從思維生長角度看屬性下的概念教學

徐仙

【摘要】在數學教學中，概念教學的重要性毋庸置疑.屬性下概念教學的關鍵是通過問題情境，讓學生運用歸納思維，抽象出概念的數學屬性.在這一過程中，學生能感受到概念的生長過程，感受到建立此概念的必要性和必然性.

【關鍵詞】初中數學;概念教學;思維生長

數學概念指運用定義的形式揭示數學的某一本質特征，是數學學習的核心.數學概念教學承載著學生數學學習經驗的積累、數學思想方法的滲透的任務.李邦河院士說：“數學是玩概念的.”很多學生在解題過程中遇到困惑的本質原因是對概念理解不到位.因此，數學概念教學十分重要.數學概念的種類很多，如何進行屬性下的概念教學呢？筆者以“二次函數”概念教學為例，以思維生長角度為基本思路，進行了如下教學設計.

一、屬性下的概念理解

將同一類對象的本質屬性抽象出來，就形成了概念.屬性是固有的、不變的、不以人的意志為轉移的.研究事物的過程就是揭示相關事物屬性的過程，因此屬性下概念教學的核心就是通過問題情境，讓學生發現問題，思考問題，抽象出概念的數學屬性.在這一過程中，學生感受建立此概念的必要性、必然性.教師通過這一過程培養學生的數學核心素養和關鍵能力.

二、教學設計與說明

環節1：類比歸納 新知初探

師：老師給出以下問題，請你用函數表達式表示問題中兩變量之間的關系.

①一輛汽車從丹陽開往江都，速度是80 km/h，求行駛的路程s（km）與時間t（h）之間的關系.

②丹陽到江都全程約90 km，求汽車行駛全程所用的時間t（h）與速度v（km/h）之間的關系.

③長方形的周長為16 m，長為 x m，寬為y m，求長方形的長與寬之間的關系.

④一粒石子投入水中，激起的波紋不斷向外擴展，求擴大后波紋（圓）的面積s與半徑r之間的關系.

⑤用總長為16 m的籬笆圍成長方形的生物圈，飼養小兔，求生物圈的面積y（m2）與長 x（m）之間的關系.

⑥計劃修建一條長500 km的高速公路，求完成該項目的天數a （天）與每天完成的量b（km）之間的關系.

⑦一面長寬之比為2∶1的矩形鏡子，四周鑲有邊框，已知鏡面的價格是每平方米120元，邊框價格是每米30元，額外加工費是45元，求總費用w（元）與鏡面寬x（米）之間的關系.

（學生自行解決，教師在黑板上板書答案：

①s=80t ②t=90[]v ③y=8-x ④s=πr2

⑤y=-x2+8x ⑥a=500[]b ⑦w=240x2+180x+45）

問題1 你能將上述關系式分類嗎？說一說你的分類結果.

（①③為一次函數;②⑥為反比例函數;④⑤⑦沒學過）

問題2 對于已經學過的一次函數、反比例函數，你還記得老師是怎樣研究它們的嗎？都研究了哪些方面？（學生先說，教師后呈現下表）

師生共同小結回顧：我們根據一次函數、反比例函數等號右邊代數式的特征，分別得出了它們的定義;通過列表、描點、連線畫出了它們的函數圖像;再通過研究圖像得出了這兩種函數的性質;最后用它們解決實際生活中的問題.

說明1：問題是一切科學探究的起點，一個不會發現問題的人是無法真正參與探究活動的.愛因斯坦說過：“發現和提出一個問題比解決一個問題更重要.”因此滲透分類思想、將眾多問題進行分類梳理、梳理舊知、發現新知的過程符合學生的認知規律，符合學生學習知識的生長規律，是培養學生關鍵能力與必備品格的過程.從知識層面復習一次函數、反比例函數的學習過程，可以為二次函數的學習打下基礎.

問題3 除了我們熟悉的函數外，剩下的④⑤⑦這些函數表達式有什么共同特征呢？它們與一次函數、反比例函數表達式有什么區別呢？

（學生觀察，討論，交流：

1.等號右邊的代數式都是整式，與反比例函數不同，與一次函數相同;

2.等號右邊的代數式都含二次項，與一次函數不同.）

問題4 你能再舉出一些這類函數的例子嗎？

問題5 這樣的例子太多了，你能設計出一個一般形式來表示這類函數嗎？（學生嘗試設計，交流）

問題6 類比一次函數、反比例函數的定義，請你試著給這類函數下定義.（學生嘗試，交流）

教師總結：這樣的函數，我們稱為“二次函數”.（板書）一般的，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，且a≠0）

的函數叫二次函數，其中x是自變量，y是x的函數.

說明2：類比是由于兩類對象在某些方面相似，得出它們在其他方面也可能相似的結論.類比是一種創造性的數學思想方法.類比在掌握數學概念、理解數學本質、探索解題方法等方面都有著不可忽視作用.類比是學生正確理解概念的方法之一，通過類比一次函數、反比例函數，學生可以用已有的經驗與方法研究未知問題.

環節2：全面剖析 深入新知

通過前面的探索，認真分析二次函數的定義，這一定義告訴了我們哪些本質的東西？你是怎樣理解二次函數概念的？

1.“形如”即用形來定義函數的名稱.

2.二次函數的一般形式是y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，且a≠0）.

3.a≠0，b、c可以為0，y=ax2+c.

特殊情況：當b=0時（a≠0），y=ax2+bx;

當c=0時，y=ax2（a≠0）;

當b=0、c=0時，（a≠0）.

4.定義有雙重性：

若y是關于x的二次函數，則y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，且a≠0）;如果y、x滿足y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，且a≠0），則y是關于x的二次函數.

4.對照一般形式介紹二次項、二次項系數、一次項、一次項系數、常數項;以黑板上的式子⑦w=240x2+180x+45為例，介紹相關項與系數.

5.觀察⑦w=240x2+180x+45，思考：

①x取任何值，y是否都有唯一的值與之相對應？

②二次函數自變量x的取值范圍是什么？（任意實數）

③若放在具體的總費用w（元）或鏡面寬x（米）等實際問題中，自變量x還能取任意實數嗎？（在實際問題中，自變量的取值要考慮實際意義）

說明3：對于屬性下的概念教學，教師要理清概念的屬性，才能根據屬性構建學習活動，讓學生抽象出概念的屬性.構建學習活動的目的是讓學生建立概念、理解概念、應用概念，經歷“給例子—找屬性—舉例子—下定義—再辨析”的過程.這一過程體現了建立概念的必要性、必然性，同時把新概念的本質屬性推廣到同類事物，使學生掌握概念的本質，延伸思考，從感性思維層面上升到理性思維層面.

環節3.內化新知 初步運用

判斷下列函數哪些是關于x的二次函數，如果不是請說明理由.

教師總結關鍵點：表示函數的自變量代數式是二次整式.

說明4：辨析概念的關鍵詞，以正例、反例為載體，用變式促進學生對概念的理解，不必辨析每個概念的內涵與外延，只有核心概念、可定義的概念需要辨析.通過辨析，學生會掌握判斷二次函數的方法，進一步理解二次函數的概念.

環節4：應用新知 提高能力

例1 當k為何值時，函數y=（k-1）xk2+k+1為關于x的二次函數？

例2 如圖1，矩形紙片長為30 cm，寬為20 cm，剪去一個邊長為x cm的正方形，請回答：圖1

（1）寫出剩余部分的面積s（cm2）與x（cm）之間的函數關系式;

（2）當x=5時，求s的值;

（3）求自變量x的取值范圍.

說明5：通過上述兩道例題，學生深入理解了二次函數的概念，同時學習用所學知識解決實際問題.這兩道例題體現了數學從生活中來，但最終服務于生活.

環節5：回顧總結 鞏固提高

1.我們共同初步學習了一種新的函數模型——二次函數.

2.我們一起類比一次函數、反比例函數，定義了二次函數.

3.經歷了數學建模的過程，學生加深了對二次函數的認識.

4.學生提升了對數學思想方法的理性認識，回歸現實，用二次函數思想認識生活.

說明6：教師的小結不僅體現了知識點的回歸，還滲透了數學思想方法.這是學習方法的總結，是對學生思考、推理建模過程的總結.

三、感悟與反思

概念教學的關鍵在于揭示概念形成的必要性、必然性、合理性，讓學生經歷概念的自然生長過程.教師通過問題情境、思路歸納，讓學生發現概念的屬性，提煉出本質屬性，概括形成概念，并用定義表示.屬性下的概念教學應該與概念形成的方式接近，概念教學不是“死教”概念，而是讓學生心里自然“生長”出概念.

【參考文獻】

[1]卜以樓.生長數學：卜以樓初中數學教學主張[M].西安：陜西師范大學出版社，2018.