低起點高視角讓知識生長向深度發展

王瑜

【摘要】復習課是以核心知識為起點，對基本的知識、技能、典型例題、經典習題等的再現，更是對學生進行知識結構串聯重組能力的拔高.所謂“溫故”“知新”，“知新”就是要在知識的生長中鑄就問題解決的高視角，從而達到新的認知高度.本文以“求不等式（組）中待定字母的取值范圍”專題教學為例，談談數學復習課教學.

【關鍵詞】復習課;待定字母（參數）;高視角;思維發展

在區域名師工作室活動中，兩位老師圍繞蘇科版七年級下冊“求不等式（組）中待定字母的取值范圍”小專題進行了同課異構教學活動.兩位老師教學設計的方案不同，產生的教學效果有所不同，引發筆者思考，現撰文呈現，希望與大家進一步研討.

一、教學片段

【方案1】（一）由圖形語言轉化為符號語言

首先讓學生根據圖形確定不等式的解集.

然后讓學生根據圖形，確定不等式中待定字母的值：

已知關于x的不等式x-a>0的解集如圖所示，求a的值.

變式：已知關于x的不等式x-a>0的解集為x>-3，求a的值.

充分考慮學生的認知水平，從學生的認知起點出發，“根據圖形，確定不等式的解集”，從圖形語言轉化到符號語言，開篇就滲透數形結合的思想.自然過渡到“根據圖形，確定不等式中待定字母的值”，設計起點低，逐層遞進，讓所有學生都可以獲得成功感.

（二）五種類型典型例題

類型1：已知解集確定待定字母的值.

已知關于x的不等式組2x-4>0，x-a<1的解集是2

類型2：已知解集確定待定字母的取值范圍.

已知關于x的不等式（a+3）x>a+3的解集為x<1，求a的取值范圍.

變式：已知關于x的方程x-a=1的解是正數，求a的取值范圍.

類型3：根據是否有解確定待定字母的取值范圍.

已知關于x的不等式組2x-4>0，x-a<1有解，求a的取值范圍.

變式：已知關于x的不等式組2x-4>0，x-a<1無解，求a的取值范圍.

類型4：已知整數解的情況確定待定字母的取值范圍.

已知關于x的不等式組2x-4>0，x-a<1有且只有兩個整數解，求a的取值范圍.

類型5：根據含未知數的式子的范圍確定待定字母的取值范圍.

已知關于x，y的方程組3x+y=2k+1，x+3y=3，若2

根據已知解集確定待定字母的取值、根據已知解集確定待定字母的取值范圍、根據有解無解確定待定字母的取值、根據整數解確定待定字母的取值范圍、對含未知數的式子確定待定字母的取值范圍，全面歸納問題類型，層層深入，讓不同的學生有不同的收獲.

注重對知識點的串聯重組：任何數學內容都不是孤立存在的，“從哪來到哪去”.例題設計與方程、方程組相結合有利于學生形成知識體系，對數學知識有整體、宏觀的把握.

【方案2】不等式（組）中字母取值范圍的確定，在中考中頻頻登場.這類試題技巧性強，靈活多變，難度較大，常常影響和阻礙學生正常思維的進行.方案2從方法的角度呈現了以下四種解法：

（一）把握整體，輕松求解

已知方程組2x+y=1+3m，x+2y=1-m滿足-1≤x-y<2，求m的取值范圍.

（二）利用已知，直接求解

已知關于x的不等式（1-m）x>2的解集是x<21-m，求m的取值范圍.

（三）對照解集，比較求解

若關于x的不等式組2x-a<1，x-2b>3的解集為-1

（四）巧借數軸，分析求解

若關于x的不等式組x-a≥0，3-2x>-1的整數解共有5個，求a的取值范圍.

二、教學思考

（一）聚焦典型，總結方法

方案1設計起點低，逐層遞進，科學設計問題，題型歸納全面;方案2從方法上設計，分為四個部分，例題整合富有挑戰性，能激活學生的思維.但是，筆者認為兩位執教者對學生解題方法的總結都不是很到位.從教學實踐看，對于學生而言，提煉出簡潔易記的方法，對提升教學的有效性非常重要.

G·波利亞在《怎樣解題》中提出解題的四個步驟：理解題目、擬訂方案、執行方案、回顧.四個步驟中，“擬定方案”是關鍵，如何幫助學生尋找最佳解題策略應該是我們的焦點問題.那么，在本節課的教學中，教師可通過兩三道例題喚起學生兩點意識：①對未知數、字母參數的認識;②對臨界值的關注.教師要引導學生從這兩個角度尋找解法的共性和通性，從而歸納出解題思路：第一步，把待定字母當作常數，去解不等式（組）或方程（組），即用含字母的代數式表示解，根據題目條件找出該代數式的大致范圍;第二步，再次根據題目條件，運用假設驗證法確定臨界值能否取到，若假設臨界值能取到，會不會和原題矛盾.不妨提煉這種解題步驟為“求參分兩步”.此類題型條件稍做變動，結論就會變，但是只要把握住“求參分兩步”，就能真正做到以不變應萬變.

復習課首先要讓學生對基本知識、技能進一步掌握，然后從對典型例題、經典習題的解決中獲得解決這類問題內含的思想與方法，促進學生進一步加深對數學知識的理解，總結出解題策略，有助于增強學生解決數學問題的自信心.即從“低起點”入手，“高觀點”下多角度把握，讓知識在復習課中進一步生長，在知識的生長中鑄就能力的進一步發展.

（二）合理變式，巧化難點

布魯納指出，教師應當搭建“腳手架”幫助學生從現有的認知水平向潛在水平過渡.數學教學中的“變式”教學就是為學生在認知方面搭建適當的“腳手架”.教師要通過對一道題的多角度、多層次的深入研究，挖掘其中不變的數學本質，從而達到以不變應萬變的教學效果.

對臨界值的取舍是本節內容，甚至是本章不等式問題中的易錯點，也是容易忽視的點.教師在教學中要不停地強化學生對臨界值單獨討論的意識.例題中“有解無解問題、整數解問題”，可以通過及時變式——增加或者去掉其中某一個或者兩個不等式的等號，通過這些變式以及答案的對比，可以及時鞏固“臨界值驗證法”，有效地化解本節課的重難點，提高此類問題的正確率.及時的變式題組設計能激發學生的學習動機，培養學生思考、總結歸納的習慣，感悟數學本質，逐步形成多角度思考和理解數學的意識.

（三）因勢利導，發展思維

在數學教學中，教師所起的作用應是“以其所知，喻其不知，使其知之”，使學生的學習建構在原有知識結構的基礎之上，讓學生以發展的眼光去尋找新知識的生長點，不斷豐富和完善原有知識結構的成體系的知識，讓知識和思維向深度發展.這節專題復習課“待定字母”自始至終是我們的研究對象，即參數.由于初中數學是高中數學的基礎，含參問題不僅在中考中頻頻出現，也是高中階段的重要題型，那么初中教師有必要在日常教學中逐步去滲透參數的思想.實際上，在七年級下冊“二元一次方程”練習中，已經涉及對學生來說不易解決的參數問題.原題呈現：“已知關于x，y的二元一次方程（2m+1）x+（2-3m）y+1-5m=0，隨著m取值的不同，這些方程都有一組公共解，請求出這組公共解.”

解題教學的目的不僅是為了應試，而是激活思維、形成能力.教師的作用在于引導學生利用已有的知識與經驗對新問題進行同化或順應，因此筆者結合班級學情，在實際教學中為學生搭建了“腳手架”，進行了參數引入與滲透的嘗試，以下是筆者對參數的幾點教學處理.

1.參數的初步認識

回顧本節課解題思路，引導學生體會待定字母的作用：對題目來說，待定字母本身并沒有什么實際價值，但是它的出現簡化了問題，提供了明晰的解題方法.這些待定字母，就是參數.參數兼有常數和變數的雙重特征，它將一直活躍在我們數學學習之路上.

2.參數的出現與認識

初中階段參數的出現大部分不難，但是學生會認為參數抽象，影響對題目的把握.那么，教師可低起點舉例，例如，在復雜計算題中.“整體換元”引入的字母即參數，讓學生感受參數的存在，并帶領學生“認清”參數，明確哪個量為常數.

3.參數的處理

對參數的處理，通常有消參、分離參數、主元法等.在含參問題教學過程中，需要培養學生變量的轉換意識.例如，在解決：“已知關于x，y的二元一次方程（2m+1）x+（2-3m）y+1-5m=0，隨著m取值的不同，這些方程都有一組公共解，請求出這組公共解.”對于本題而言，解決該問題的關鍵在于“變換主元”.在長期的數學學習過程中，我們習慣于用x，y 來表示變量，用 a，b，m，k等表示常數或參數，容易產生思維定式.其實，本題中求公共解，即求一組 x，y的值，隨著m取值的變化，這組x，y的值不變，因此，我們可以“變換主元”，把m視為變量，x，y視為常數，或為參數.

含參問題的解決使得學生把自己的思維和數學運算有機地結合在一起，增強邏輯思維能力、知識運用技能、數學問題解決能力、數學意識等方面的素養.高中學習中，含參問題更是緊緊伴隨著學生的學習，因此筆者認為不妨從此處開始，逐步滲透參數思想，從而激活學生的思維能力，發展學生的數學素養.

數學教學始終關注：一、數學知識與技能的教學，重在解決“是什么、怎樣做”的問題; 二、數學思想與方法的教學，重在解決“運用什么樣的思想與方法去做”的問題;三、數學思維過程的教學，重在解決“怎么想到這樣做，為什么要這樣做”的問題;四、數學精神與文化的教學，重在促進學生心智、個性、觀念、精神等的和諧發展.專題復習課真正做到“低起點”“高視角”，激活學生思維，教師僅僅停留在關注一、二層次的教學層面是遠遠不夠的，必須要以發展的觀點看待教學，始終以發展和激活學生思維為目標貫徹教學，讓學生對這個多維、多彩的知識世界充滿無限的渴望，這正是我們復習課的最終歸宿.

【參考文獻】[1]章建躍.中學數學核心概念、思想方法結構體系及教學設計研究與實踐[J].中學數學教學參考，2008（9）.