次線性期望下具有隨機系數相依線性過程的完全積分收斂性

張冰冰,吳群英

(桂林理工大學 理學院,廣西 桂林 541004)

1 引言與預備知識

極限理論廣泛應用于金融和統計等領域. 傳統概率極限理論主要處理模型確定或近似確定的情形,但在實際應用中模型通常是不確定或近似確定的,導致大量信息和數據在概率空間下處理受限. 針對該問題,Peng[1-3]提出了次線性期望空間的理論體系. 目前,關于次線性空間理論的研究已得到廣泛關注: Chen[4]得到了次線性期望下獨立同分布隨機變量序列的強大數定律; Zhang[5]將隨機變量的范圍進一步擴大得到次線性期望下ND(negatively dependent)序列的Kolmogorov強大數定律; Zhang[6-7]給出了一系列的重要不等式,為研究次線性期望空間下的極限理論提供了有力工具.

線性過程在經濟、金融數學、工程、物理學等領域,特別是在時間序列分析中具有重要作用. 令{εn,n∈}是獨立同分布的隨機變量序列,{an,n∈}是實數序列,則稱為線性過程(或移動平均過程). Phillips等[8]研究了線性過程的漸近性; Ko[9]得到了在Hilbert空間下線性過程的強大數定律; Li等[10]研究了線性過程的完全收斂性; Hosseini等[11]得到了具有隨機系數的相依線性過程的完全矩收斂；Chow[12]首次引入了完全矩收斂的概念，完全矩收斂比完全收斂更精確; Wu等[13-14]將完全矩收斂推廣到NA(negatively associated)和ND隨機變量中; Qiu等[15]推廣了完全矩收斂,得到了END(extended negatively dependent)序列的完全收斂性. 本文討論次線性期望空間下的完全積分收斂性,將概率空間下具有隨機系數相依線性過程的完全矩收斂推廣到次線性空間下.

令(Ω,F )是給定的可測空間,H是定義在(Ω,F )上由實函數構成的線性空間,若X1,…,Xn∈H,則對?φ∈Cl,Lip(n),有φ(X1,…,Xn)∈H,其中Cl,Lip(n)是局部Lipschitz函數,即存在c>0及僅依賴于φ的m∈,恒有

本文記X∈H.

定義2[3]令G?F,對函數V: G→[0,1],如果V(?)=0,V(Ω)=1,對?A?B,A,B∈G,有V(A)≤V(B),則函數V: G→[0,1]稱為容度.

若對所有的A,B∈G,A∪B∈G,均有V(A∪B)≤V(A)+V(B),則稱V具有次可加性.

(1)

2) 若函數V: F →[0,1]滿足

則稱函數V: F→[0,1]為可數次可加[3].

定義Choqet積分為

可用V代替 V得到相應的積分.

則稱X1和X2同分布；若對每個i≥1,X1,Xi都是同分布的,則稱隨機變量序列{Xn;n≥1}是同分布的.

(2)

(3)

則稱隨機變量序列{Xn,n≥1}被隨機變量X隨機控制.

本文用an?bn表示存在一個常數c>0,使得當n充分大時,有an≤cbn；I(·)表示示性函數.

證明: 因為(|a+b|-|c|)+≤(|a|-|c|)++|b|, 所以

再由q>1和Markov不等式,得

引理3設{εn,n∈}和{An,n∈}是次線性期望空間(Ω,H,下的兩個ND隨機變量序列,}關于{An,n∈}在下是獨立的. 設1≤p≤2,幾乎處處收斂,具有可數次可加性,則

因為{εn,n∈}關于{An,n∈}在下是獨立的,所以{εn,n∈}關于n∈}和}在下也是獨立的. 再由的次可加性及式(2)和得

從而由引理2,得

同理有

2 主要結果

定理1設{εn,n∈}和{An,n∈}是次線性期望空間(Ω,H,下的兩個ND隨機變量序列,=}關于{An,n∈}在下是獨立的,{εn,n∈}被隨機變量ε隨機控制,且CV<∞,具有可數次可加性. 對α>0,1

(4)

且對某一p

(5)

(6)

證明: 由于{εn,n∈}是一個ND隨機變量序列,為使該序列截尾仍是ND序列,則需要截尾函數非增(非減)并屬于Cl,Lip. 令?c>0,

fc(x)=-cI(x<-c)+xI(|x|≤c)+cI(x>c),

對?1≤k≤n,n≥1,

則有

(7)

對0<μ<1,設g(x)∈Cl,Lip是一個偶函數,并在x≥0上是單調下降的,使得對?x∈,0≤g(x)≤1,且當|x|≤μ時,g(x)=1; 當|x|>1,g(x)=0. 則

I(|x|≤μ)≤g(x)≤I(|x|≤1),I(|x|>1)≤1-g(x)≤I(|x|>μ).

(8)

(9)

因此對n≥1,有

從而由引理1得

首先證明H1<∞. 由引理3得

(12)

由Cr不等式和式(3),(9),得

由式(1),(8)得

(14)

于是由式(5),(12)～(14),得

因此對任意的c>0,有

(16)

令a>1,得

(17)

對j≥1,設gj(x)∈Cl,Lip()是一個偶函數,使得對?x∈,0≤gj(x)≤1,且當2(j-1)α≤|x|≤2jα時,gj(x/2jα)=1; 當|x|≤μ2(j-1)α或|x|>μ-12jα時,gj(x/2jα)=0. 則

(18)

當p>0,2αp>1時,由式(1),(5),(8),(17)得

由式(19)得

(20)

再由式(15),(19),(20)得H1<∞.

其次證明H2<∞. 方法類似于H1<∞的證明,由引理3得

因為要用引理2和Cr不等式處理式(13),所以式(13)中q的取值可以為1,故令式(13)中q=1,再用Cr不等式得

由g,gj的定義,得

由式(19)得

(21)

因此H2<∞.

最后證明H3<∞.

由式(1),(3),(8),(9)得

當p>1,2αp>1時,由式(4),(19)得

由H12<∞和式(22)可得H3<∞. 從而由式(11)～(22)可得式(6)成立.