向量的數量積教學內容解析

田素 康玥媛

[摘 ?要] 在學習章建躍先生“基于深化教改要求的數學課堂教學”講座視頻的基礎上，文章分析了解析教學內容的重要性，建構了教學內容解析的基本框架，即從整體架構下解析教學內容，知其然——了解基本內容，知其所以然——體會內容本質，何由以知其所以然——深化學生認知.文章以向量的數量積為例，進行具體教學內容的解析.

[關鍵詞] 向量的數量積;教學內容解析;數學教學

章建躍先生是課程教材研究所研究員、中國心理學會教育心理學專業委員會學術委員，曾經擔任中學數學教師十年，有豐富的中學數學教學經驗，且在全國核心雜志上發表論文百余篇.在天津師范大學承辦的2019年“國培”班計劃中，章建躍先生開展了“基于深化教改要求的數學課堂教學”主題講座，在主題四中，深度剖析了教學內容解析的框架及要求，并結合實例介紹了理解知識的三層境界：知其然，知其所以然，何由以知其所以然.

提出問題

2019年國務院辦公廳發布的《關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》中，第十條明確要求“深化課堂教學改革，提高課堂教學效率，培養學生學習能力，促進學生系統掌握各學科基礎知識、基本技能、基本方法.”[1]《普通高中數學課程標準（2017版）》中提到“通過高中數學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及未來發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗（簡稱“四基”），提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）.”[2]

“四基”“四能”的落實已經是當今教學的必然要求，那如何去落實“四基”“四能”呢？章建躍先生在講座中提到落實“四基”“四能”就等于落實核心素養.“四基”“四能”的落實主要在數學內容教學中來實現，以教學內容為載體引導學生獲得“四基”，發展“四能”，形成數學思維方式[3]. 基于此教師對教學內容的解析也就成為一種必要.

向量是近代數學中重要和基本的概念之一，具有物理背景和幾何背景，是溝通幾何與代數的橋梁，是數學教材中很重要的數學知識[4]. 向量的數量積是向量內容體系中重要的組成部分，涉及向量的模和角度之間的運算. 在人教A版新教材中，正弦定理、余弦定理都應用到了向量的數量積. 向量的數量積在向量體系乃至高中數學體系中起著重要的作用.

基于以上分析，在一節具體的教學內容中如何去解析呢？本文以“向量的數量積”為例，來進行教學內容的解析.

教學內容解析框架

章建躍先生在講座中提出了解析內容的要求，即理解知識的三重境界：知其然，知其所以然，何由以知其所以然這三個層次. 王光明、米妍提出了整體性數學思維方式，即利用全方位的研究視角去思考知識整體及局部的內在結構[5]. 于漪先生提到，基礎教育是整體的，不是分支的，它更重要的是基礎，基礎是要整體構架的. 章建躍先生主張“一般觀念”指導下研究對象，且提出了以“一般觀念”為指導研究整體架構[6].

基于以上內容的分析，結合章建躍先生提出的研究內容的整體架構和理解知識的三重境界，來建立教學內容解析的框架，并根據此框架對向量數量積的教學內容進行解析.教學內容解析的框架如圖1所示.

教學內容解析的四步驟

1. 整體架構下解析教學內容

整體把握向量數量積的內容，除了分析向量的數量積內容外，還要解析向量數量積在向量內容框架下的位置.所以先對向量內容進行整體把握，再進行向量數量積內容的把握.

向量是兼具“數”與“形”的雙重形態，有大小和方向，不僅有數的特征，也有幾何的特征.從整體上把握教學內容，章建躍先生提出研究向量的基本套路是：背景→概念→運算及其性質→聯系→應用. [6]李昌官以平面向量為例分析了向量教學單元的邏輯主線，即“概念抽象→表示→關系→運算→應用”[7].基于兩者的框架基礎上，按照“背景引入→概念→表示→關系→運算及運算律→聯系與應用”這個架構來分析向量內容.

向量這一章節，從實際背景出發抽象出向量的概念以及一些輔助性概念，如零向量、單位向量等，學生經歷從實際背景出發抽象出數學對象的過程[8].概念產生之后就要研究向量的表示，即幾何、坐標、符號表示.向量有大小和方向，從大小和位置關系兩個角度去研究其關系. 接著研究向量的運算及其運算律，最后運用向量解決幾何、物理中的問題.向量的數量積屬于向量的運算部分，通過對整個向量架構的分析，從整體把握向量數量積所處的地位和作用.

向量的數量積內容在一定程度上可以參考研究向量的整體架構，鑒于向量數量積的特性，將架構確定為“背景引入→概念→性質→運算性質→聯系與應用”.

從背景引入來看，從物理情境引入，從力的做功能抽象出兩個向量之間的運算，體會向量與物理之間的聯系.從概念來看，通過物理模型，抽象概括出向量數量積的定義. 從向量數量積的性質來看，涉及投影和投影向量.從向量數量積運算性質來看，包括幾何性質和代數性質.從聯系與應用來看，能根據定義公式求解具體的運算，體會幾何與代數的聯系. 基于以上分析，在整體架構下對向量的數量積內容有一個完整的把握，有助于教師在一般觀念指導下進行教學過程的研究.

2. 知其然——了解基本內容

“知其然”是教學內容解析的第一步，從教學內容的上、下位知識來看，向量的數量積是向量運算的一種形式，向量的數量積的學習完善了向量的運算體系，有利于學生從數的角度去體會研究數學要素的基本方法和思路. 從知識角度來理解，首先從物理背景得出向量數量積的定義，在定義中兩向量為非零向量、夾角的概念、兩向量夾角的范圍、向量的數量積結果是一個數、零向量與任一向量的數量積為零，這些內容都是需要從向量的數量積定義中引申出來的.定義之后，借助幾何直觀，讓學生了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義[9]. 接下來要研究數量積運算的性質，向量運算的性質既有幾何性質也有代數性質[10]. 從幾何性質方面來說，研究一些特殊的單位向量、共線向量、兩向量平行或者垂直時數量積的特性;從代數性質方面來說，類比數的乘法運算，得出向量數量積運算的運算律.最后是向量數量積的應用. 以上這些內容是向量數量積的基本知識內容，把握這些內容是基礎，教師對整體內容有了把握之后，再去進一步解析向量的數量積內容，這樣才能更好地引導學生“知其所以然”.

3. 知其所以然——體會內容本質

“知其所以然”通俗來講，是讓學生明白知識是如何來的，知識的抽象過程、推導過程是怎么樣的. 在真正學習過程中，有的學生只了解向量數量積的表達式，而對于表達式由來的過程并不很理解. 這就需要教師從“知其所以然”的角度對內容進行解析.

如向量的數量積是從物理背景中進行的數學抽象，也就是從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，再用數學語言予以表征[11]. 再比如投影概念的引入，通過力做功的表達式中，類比Fcosθ的物理意義，結合向量積的意義，說出bcosθ的幾何意義，進而理解投影的意義. 將數學與物理聯系在一起，從物理角度去體會投影，更能加深學生對于向量知識的理解. 所以教師在解析內容時，既要想到如何將知識講清楚，又要把知識講透徹，做到教學的準、精、簡.

4. 何由以知其所以然——深化學生認知

“何由以知其所以然”是要在“如何使學生想得到”上有所突破，這是解析教學內容非常關鍵的一步.要引導學生把握知識體系、主動思考、積極提問、自主探究.從而使學生逐步了解研究一個數學對象的基本框架和路徑，發展理性思維. 向量的數量積這一節的內容，在教學時要向學生滲透“背景引入→概念→性質→運算性質→聯系與應用”整體框架.

數學中引進一個新的量，自然要考慮它的運算及其運算律的問題.由于向量既有大小又有方向，向量運算可以與熟悉的數的運算進行類比，從中得到啟發，在前面學習了向量的加法、減法、數乘運算，學生能想到研究向量與向量的乘法是很自然的. 這也就解決了向量數量積內容是如何找到的這一問題.定義了一種運算就要研究這種運算的運算律，也就是向量數量積的運算律.如何使學生想到要去研究運算律呢，此時可以類比向量的加法，學習了向量的加法之后，類比數的加法法則，又去研究了向量的加法滿足交換律和結合律. 那在學習了向量的數量積之后，類比數的運算律，再去研究向量數量積的運算律.這一過程就將為何研究運算律解析清楚了.通過“何由以知其所以然”的過程引導學生體會研究數學對象的整體框架，發展學生思維，獲得“四基”、發展“四能”.

結論

離開知識的理解和應用，核心素養的發展將成為一句空話[12]. 解析教學內容的目的是準確理解內容的基礎上做到教學的準、精、簡，因此建立起教學內容解析的框架.

1. 教學內容解析框架：先從整體架構下解析教學內容，然后根據教學內容解析的三重境界逐步完成對教學內容的解析.

2. 從整體架構下解析教學內容：這是教學內容解析的前提，先對教學內容所在章節進行整體分析，再去分析教學內容的整體框架. 如解析向量的數量積內容，先對向量章節進行整體分析，然后對向量的數量積內容進行整體分析.

3. 教學內容解析的三重境界：從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”. “知其然”是教學內容解析的第一步，這一步主要了解解析內容的知識有哪些. 僅僅了解知識內容是不夠的，還需要“知其所以然”，也就是知道知識的由來過程，體會內容本質.在此基礎上，再解決如何使學生想到要學習這一內容，也就是“何由以知其所以然”. 通過這三個步驟，層層解析，步步深入，從而準確理解教學內容，以內容為載體有效開展課堂教學，落實“四基”“四能”，發展學生核心素養.

參考文獻：

[1] ?國務院辦公廳關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見[EB/OL].[2019-06-19].http：//www.gov.cn/zhengce/content/2019-06/19/content_5401568.htm

[2] ?中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[3] ?章建躍. 研究三角形的數學思維方式[J]. 數學通報，2019，58（04）.

[4] ?林丹，胡典順. 中美高中數學教材的習題比較及啟示——以PEP教材與UCSMP教材中平面向量章節為例[J]. 數學教育學報，2015，24（03）.

[5] ?米妍，王光明. 整體性數學思維方式視野下的教材閱讀——基于章建躍先生對《實數》一章的教材分析[J]. 數學通報，2017，56（10）.

[6] ?章建躍. 核心素養導向的高中數學教材變革（續4）——《普通高中教科書·數學（人教A版）》的研究與編寫[J]. 中學數學教學參考，2019（28）.

[7] ?李昌官. 基于核心素養的數學單元教學[J]. 中國數學教育，2018（10）.

[8] ?劉詠梅. 影響數學觀的中學向量概念的教學[J]. 數學教育學報，2009，18（04）.

[9] ?薛彬. 體現幾何、代數融合提升直觀想象、數學運算素養——《普通高中教科書·數學（人教A版）》必修第六章“平面向量及其應用”的教材設計與教學思考[J]. 中學數學教學參考，2020（07）.

[10] 章建躍. 核心素養導向的高中數學教材變革（續7）——《普通高中教科書·數學（人教A版）》的研究與編寫[J]. 中學數學教學參考，2020（07）.

[11] 張曜光. 對平面向量數量積發生發展之思考[J]. 數學通報，2017，56（05）.

[12] 章建躍. 核心素養導向的高中數學教材變革（續1）——《普通高中教科書·數學（人教A版）》的研究與編寫[J]. 中學數學教學參考，2019（19）.

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