反證法在初中數學解題中的應用

雍玉華

【摘 要】在教育不斷發展的背景下，以往的教學方式已難以滿足現階段中學教學的需求。中學教師需要不斷提高自身的專業技能，在解題教學中引入反證法，開拓學生的思維，使學生養成良好的解題習慣，形成正確的解題思路，本文主要圍繞反證法在初中數學解題中的應用展開討論。

【關鍵詞】反證法;初中數學;解題應用

數學是初中學科的重要組成部分，對學生思維能力的培養起著關鍵作用。在此背景下，中學教師需要轉變傳統的教學理念，在解題教學中引入反證法，以此創新學生的思維模式，使學生形成良好的解題思路。

1? ?反證法的定義及理論依據

1.1? 反證法的定義

反證法即在將原命題否定后，找出題目中問題的立足點，再反過來證實原命題。具體求證一個命題時，可以先假設兩個相對的命題，如果已經有條件證明兩個命題是有矛盾的，或者得出的結果矛盾，那么就可以證實假設不成立，也就是說原命題成立[1]。這種證明命題的方式就叫做反證法。

1.2? 反證法的理論依據

反證法的理論依據主要由排中律和矛盾律這兩大內容組成，兩者在定義上有所差異。矛盾律主要指的是：證明命題時，如果有兩個完全對立的結論，那么其中有一個結論是不成立的。排中律指的是：針對一個命題，其要么是真命題，要么是假命題，不會有第三種可能出現。排中律要求解題者在思維上必須是清晰和明確的，解題者要能最大限度地將排中律和矛盾律貫徹到數學應用中。此外，排中律還有一個獨特的特征，解題者在命題的證明過程中，不僅要有獨立的思維，還要確定自己的立場，以此更好地證實命題。

矛盾律和排中律既有聯系又存在一定差異。聯系：解題者在證明命題時，一定不能出現邏輯上的矛盾，如果與排中律背道而馳的話，那么矛盾律也無法應用在解題中。差異：矛盾律表示，若兩個結論處于對立狀態，那么其中一個不成立;排中律表示，若兩個結論處于對立狀態，那么其中有一個結論是成立的。

2? ?反證法的解題步驟

將反證法引入命題解題，主要由反設、歸謬以及結論三部分組成，它們在解題過程中是一個整體，且互相聯系、缺一不可。首先，反設。采用反證法進行解題時，反設是最基礎的內容，也是最關鍵的一個環節。反設的正確性直接影響解題過程和結果。在此過程中，解題者一定要充分了解題目給出的已知條件，借用所有條件對問題進行假設，最后再設出與求證內容相反的假設，以此進行下一步的求證。其次，歸謬。歸謬是運用反證法解題最關鍵的內容及重點所在。歸謬主要指引入反設中的問題，使反設內容有一個明確的推理方向。最后，結論。結論主要是將反證法引入，通過這種方式得到最終結果。將反謬推理出的結果與反設假設的內容對比，若其產生矛盾，那么假設內容就會被推翻，這樣來證明原來命題的結論，此時在得出結論后，整個命題已完成求證[2]。

在命題證實的過程中，矛盾是推動整個試題發展的重要因素之一。通常情況下，矛盾可以分為自相矛盾、公理矛盾等。在解答試題的過程中，利用反證法能夠跳過多種障礙，將正確答案證實出來，這是反證法的優勢所在。

3? ?利用反證法解題時需要注意的問題

3.1? 正確否定結論

正確否定結論主要以反證法為根本出發點。如“一個三角形的3個內角中，最多有1個鈍角。”“最多有1個”表示“可能1個都沒有”或者“只有1個”。在此背景下，反設可以設成“2個內角為鈍角”“3個內角都為鈍角”。

基于以上提出的例子，解題者在證題時需要抓住題型結構，巧妙地將反證法引入，通過否定假設內容來證實原有命題成立，有了對立命題也就能更好地得出結論，高效解題。反證法可以鍛煉學生的思維能力，豐富其數學知識，提高教師的教學質量。

3.2? 明確推理特點

否定結論和推出結論是反證法的重要組成部分。由于無法預測到會發生何種矛盾、何時會出現這一矛盾，矛盾的發生具有不確定因素。一般情況下，解題者可以對矛盾進行猜想，將矛盾與命題聯系進行思考（如在解答幾何問題時，解題者會聯想到相關定理或結論），這也是反證法的重要組成部分之一。通常很難將矛盾定義或猜測，這是解題時可有可無的部分。解題者只需要全面掌握假設內容，將解題步驟更好地推理出來，自然而然地就能找出其中的矛盾所在，使結論得到更有力的證實。

3.3? 了解矛盾種類

在使用反證法論證命題時，不一定只能解出假設內容的結論。矛盾存在的結果具有多樣性特點，其可能與題設產生對立關系，抑或是與命題產生沖突。因此，推理出兩種對立的結果也是有可能的。

4? ?反證法在初中數學解題中的應用

4.1? 反證法在否定性命題中的應用

當求證試題中出現“沒有……”“不是……”“不能……”等類似詞語時，用直接證法很難快速、正確地將試題解答出來，引入反證法則能夠高效地將命題證實出來[3]。

4.2? 反證法在限定式命題中的應用

當求證試題中出現“至多……”“至少……”“不多……”等類似詞語時，僅僅憑借直接證法很難將試題解答出來，在此背景下，引入反證法解題，不但可以高效地解出試題，而且還能增強學生的邏輯性思維，提高其辯證能力。

4.3? 反證法在無窮性命題中的應用

將反證法運用在無窮性命題的解題中，能快速高效地解出正確答案。

例4：求證是無理數。

分析：基于題目給出的已知條件過少，此時，利用直接證法很難將試題解答出來。又因為無理數屬于無限不循環的數值，無限和不循環在數學應用中很難用數字直觀表示出來。對于這一命題，不妨假設為有理數，這樣就增加了一項解題條件，那就是用分數將表示出來。

證明：假設是有理數，那么就有 a、b 屬于自然數，a 和 b 互質，b≠0 ，使=a2=2b2 ，a 為偶數，表示為 a=2c ，所以 a2=4c2 ，2c2=b2 ，那么可以判斷 b 為偶數。那么與 a、b 互質矛盾，所以為無理數。

5? ?反證法在初中數學中的作用

5.1? 反證法在初中數學中的魅力

逆向思維在反證法中起著關鍵作用，這一思維模式下解題者可以先從命題中引入，找出其中矛盾所在，隨后再確定它的真實性。反證法的思維較為特殊，要求靈活思考，初學者極易對逆向思維不習慣，進而無法掌握其中要點，很少運用這一解題方法[4]。事實上，反證法在解題中占有重要位置，解題者可在此過程中發掘出更多的解題途徑。在面對不易直接求證的數學試題時，解題者就需要考慮引入反證法。這一方法不僅可在解題中使用，還可以應用在現實生活中，生活中有時也需要將問題倒過來看，以更好地解決問題。初中數學解題中，有很多問題可以利用反證法來證實，這一解題方法既方便又靈活，解出的答案準確性較高。

5.2? 結合實際生活，靈活運用數學思維

思維能力的培養對學生數學學習起著關鍵作用，學生可以對自己做過的題進行思考，找到解題思路，增強數學學習的熱情。反證法在數學解題中有著重要作用，能夠鍛煉學生的思維能力，使他們從實際問題出發，更好地解決問題。在此過程中，教師需要轉變以往的教學模式，引導學生進行探究，充分調動其學習積極性。教師需要在教學中滲入數學思維，幫助學生喜歡上數學這門學科。

【參考文獻】

[1]陳正強.初中數學解題中反證法的應用策略探析[J].考試周刊，2020（82）.

[2]黃麗紅.反證法在初中數學解題中的應用[J].數學大世界（上旬），2020（5）.

[3]馬多貴.反證法在初中數學解題中的應用探討[J].學周刊，2020（12）.

[4]張本陸.反證法在初中數學解題中的應用[J].文理導航（中旬），2018（11）.