高中數(shù)學(xué)概念建構(gòu)教學(xué)路徑探尋

陳云明

[摘 ?要] 概念教學(xué)應(yīng)力求學(xué)生抓住概念的本質(zhì)，理解概念的內(nèi)涵，掌握概念的應(yīng)用，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 以“雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)為例，提出概念教學(xué)的基本路徑，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)雙曲線概念和標(biāo)準(zhǔn)方程的深刻理解，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基本方法，建立數(shù)學(xué)的基本思想，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

[關(guān)鍵詞] 雙曲線;定義;標(biāo)準(zhǔn)方程;高中數(shù)學(xué)

概念教學(xué)應(yīng)力求學(xué)生抓住概念的本質(zhì)，理解概念的內(nèi)涵，掌握概念的應(yīng)用，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的實(shí)質(zhì)總依附于對(duì)概念的理解和性質(zhì)的掌握. 在概念教學(xué)中，教師應(yīng)精心設(shè)計(jì)概念的教學(xué)過(guò)程，充分挖掘概念的內(nèi)涵與外延，把學(xué)生從題海戰(zhàn)術(shù)中解放出來(lái)，進(jìn)而達(dá)到事半功倍、提高課堂教學(xué)的效果.筆者以“雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)為例，注重知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，建立知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生對(duì)雙曲線概念和標(biāo)準(zhǔn)方程的深刻理解，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基本方法，建立數(shù)學(xué)的基本思想，進(jìn)而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

通過(guò)類比對(duì)概念進(jìn)行教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力

“類比是偉大的引路人”. 研究雙曲線的概念可以與橢圓的概念聯(lián)系起來(lái). 由于學(xué)生對(duì)橢圓概念已有理性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，因此在研究雙曲線時(shí)，教師可以從復(fù)習(xí)橢圓入手，這不僅有利于學(xué)生在已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上引入雙曲線概念的學(xué)習(xí)，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的類比，達(dá)到提升學(xué)生自我學(xué)習(xí)、自我發(fā)展的能力[1].

師：橢圓的定義是什么？用數(shù)學(xué)式對(duì)其表示.

生1：在平面內(nèi)，與兩個(gè)定點(diǎn)F，F(xiàn)的距離之和等于常數(shù)（大于FF）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓.

生2：用數(shù)學(xué)式可以表示為PF+PF=常數(shù)>FF.

師：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？并說(shuō)明a，b，c的關(guān)系.

生3：焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1;焦點(diǎn)在y軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1;且有a2=b2+c2.

師：在平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F，F(xiàn)的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)的軌跡是什么？

最后一個(gè)問(wèn)題的拋出，給了學(xué)生一個(gè)懸念，滿足了學(xué)生對(duì)問(wèn)題的好奇心，學(xué)生對(duì)橢圓進(jìn)行分類討論，不僅使雙曲線概念的研究有了一個(gè)好的開端，而且還滲透了分類討論數(shù)學(xué)思想.

通過(guò)對(duì)概念教學(xué)的過(guò)程設(shè)計(jì)，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)概念并不是憑空產(chǎn)生的，教師可以通過(guò)對(duì)概念教學(xué)的過(guò)程設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知概念，并把握概念的內(nèi)涵與外延[2].

比如，在雙曲線概念教學(xué)中，教師首先提出問(wèn)題：雙曲線是如何形成的？并讓學(xué)生進(jìn)行圖形演示，讓學(xué)生從圖形演示中形象直觀地感悟雙曲線的概念：平面內(nèi)，與兩個(gè)定點(diǎn)F，F(xiàn)的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于FF）的點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線. 定點(diǎn)F，F(xiàn)叫作雙曲線的焦點(diǎn)，F(xiàn)，F(xiàn)之間的距離叫作雙曲線的焦距.

讓學(xué)生自己參與圖形演示，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情;通過(guò)對(duì)圖形的觀察，總結(jié)有關(guān)的性質(zhì)，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想，為更好地掌握知識(shí)、理解知識(shí)、培養(yǎng)能力創(chuàng)造了條件. 其次，教師引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)概念中的關(guān)鍵詞句的理解，在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維、逆向思維的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的研究能力.

對(duì)“PF-PF=常數(shù)”中的“常數(shù)”進(jìn)行討論：

（1）當(dāng)常數(shù)大于0且小于FF時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支;

（2）當(dāng)常數(shù)小于0且大于-FF時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的左支;

（3）當(dāng)常數(shù)等于0，即PF-PF=0時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是線段FF的垂直平分線;

（4）當(dāng)常數(shù)等于FF時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是分別以F，F(xiàn)為端點(diǎn)的兩條射線.

（5）當(dāng)0<常數(shù)<FF時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是什么？——給學(xué)生一個(gè)思考的空間.

概念教學(xué)不僅需要重視閱讀概念，而且概念中有本質(zhì)特征的關(guān)鍵詞句也需要讓學(xué)生反復(fù)琢磨，仔細(xì)品味，認(rèn)真思考，要深刻理解其語(yǔ)意，并不時(shí)地提出一些反問(wèn). 例如，換成其他詞語(yǔ)行嗎？省略某某字行嗎？（去掉“在平面內(nèi)”，點(diǎn)P的軌跡是一幾何體;去掉“絕對(duì)值”，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支）加上某某字行嗎？等等.要讀出書中的要點(diǎn)、難點(diǎn)和疑點(diǎn)，讀出字里行間所蘊(yùn)藏的內(nèi)容，讀出從概念中提煉的數(shù)學(xué)思想、觀點(diǎn)和方法，從而使學(xué)生能準(zhǔn)確地掌握概念的內(nèi)涵和外延，提高課堂實(shí)效，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì).

在概念的靈活應(yīng)用中，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)用能力

數(shù)學(xué)教學(xué)的目的歸根到底是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，概念教學(xué)也是如此. 通過(guò)對(duì)雙曲線概念及方程的研究，我們不僅要求學(xué)生能夠理解概念、應(yīng)用概念，掌握雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，更要讓他們?cè)诶斫怆p曲線概念的基礎(chǔ)上提升分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 教學(xué)中，教師可以通過(guò)求點(diǎn)的軌跡方程的練習(xí)，提升對(duì)雙曲線概念的理解;通過(guò)題組訓(xùn)練，提高雙曲線定義式的應(yīng)用能力[3].

1. 求點(diǎn)的軌跡方程

求標(biāo)準(zhǔn)方程的方法有定義法和待定系數(shù)法. 定義法即根據(jù)雙曲線的概念，確定軌跡，直接得到標(biāo)準(zhǔn)方程;待定系數(shù)法即設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)已知條件，求出a和b，然后得到標(biāo)準(zhǔn)方程.

例題：已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，并且雙曲線上兩點(diǎn)P，P的坐標(biāo)分別為（3，-4），，5，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

分析：由題意知，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1（a>0，b>0），又點(diǎn)P（3，-4），P，5是雙曲線上的兩點(diǎn)，則-=1，-=1.設(shè)m=，n=，則32m-9n=1，25m-n=1？圯m=，n=？圯a2=16，b2=9.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.

通過(guò)此例，讓學(xué)生體會(huì)用待定系數(shù)法求曲線方程的過(guò)程. 利用待定系數(shù)法也可設(shè)所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為Ay2-Bx2=1（A>0，B>0）.

2. 通過(guò)題組訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力

訓(xùn)練：（1）雙曲線4x2-y2-64=0上一點(diǎn)P到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于1，求點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離.

（2）化簡(jiǎn)方程：-=8.

（3）點(diǎn)B（0，-5），C（0，5）是△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)，且AB-AC=6，求點(diǎn)A的軌跡方程.

（4）下列說(shuō)法中，正確的是（ ?）

A. 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F，F(xiàn)的距離之差等于常數(shù)（小于FF）的點(diǎn)的軌跡是雙曲線

B. 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F，F(xiàn)的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于FF）的點(diǎn)的軌跡是雙曲線

C. 方程-=±表示的曲線不是雙曲線

D. 雙曲線+=1的焦距等于4

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，并非要求學(xué)生對(duì)概念死記硬背，而是要求學(xué)生在理解概念的基礎(chǔ)上，能靈活應(yīng)用概念解決問(wèn)題，這才是教學(xué)的最終目的. 這一目的實(shí)現(xiàn)，學(xué)生的運(yùn)用能力提高了，數(shù)學(xué)素養(yǎng)自然也會(huì)提升.

概念教學(xué)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的第一步. 如何讓學(xué)生真正把握住數(shù)學(xué)概念，是一個(gè)值得探究的問(wèn)題. 教學(xué)中，教師可通過(guò)類比進(jìn)行概念教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力;通過(guò)對(duì)概念教學(xué)的過(guò)程設(shè)計(jì)，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì);通過(guò)對(duì)概念的靈活應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)用能力，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升.

參考文獻(xiàn)：

[1] ?陳靜安，方麗. 高中數(shù)學(xué)必修1中難點(diǎn)概念啟發(fā)式教學(xué)策略[J]. 教學(xué)與管理，2014（31）.

[2] ?劉榮鋒. “雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)設(shè)計(jì)[J]. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2012（04）.

[3] ?王淼生，李為. 雙曲線定義的精彩應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)通訊，2017（15）.

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