論創新意識培養的有效途徑

董金華

[摘 ?要] 創新是時代發展的標志，是時代進步的必然趨勢，創新是人類共同關注的熱門話題，而創新能力的培養不是一蹴而就的，需要在教學過程中不斷滲透. 作為基礎學科之一的數學，自然擔負著培養學生創新能力的重任. 因此，在數學概念、定理、例題等教學過程中，要重視對學生已有知識的拓展，為學生的創新思維插上飛翔的翅膀.

[關鍵詞] 創新;教學過程;拓展

在教學中，若僅僅依賴于模仿和記憶，不僅效率低下，而且因為形式單一，使得課堂枯燥乏味. 因此為促進課堂內容豐富化、教學生動化，滿足學生多樣化學習的需求，教師需要改變傳統的以“教師講授為主”的授課模式，讓動手實踐、自主探究和合作交流等多種教學模式走進課堂，以使學生養成自主學習、獨立思考的好習慣. 自主學習后，學生會涌現出許多新想法、新思路，為創新意識和創新能力的培養奠定了基礎. 當然，學生創新意識和創新能力的養成需要長期的積累，需要教師的引導和激發. 筆者結合教學案例，淺析在高中數學教學中培養學生創新意識的幾個有效途徑，以期共鑒.

[?]拓展例題，讓創新意識扎根

創新意識的培養不是靠幾道新穎別致的題目就可以養成，也不是“從無到有”才叫創新，其實創新源于學習中的日積月累，只有達到量的積累才會有質的飛躍，因此，在教學中，要在扎實的基礎上逐漸培養創新意識. 數學例題作為典型試題，是經過專家的精挑細選，仔細推敲的，具有代表性和典型性，因此在培養學生創新思維時，要重視例題的拓展. 教師常采用將例題進行變式處理，通過多角度思考和多方位練習來培養學生思維的多樣性和創新性.

例1：已知A（-3，-4），B（6，3）到直線l：ax+y+1=0的距離相等，求a的值.

題目分析：要解此題，只要根據已知條件，分別求出A點到直線l和B點到直線l的距離，解方程即可求解. 由=，解得a=-，或a=-.

變式1：求過點P（0，-1），且與A（-3，-4），B（6，3）距離相等的直線m的方程.

變式2：設點A（2，1），B（-1，5）到直線m的距離均為，則這樣的直線m有多少條？若距離為2時又有幾條呢？

變式3：設點A（2，1）到直線l的距離等于1，點B（-1，5）到直線l的距離等于5，這樣的直線l有幾條呢？

通過學生熟悉的例題進行變式拓展，讓學生意猶未盡，探究的熱情被激發了，對知識點的理解更加深入了，從而完善了學生的認知.

[?]拓展已有認知，讓創新意識抽枝、長葉

當學生利用已學知識解決最近發展區問題后，可以嘗試進入下一個發展區，以拓展學生的思維，這也是有效培養學生創新意識，讓創新意識抽枝、長葉的途徑.

例2：如圖1，A，A，B，B分別為橢圓+=1（a>b>0）的四個頂點. 將線段AA稱為橢圓的長軸，BB稱為橢圓的短軸，是否合理呢？請說下你的理由.

分析：題目源于學生熟悉的知識，但要說明其合理性，學生有些束手無策.

師：因為A，A，B，B分別為橢圓的四個頂點，即四點為橢圓與對稱軸的四個交點，也就是說線段AA和BB必然過橢圓的中心，若可以證明AA為過橢圓中心的弦的長度的最大，BB為過橢圓中心的弦的長度的最小，是不是就可以解釋了呢？（教師看學生有些無從下手，給出必要提示）

生1：可以從函數的觀點出發，設ST是過橢圓中心的一條弦，設點S（x，y），則T（-x，-y），ST=2=2=2（-a≤x≤a）.

顯然，當x=0時，ST最短，最小值為2b;當x=±a時，ST最長，最大值為2a.

師：很好，這樣就很好地解釋了原命題的合理性.

師：過橢圓的四個頂點A，A，B，B作x軸和y軸的平行線，從而形成矩形MNPQ. 該矩形MNPQ為橢圓的外切矩形，該矩形的面積為4ab. 現橢圓保持不變，改變橢圓外切矩形的位置（如圖2），其外切矩形的面積是否發生變化呢？

教師留給學生足夠的時間進行思考，以期學生可以充分利用已有認知進行自主建構.

生2：MN和QP，NP和MQ為兩組平行直線，設直線MN的方程為y=kx+m，則直線QP的方程為y=kx-m;設直線MQ的方程為y=-x-n，則直線NP的方程為y= -x+n. 將直線MN的方程與橢圓方程聯立，并根據Δ=0，得m2=b2+a2k2. 將直線QP的方程與橢圓方程聯立，其結果相同. 同理，將直線NP和MQ的方程與橢圓方程聯立后，得n2=b2+. 由此可得橢圓的外切矩形的面積為：

S=·===.

令t=

k+，則t2≥4，S=4·=4=4，也即4ab≤S≤2（a2+b2）.

師：很好，解題思路清晰，運算也很精彩. 根據生2的推理得出橢圓面積的取值范圍為[4ab，2（a2+b2）].

由對橢圓長軸和短軸合理性的探究，變為關于橢圓外切矩形的問題，讓學生知曉橢圓的外切矩形的邊若與x軸和y軸分別平行，則其面積為4ab;若位置變化，則其外切矩形面積也隨之發生變化. 本題關于直線對稱性的利用、方程的代入和求解等知識都是已有的學習經驗，但通過拓展和利用，達到了錦上添花的效果，不僅對學生解題能力是一種鍛煉，對思維也是一種鍛煉.

[?]拓展數學模型，讓創新意識開花、結果

數學問題的研究往往需要很多思維活動，例如：分析、推理、比較等，通過探究和挖掘問題的本質從而找到解決問題的方法，化特殊為一般，化復雜為簡單. 而在這一思維過程中，數學模型發揮著巨大的作用，因其可以將實際問題中蘊含的數學知識提取出來，通過分析和整理，運用數學知識去解決實際的問題，成為連接現實世界和數學世界的紐帶，因此，要培養學生的創新能力，離不開數學建模意識的培養和拓展.

例3：假設X，Y是兩個相互影響的種群，設X種群隨時間變化的數量為{a}，Y種群隨時間變化的數量為{b}，其滿足關系式

師：對于變換次數少的情況，可以避免計算特征值和特征向量而直接計算，不失為一個好的辦法，生1面對復雜的計算也顯得游刃有余，精神可嘉. 但是若變換次數多，計算量會變大，該方法從效率上來講是不太完美的，優勢也就減弱了.

若拋開本題的兩個種族相互制約的影響，單純從線性關系數列的角度去考慮，如何將矩陣變換轉變為數列的通項問題呢？為了讓學生進一步完善該認知，教師又給出了一道相似的問題.

師：設數列{a}和{b}滿足a=1，b=0，且

問題給出后，學生經過交流討論給出了兩個解題思路：①首先得出a=14a-a-6，接下來利用特征根的方法求數列{a}的通項;②按照剛剛例題的思路進行模仿，得出這個關系式

-4，但是進行到這一步后就不知道該如何下手了，右側的列向量顯然已經成了干擾. 教師沒有直接給出計算過程，而是提出問題“滿足條件a=pa+q（p≠0，q≠0）的這個數列通項，是如何得出的？”學生回憶之前的方法是將常數q分解到a和a中，將其轉化為等比數列再求解.

在教師的提示下，學生借鑒上面的處理方法，驗算后得出

由二項式展開得（2+）n+（2-）n=c·3k·2n-2k為整數，這是個完全平方數.

在本題的證明中，既應用了上面例題的解題思路，又引入了對a=pa+q（p≠0，q≠0）這個數列通項的思考，充分地利用了已有的數學模型進行拓展. 教學中，教師對學生的思路給予了積極肯定的評價，在思維受阻時用問題引導學生利用已有數學模型進行解題，這樣的積極評價和引導既有利于弘揚學生張揚的個性，又有利于學生創新思維的培養.

總之，民族進步和國家的發展都離不開創新，要創新就需要創新人才的培養，創新人才的培養需要滲透創新教育，而創新教育應源于教學活動，因此，在教學中，教師要不失時機地進行引導，通過變式問題、模型拓展等教學手段發展學生的創新意識. 創新教育不是針對個別學優生的，要重視全體的共同提高，因此，在教學中，教師要從本班的學情出發，采用分層次的問題，引導學生逐漸提升，做到“因材施教”.