是否定了上帝的神力。在歷史上，0的哲學意義甚至超過了它的數學意義，如有“消失了量的靈魂”“無形的有，有形的無”種種說法[3]。恩格斯在《自然辯證法》一書中認為，0比任何一個數的內容都豐富，并且給出了0的精辟定義，人民教育出版社中學數學教科書也引用了該定義：0既不是正數又不是負數。[4]

在我國，數學符號的發展源遠流長，約公元前11世紀成書的《周易系辭下》中有“上古結繩而治，后世圣人，易之以書契”，繩和書契相當于今天記數或者記事的符號。《史通》稱“伏羲始畫八卦，造書契，以代結繩之政”，八卦中爻辭的符號表示方法可能是最早的二進制模型[5]。后來歷經3000年的算籌及珠算記數與運算，我國在算術領域和代數領域也長期居于世界領先地位。中國古代數學在發展過程中的一個遺憾是沒有創用先進完整的數學符號。直到清末時期，被譽為近代科技翻譯第一人的的李善蘭翻譯《代微積拾級》仍然嚴守“祖宗家法”，更多的用漢字代替了西算符號。

在數學符號發展的歷史長河中，符號是伴隨著數學發展本身的需要產生的。從第一個自覺使用符號的希臘數學家丟番圖，到16世紀出現真正的代數符號，現代符號的產生歷經了幾千年的探索。一個小小的符號，凝聚了人類智慧的結晶，在中學數學教育中，如果學習者能夠看到符號，聯想到歷史，對符號的理解和認識必然有更為深刻的感受。這種感受可能是對符號發展艱辛歷程的感慨，也可能是對數學家追求真理的肅然起敬，更可能是對未來無限發展的憧憬，人的必備品格、科學精神可能就在這一次次讀史的過程中得以錘煉。

二、借助特例理解數學符號

“舉個例子”不僅是數學中特有的語言，也是生活中常見的表達方式。符合存在一個元素，使得該元素在某個集合中的邏輯表述，也就是？堝x∈M，P（x），這里就需要我們舉出恰當的例子使得這個存在量詞命題成立，這種表達方式使抽象的內容變得具體生動。

史寧中教授在《數學基本思想18講》一書中寫道：“由亞里士多德開創的借助語言的邏輯學是對人類思維活動的第一次抽象，由布爾開創的借助符號的邏輯學是在第一次抽象基礎上的第二次抽象”[6]。我們要完全理解這兩次抽象過程，就需要不斷地回到抽象前的具體實例來理解被抽象的對象，進而得到一般性結論。

例如，學齡前兒童要掌握1+1=2的抽象含義，往往從一個蘋果加上一個蘋果等于兩個蘋果開始學習，我們把蘋果去掉就得到了抽象的一般性符號結論：1+1=2，蘋果只是個特例，當然也可以是芒果、梨子，這些都是舉例子，就是回到抽象前的具體實例來理解符號語言。再如，初中生關于“三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例”的學習，結合圖形，這個定理也是一種符號表達形式。它是學習相似三角形最基本、最重要的基礎知識之一。教材中并沒有證明，只是舉例說明了它的正確性。當然這是因為它的證明對于初中生來說是一個難度很大的問題，初中生的基礎知識還不夠，在處理這部分知識時，通過度量和計算，作為一個基本事實呈現出來，不乏“舉例子”的功勞。

三、借助圖形語言理解數學符號

我們知道，明確研究對象、確定研究范圍是研究數學問題的基礎。歐幾里得的《原理》開篇就給出了23個定義，這些定義描述了平面幾何的基本對象，其中包括：點、線、面、角、多邊形、三角形等。而《原理》中又明確規定點是沒有部分的，即數學的點是無大小的，線只有長度沒有寬度，可見這些定義已經是高度抽象的了，我們需要用鉛筆、直尺、三角板等畫出可見的定義示意形象，也就是圖形，從而理解這些概念。[7]

希爾伯特認為，歐幾里得關于點、線、面的定義在數學上是不重要的，它們之所以成為討論的中心，是因為公理述說了它們之間的關系。換句話說，無論把它們稱為點、線、面，還是把它們稱為桌子、椅子、啤酒瓶，最終推理得到的結論都一樣。希爾伯特想表達的就是研究對象的形式化，也就是可以用符號來表達。在他的《幾何基礎》中對點、線、面的定義開宗明義：設想有三組不同的對象：第一組的對象叫作點，用A，B，C…表示;第二組的對象叫作直線，用a，b，c…表示;第三組的對象叫作面，用？琢，？茁，？酌…表示。[8]

擺脫研究對象的物理屬性，固然可能更容易得到一般性結論，但是在研究形式化表達，也就是數學符號所表示的含義的時候，學習初期仍然離不開對經驗直覺的依賴，這就需要我們借助圖形語言來對符號語言進行有效翻譯。比如對于非常重要的絕對值概念，初中生在學習時，如何來理解形式化的a的表達，并且能夠有效地把a翻譯成文字語言？我們把數軸上表示數a的點到原點的距離叫作數a的絕對值。這里就需要借助數軸這個具體圖形的橋梁功能，在符號語言和文字語言間建立必要聯系。也就是說，需要學習者在數軸上標出具體的數字所表示的點，如-3、0、5、7等，最終理解表示數a的點到原點的距離的一種形式化表示方法，即為a。在閱讀一些符號時，借助圖形語言的這種把符號語言轉化為文字語言的功能是顯而易見的，如集合論。集合論公理體系已經成為現代數學的基礎，其中大量使用了數學符號，如∈、∪、∩、？哿、？奐、？勐、？勱等，我們要理解這些符號以及這些符號所組成的運算的含義，可以充分借助Venn圖。

四、小結

康德認為，人類的一切知識都是直觀開始，進而到概念，以理念結束。數學的抽象是形成概念的必要手段，在數學的發展過程中，經歷了數量與數量關系的抽象，圖形與圖形關系的抽象，并且最終得以形式化地表示，也就是所謂的“數學符號語言”。“數學是上帝用來書寫宇宙的文字”[9]，數學符號則是數學中特殊的語言，可以更加完善、準確、明了地表達計算邏輯和數理邏輯。

參考文獻：

[1]梁宗巨.世界數學通史[M].沈陽：遼寧教育出版社，2005：419.

[2]史寧中.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012：2.

[3]徐品方，張紅.數學符號史[M].北京：科學出版社，2010：8.

[4]恩格斯，列寧，斯大林.馬克思恩格斯選集（第四卷）[M].中共中央編譯局，譯.北京：人民出版社，1995：365.

[5]史寧中.由八卦到六十卦：試論《周易》的邏輯思維[J].哲學研究，2011（8）：64.

[6]史寧中.數學思想18講[M].北京：北京師范大學出版社，2016：167.

[7]歐幾里得.幾何原本[M].蘭紀正，朱恩寬，譯.西安：陜西科學技術出版社，2003：21.

[8]希爾伯特.幾何基礎[M].江澤涵，朱鼎勛，譯.北京：科學出版社，1995：88.

[9]康德.純粹理性批判[M].鄧曉芒，譯.北京：人民出版社，2004：544.

編輯 朱婷婷 ? 校對 王亭亭

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