踞數學思想高地，促學科素養提升

李捷生

[摘 ?要] 文章以“簡單幾何體外接球”為例，借助數學轉換思想，通過圖形轉換、思維轉換等方式，培養學生的模式化思維和載體化意識，培養學生的直觀想象素養，促進學生實現深度學習，深化學生對知識的理解，提升學生的遷移能力.

[關鍵詞] 數學思想;核心素養;直觀想象素養;簡單幾何體;外接球

引言

數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的[1]. 對此，部分教師在教學中進行了嘗試，并取得了一定的成果. 比如培養學生的直觀想象素養，朱賢良通過特殊幾何體的結構特征來確定外接球球心的位置，梳理了部分規則幾何體的解題思路[2];李健通過一節課堂實例，呈現了如何借助一個立體幾何問題，提升學生的數學思維品質的具體范例[3];符強如在高三復習中，嘗試通過將多面體外接球問題“模式化”，助力學生深度學習[4]. 這些嘗試，在解決簡單幾何體外接球問題的技巧上提供了很好的借鑒方案，也為提升學生的直觀想象素養提供了很好的范例.

在這些優秀同行的研究基礎上，文章嘗試從數學思想統領整個教學過程的角度出發，以“簡單幾何體外接球”教學為例，談談如何在轉換思想[5]的引領下，培養學生的模式化思維和載體化意識，為提升學生的數學直觀想象素養展示一條實施路徑.

教學設計

1. 以圓柱為載體的外接球

教學中，引導學生分別從題4-1、題4-2的幾何體棱長和底面垂直的特征中“萃取”線面垂直模型，從題4-3的幾何體一個底面與其中一個側面垂直的特征中“萃取”面面垂直模型，培養學生對知識的概括能力. 通過“問題鏈”的方式，引導學生尋求這兩個特殊模型的解決方案，并通過類比推理，搭建起空間與平面思維的通道，實現思維的轉換. 在教學過程中，教師啟發學生思考并提出問題：“平面幾何中，確定圓心的位置是解決圓的問題的關鍵，我們是如何確定圓心的？”“找圓心的方法可以類比到找球心的方法嗎？”“圓中的弦該類比到球中的哪個幾何元素呢？”通過一系列“問題鏈”的引導，類比新舊知識，進行思維轉換的訓練，構建獲得新知的科學路徑，引導學生注重知識之間的聯系，滲透轉換思想;通過新舊知識的類比，將解決平面幾何問題的方法遷移至立體幾何問題上，實現從空間到平面的轉換，有助于學生對球問題的深度理解. 將條件特殊化后的兩個模型的外接球問題（面面垂直、線面垂直）與平面中圓的兩條垂直弦的模型進行類比，加深學生對前一次類比的理解. 通過數學思想的引領，提升學生的知識理解能力和遷移能力.

教學思考

1. 由圖形轉換提升學生的直觀想象素養

學生直觀想象素養的提升落實到“簡單幾何體外接球”的教學環節中，教師需要有意識地引導學生認識并理解圖形之間的關系，借助圖形的特性，將復雜圖形的問題轉換為簡單圖形的問題，將陌生的圖形轉換為熟悉的圖形，幫助學生進行深度理解，培養學生的模式化思維和載體化意識.

在“以圓柱、圓錐為載體的外接球”的教學中，整個教學圍繞“如何進行轉換”展開，目的是讓學生充分體會兩次轉換（見圖5）的意義，引導學生借助圖形的對稱性及圖形之間的轉換，實現將特殊棱柱、棱錐問題轉換為圓柱、圓錐問題，提升直觀想象素養.

在“以長方體為載體的外接球”的教學中，以轉換思想引領學生觀察特殊三棱錐的特性，聯想到長方體的棱垂直多、對角線相等的幾何特性，將特殊三棱錐還原為長方體，實現特殊三棱錐模型與長方體模型的轉換（見圖6）. 一方面，教師應該培養學生關注幾何體特殊性質的習慣，培養學生能從一般幾何體中“萃取”某一類特殊幾何體的能力，并能用直觀形象的名稱表達出有類別的特殊性質，這實際上就是學生直觀想象素養在“能用數學的眼光看世界”“能用數學的語言表達世界”的一種具體表現形式. 另一方面，教師不僅要引導學生從多個視角去看待同一個幾何體，而且還要引導學生用聯系的眼光去看待多個幾何體，從幾何體之間的聯系這個角度去直觀感知幾何體，掌握研究幾何圖形的基本方法，提升直觀想象的素養[6].

2. 由思維轉換提升學生的直觀想象素養

史寧中認為：“幾何教學，更好的教學過程應當是先討論二維空間的情況，然后類比到三維空間的情況，最后抽象出一般n維空間.”[7]球作為圓在三維空間中的拓展，是提升學生直觀想象素養很好的一個素材. 但是，由于學生原有的幾何儲備知識大部分屬于二維平面知識，因此在實際的教學中，教師需要引導學生進行思維轉換，將三維空間問題降維到他們熟悉的二維平面問題，然后調用二維平面中相應的知識進行類比并解決三維空間問題.

上述教學設計，目的是引導學生站在思想高度去看問題，培養學生高觀點下思考問題的能力，通過圖形轉換和思維轉換將簡單幾何體分別轉化為圓柱模型、圓錐模型、長方體模型、垂直模型等四種模型，讓學生參與并經歷這些轉化過程，促使學生更加關注圖形特征、圖形之間的聯系，從而提升學生的直觀想象素養. 另一方面，通過數學思想的引領，讓學生感悟從整體的視角關注知識之間的聯系，感悟從模型的視角去整合知識，有利于促進學生進行深度學習，深化學生對知識的理解，培養學生的模式化思維和載體化意識，提升學生的遷移能力.

結束語

張奠宙教授指出：“每一門數學學科都有其特有的數學思想，賴以進行研究（或學習）的導向，以便掌握其精神實質. 只有把數學思想掌握了，計算才能發生作用，形式演繹體系才有靈魂.”素養的培養不可能一蹴而就，學生從理解到感悟需要一個過程，需要教師進行有意識的引導. 因此，教學活動需要數學思想作為引領，借助具體的知識作為載體，提升學生的數學核心素養，培養學生的知識理解、遷移、應用的能力.

參考文獻：

[1] ?中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2] ?朱賢良. 眾里尋“心”千百度 繁華落盡識真顏——確定多面體外接球球心位置的一般途徑與四個特殊模型[J]. 中學數學研究（華南師范大學版），2019（21）.

[3] ?李健. 直觀把握數學本質動態提升思維品質——從教材中一個立體幾何問題例談變式教學[J]. 數學通報，2019（10）.

[4] ?符強如. 巧建數學模型 助力深度學習——以模式化思想求解多面體外接球問題為例[J]. 高中數學教與學，2019（17）.

[5] ?吳炯圻，林培榕. 數學思想方法：創新與應用能力的培養[M]. 廈門：廈門大學出版社，2009.

[6] ?宋建輝. 基于學科核心素養的2019高考全國卷立體試題分析[J]. 數學通報，2020（01）.

[7] ?史寧中. 數學思想概論（第4輯）——數學中的歸納推理[M]. 長春：東北師范大學出版社，2010.

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