數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何直觀運(yùn)用漫談

李玉娟

[摘 要]數(shù)學(xué)課堂中，教師應(yīng)根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容，適時(shí)運(yùn)用幾何直觀引導(dǎo)學(xué)生探究，培養(yǎng)學(xué)生的空間思維和幾何空間觀念，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]幾何直觀;數(shù)學(xué)教學(xué);運(yùn)用

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）09-0032-02

數(shù)形結(jié)合，為學(xué)生探究、理解數(shù)學(xué)知識(shí)提供了有效的表象材料。其中，幾何直觀就是憑借幾何圖形來揭示數(shù)學(xué)原理，推斷數(shù)量關(guān)系和幾何位置。它借助形象直觀的圖形來代替復(fù)雜難解的數(shù)學(xué)語言，既與小學(xué)階段學(xué)生的心理特征和認(rèn)知規(guī)律相契合，又直指數(shù)學(xué)本質(zhì)，是打開學(xué)生智慧大門的鑰匙。那么，如何讓幾何直觀在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中得以充分發(fā)揮作用呢？下面，筆者通過直線圖、線段圖、平面圖、路線圖，談?wù)勅绾巫寧缀沃庇^在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念、數(shù)量關(guān)系、號(hào)碼排序、位置方向等內(nèi)容時(shí)大顯神通。

一、直觀演示時(shí)間的延續(xù)性

數(shù)學(xué)概念是揭示概括某種數(shù)學(xué)現(xiàn)象的規(guī)律性總結(jié)，而圖形的直觀性則能讓這種規(guī)律外顯化，從而降低理解的難度，使學(xué)生一目了然，引領(lǐng)學(xué)生逐漸觸及數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵。例如，教學(xué)《24時(shí)計(jì)時(shí)法》一課時(shí)，表盤上只有12個(gè)時(shí)間刻度，如何解釋一天有24小時(shí)呢？如何從常用的12時(shí)計(jì)時(shí)法切換到較為陌生的24時(shí)計(jì)時(shí)法？由于三年級(jí)學(xué)生對(duì)24時(shí)計(jì)時(shí)法的認(rèn)識(shí)還比較陌生，所以教師另辟蹊徑，通過多媒體將圍成圓周的24個(gè)整時(shí)刻度拉到一條直線上，等距排開，并在每條刻度線上依次標(biāo)注0～24的數(shù)字。這樣一條直線就將一天24小時(shí)全部串聯(lián)起來，形象直觀，有助于學(xué)生在觀察中感知24時(shí)計(jì)時(shí)法。

為了深化學(xué)生對(duì)24時(shí)計(jì)時(shí)法的認(rèn)識(shí)，教師讓學(xué)生將直線圖上的每個(gè)整點(diǎn)時(shí)刻換算成普通計(jì)時(shí)法的時(shí)刻并標(biāo)注在直線下方，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比辨析，找出兩者的區(qū)別。學(xué)生比較后明白：普通計(jì)時(shí)法一天有兩個(gè)6時(shí)，即上午6時(shí)和下午6時(shí);24時(shí)計(jì)時(shí)法一天只有一個(gè)6時(shí)，即上午6時(shí)是標(biāo)準(zhǔn)的6時(shí)，下午6時(shí)則轉(zhuǎn)換成18時(shí)。也就是說，一天的時(shí)刻，24時(shí)計(jì)時(shí)法不分上午和下午。這樣通過直線圖進(jìn)行教學(xué)，凸顯了24時(shí)計(jì)時(shí)法的簡潔性：直線可以前后無限延長，往前看，越過起點(diǎn)，今日的凌晨0時(shí)就是昨日的午夜24時(shí);往后看，跨過終點(diǎn)，今日的午夜24時(shí)就是明日的凌晨0時(shí)，周而復(fù)始，循環(huán)往復(fù)。上述教學(xué)，教師通過直線無限延長的特點(diǎn)，將時(shí)間的延續(xù)性恰到好處地作了直觀演示，使學(xué)生弄清每天的0時(shí)和24時(shí)就是今天與明天的分界線，從而對(duì)24時(shí)計(jì)時(shí)法的理解更加透徹。

二、圖物合一演繹對(duì)應(yīng)關(guān)系

數(shù)學(xué)課堂中，教師根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容，不妨將線段圖與實(shí)際生活相接，這樣可讓圖形和數(shù)量實(shí)現(xiàn)完美結(jié)合，通過圖形直觀性的特點(diǎn)使數(shù)量關(guān)系清晰明了。如“植樹問題”分為三種情況，即“兩端都栽”“只栽一端”“兩端都不栽”，其中間隔數(shù)和植樹棵數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不盡相同，如何揭示其奧秘呢？以“兩端都栽”為例，如“在一條20米長的瀝青路上一旁植樹”，教師先畫好標(biāo)有可移動(dòng)等分線（20條）的線段圖，讓學(xué)生自行確定植樹的位置（間隔數(shù)），再自選喜歡的圖案表示樹，并數(shù)清楚植樹棵數(shù)和間隔數(shù)。由于學(xué)生自定的間距不同，所以間隔數(shù)和植樹棵數(shù)有差異，但兩者的換算關(guān)系是守恒的，即間隔數(shù)+1=植樹棵數(shù)（“兩端都栽”）。通過在線段圖上比畫，學(xué)生發(fā)現(xiàn)植樹棵數(shù)和間隔數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系并思考：“到底為什么植樹棵數(shù)會(huì)比間隔數(shù)多1呢？”教師再次引導(dǎo)學(xué)生從線段圖中尋找答案，利用線段圖上的植樹和間隔線段的連接關(guān)系，即每一棵樹后連接著一條線段，直至延伸到下一棵樹，循環(huán)往復(fù)，最后一棵樹成為端點(diǎn)，后面沒有連接線段，公式里多出的1指的就是最后一棵樹。因此，無論間隔多少條線段，無論植多少棵樹，植樹棵數(shù)總比間隔數(shù)多1。

通過在線段圖上的虛擬操作，學(xué)生對(duì)“兩端都栽”中的植樹棵數(shù)和間隔數(shù)的關(guān)系理解深刻，故對(duì)于“只栽一端”“兩端都不栽”這兩種情況也可以用此方法進(jìn)行教學(xué)。有了幾何直觀的展示，輕易突破植樹棵數(shù)和間隔數(shù)之間關(guān)系的教學(xué)難點(diǎn)，使學(xué)生理解透徹。同時(shí)，這樣教學(xué)，幾何直觀盡顯其能，將題中的數(shù)量關(guān)系展露無遺，有利于學(xué)生的思維發(fā)展，使教與學(xué)相得益彰。

三、簡筆畫勾勒排列順序

低年級(jí)學(xué)生的理解力還較弱，遇到排序問題時(shí)思維常常容易混淆，因此除了實(shí)物演示這一方法外，畫圖推導(dǎo)也不失為一個(gè)妙法。實(shí)踐表明，幾何直觀可以彌補(bǔ)實(shí)物演示法的不足。例如，教學(xué)《幾和第幾》后的一道練習(xí)題：“工廠復(fù)工前，員工們?cè)谂抨?duì)做新冠核酸檢測(cè)。順數(shù)和倒數(shù)，小明都排在第6位，這隊(duì)一共有幾名員工？”有的學(xué)生一看到數(shù)字6，就馬上答道“有6名員工”;有的學(xué)生看到“一共”，就先入為主地利用求和方法，即6+6，算出有12名員工。一年級(jí)學(xué)生解答這道題容易出現(xiàn)盲區(qū)和誤區(qū)，即在分析“順數(shù)和倒數(shù)，小明都排在第6位”這一信息中的數(shù)量關(guān)系時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。教師若通過列隊(duì)、實(shí)物演示等方法引導(dǎo)學(xué)生理解，雖然可行，但費(fèi)時(shí)費(fèi)力，且需要多人合作，頗費(fèi)周折，如想簡單、有效，幾何直觀是首選的方法。

課堂上，教師可先讓學(xué)生獨(dú)立思考，畫一畫平面圖，再和同桌交流。有部分學(xué)生先畫出1個(gè)五角星，前后各畫5個(gè)圓圈，顯然這五角星代表小明本人，前后圓圈代表其他員工，學(xué)生的這一簡略圖清晰地顯示出排隊(duì)情況。教師利用這一生成資源，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察與反思：“檢查一下，順數(shù)時(shí)，小明是否排在第6位？倒數(shù)時(shí)呢？這隊(duì)共有多少名員工？”有了平面圖的幫助，學(xué)生爭先恐后地發(fā)言，問題迎刃而解。這樣教學(xué)，使學(xué)生明白在解決復(fù)雜的排序問題時(shí)，運(yùn)用幾何直觀可以將題中的隱性條件揭示出來，將不易察覺的“陷阱”暴露出來，提高了解題的正確率。

四、逆行路線指明方向

學(xué)生靈活運(yùn)用幾何直觀解決問題的能力不是一朝一夕可以形成的，需要教師注重培養(yǎng)，且要堅(jiān)持不懈。如在解決有關(guān)方向的問題時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生畫出帶有路標(biāo)的路線圖，這樣不僅有利于學(xué)生構(gòu)建幾何表象，還能培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。例如，有這樣一道關(guān)于位置與方向的思考題：“馬芳從家去圖書館，要向東北方向走100米，再向北走200米。她借完書后，返家時(shí)應(yīng)該怎么走？”這道題除了要考慮方位的相對(duì)性外，還要逆向推導(dǎo)行走路線，這對(duì)三年級(jí)學(xué)生而言絕非易事，如果沒有幾何直觀做表象支架，學(xué)生就會(huì)找不到“回家的路”。而有一定幾何直觀意識(shí)和作圖能力的學(xué)生就會(huì)動(dòng)筆畫圖，先定一點(diǎn)代表馬芳家，再以這一點(diǎn)為參照點(diǎn)，畫出簡易的直角坐標(biāo)系，即從馬芳家出發(fā)沿著東北方向畫一條自定義長度的線段1（作為單位長度“1”），順接線段1的末端，參照原坐標(biāo)系的坐標(biāo)線，往北的方向畫一條線段，截取兩個(gè)單位長度，標(biāo)注為線段2，線段2的終點(diǎn)就是馬芳家。同時(shí)，在線段圖上標(biāo)明數(shù)據(jù)和加注箭頭，帶箭頭的線段就是馬芳去圖書館的行走路線，借書后返回的路線仍是這條線段，只是方向逆轉(zhuǎn)，將返回時(shí)的方向用不同顏色箭頭標(biāo)注，這樣返回路線就生成了。因此，馬芳返回時(shí)的路線就是先向南走200米，再向西南走100米。通過畫路線圖來解決方向問題，過程簡潔明了、一目了然，體現(xiàn)了路線圖的價(jià)值，培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用幾何直觀解決問題的意識(shí)和能力。

總之，幾何直觀，化作直線圖可詮釋概念，化抽象為形象;化作線段圖則能梳理數(shù)量關(guān)系，化繁為簡;化作平面圖可理清順序，化雜亂為工整;化作線路圖則能指示方向，化模糊為清晰。數(shù)學(xué)課堂中，教師應(yīng)根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容，適時(shí)運(yùn)用幾何直觀引導(dǎo)學(xué)生探究，培養(yǎng)學(xué)生的空間思維和幾何空間觀念，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（責(zé)編 杜 華）