“觸礁、穿越、影響”等問題的解法淺析

摘要：數學教學的一個重要任務是教學生數學建模，即如何將實際問題轉化為數學問題，從而建立數學模型求解。“觸礁、穿越、影響”等問題是生活中典型的實際問題，它們對應的數學實質是什么呢？本文通過實例分析、說明，歸納、介紹了這類問題的解題思路與方法。

關鍵詞：實際問題;數學思想;解法

在學習了勾股定理、直角三角函數等知識后，解題中不時會遇到輪船航行中會不會觸礁、修建高速公路會不會穿越保護區及大貨車通過某路段時其噪聲會不會影響學校教學等實際問題，學生由于不明白實際問題的數學意義，不能將“實際問題”轉化為“數學模型”，往往不知所措，不得不依依不舍地放棄。

仔細分析總結觸礁、穿越、影響等問題不難發現，雖然這些問題的表達形式不同，解題方法、過程也各有特點，但它們所蘊含的數學實質卻是一致的，那就是“兩理一法” 即“垂線段最短原理、勾股定理和比較法”的應用。只不過有的側重于“長度比較”，有的側重于“長度再應用”而已。同學們只要明白了這個實質，再掌握一些相關知識，如直角三角形性質（包括直角三角函數）、等腰三角形性等，解題時能綜合應用，困難就會迎刃而解了。下面舉例說明。

一、長度比較問題

這類問題的結論往往是：“會不會怎樣？”的問法，如會不會觸礁？能不能穿越？或會不會影響？等等實際問題，數學問題就是“長度比較”，即點到線的距離與已知半徑比較，本質是求直角三角形的邊長。方法一般是：首先，利用“垂線段最短”數學原理，過公園（或海島）所在位置（點）作前進方向線所在直線的垂線，利用勾股定理及三角函數等性質求出垂線段的長;然后，將垂線段長與公園半徑進行比較;第三，根據比較結果問答、解決問題，當垂線段長大于半徑時，不會的; 當垂線長不大于半徑時，會的。

例1、某地要修建東西走向的一條高速公路，工程行進到點A時，發現北偏東60的方向有一個小公園P，當公路修建向前推進10千米時到達點B時，測得公園正好在東北方向。中途由于資金問題高速公路修建停工了一年多，在此期間，隨著人們健康意識提高和當地黨委、政府的重視，小公園將擴建成半徑為的15千米的圓形“主題健身公園”，試問，復工后高速公路再修建會影響“主題健身公園”嗎？為什么？

分析：本題是一個實際問題，解決問題的關鍵是“會不會影響公園修建”這個實際問題對應的數學問題是什么呢？其實就是公路修建結束后公園還能不能按計劃修建，也就是公園中心到高速路的距離是不是比公園的計劃半徑大的問題。這就轉化成了“求點到直線的距離”，也就是求“長度”的數學問題了。

解：過點P作PC ⊥ AB，交AB的延長線于點C，如圖，由題意得，∠PCA=90°，

∠PAC=90°-60°=30°，∠PBC=45°，所以，BC=PC，AP=2PC，由勾股定理得：AC=PC.

因為AC-BC=AB，AB=10，所以，PC-PC=10，解得，PC=5（? +1）=13.66，因為13.66<15，所以，會影響公園修建。

二、影響時間問題

這類問題往往是在前面問題基礎上的進一步深化，數學實質是長度小于半徑時，求公園等目標點為頂點，底邊在前進方向線上腰長為公園半徑的特殊等腰三角形的底邊長，然后，再利用物理知識求時間。

例2、如圖，公路MN和PQ在點P處交匯，已知QPN=30，點A處有一所小學，AP=160米，假使拖拉機行駛時，周圍100米內會受到噪音影響，那么拖拉機在公路上沿PN方向行駛時，學校是否受到噪音影響？若受影響，已知拖拉機的速度為18千米/小時，那么學校受影響的時間是多少？

分析：學校教學受到影響的條件是點A到公路MN的距離小于100，這個問題的解決首先要求出AB的長，才能作出判斷;如果AB<100，就要考慮在直線MN上什么范圍內的點到A的距離不大于100.于是，轉化為研究特殊的等腰三角形底邊計算。

解：過點A作直線MN的垂線AB，垂足為B，如圖，由題意知，∠ABP=90°，∠APB=30°，AP=160，所以，AB=80，BP=80，因為80<100，所以學校教學分受到影響。設拖拉機行進至點C時影響開始，到點D時影響結束，如圖，連接AC和AD。由題意得，AC=AD=100，而AB=80，所以由等腰三角形性質和勾股定理得BC=BD=60，所以CD=2BC=120，影響時間t=120/18=20/3小時=24秒。因此，學校受影響的時間是24秒。

作者簡介：婁金智（1965-）男，貴州余慶人，本科，中學高級教師，研究方向：初中數學教學與解題研究.