創新 發展 提升

【摘要】指數函數是高中數學重要組成部分，內涵過于抽象，學生理解時有偏差，參與度不高。基于此，本文簡要概述高中數學指數函數教學，并圍繞教學分析及教學方案進行創新探究，設置教學案例發展學生數學思維，提升學生的數學核心素養。

【關鍵詞】高中數學? 指數函數分析? 思維培養? 信息技術

【中圖分類號】G633.6 ? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）35-0161-04

2021的高考剛剛結束不久，高考命題堅持立德樹人，優化情境設計，增強試題開放性、靈活性，充分發揮了高考命題的育人功能和積極導向作用。高考引導我們數學教師在日常教學中重視知識生成，激發學生潛能，轉變課堂教學方式。

一、問題的緣起

（一）高中指數函數內涵過于抽象，教師在設計教學方案時有時會設計過難，學生理解會有偏差、參與度不高。學生對指數函數的分析有時候只停留在表面，沒有挖掘其本質意義。指數函數具有多樣化的特征，但是在日常教學中教師沒有引導學生深入思考進行挖掘多種解題思路。

（二）教師沒有及時轉變教學觀念，還是采用“填鴨式”的教學方法，這樣就不能有效提升學生的數學核心素養。

二、問題的思考

首先，素質教育理念下數學教育的變化。隨著素質教育在我國高中教學領域的實施，不難發現現階段的教材、教學任務、目標以及方式都有了新的改善，全面分析指數函數課程教學現狀，適當對課程教學進行優化，選擇符合學生接受的知識，促進學生學習能力的提升，遵循高中數學教學的基本需求。從教學方式方面來看，需要結合現代化技術，不斷探索新的教學方向和手段，嚴格把握學生思想的階段性特征，面向全體學生進行綜合性培養，鼓勵其獨立思考、勇于質疑，利用數學知識的銜接性特征培養思辨精神和創新精神，在此基礎上激發對高中數學指數函數的學習興趣。其次，指數函數學情分析。指數函數教學是高中數學人教A版必修一的內容，這一時期的學生思維正處于由具象到抽象過渡的重要階段，對新知識具有一定的憧憬，且獨立意識較強，需要得到一定的尊重來滿足內心需求，具有主動學習的意識，好奇心會更加強烈。在素質教育理念下，要求教師將指數函數的相關知識點拆分成具體的階段性步驟，從而引導學生進行自主探索并逐漸形成完善的思維，同時及時轉變教學觀念，改變以往填鴨式的教學模式，真正做到以人為本、尊重差異。

三、問題的實踐

（一）創新指數函數的教學方法激發學習興趣

創設教學情境是最基礎的數學教學模式，是時代性原則的具體表現，在實際的教學過程中教師可以自主開發教學資源，選擇與生活息息相關的信息衍生為新的指數函數，為了加上記憶提高效果，可以選擇能夠動手實踐的內容。

在高中數學指數函數教學的過程中，為引導學生正確掌握重點知識，教師應合理地對教學方法進行改進，如巧妙運用情境教學法，調動課堂積極性、活躍氛圍，激發學生學習熱情;合理應用信息技術，以形助數，增強學生的直觀理解，順利突破知識難點;通過典型問題的分析與歸納，培養學生發現、分析、解決問題的能力，促進數學水平的提升。

案例1：指數函數的情境引入

故事情境：國際象棋起源于古印度，傳說印度國王渴望一種新鮮刺激的游戲。某天，宰相西薩帶著他發明的棋盤獻給國王，國王打算重賞他。西薩說：“陛下，請您在棋盤上的第1個小格里，賞給我2粒麥子;在第2個小格里給4粒;第3個小格里給8粒……以此類推，以后每一個小格的麥粒數都是前一小格的兩倍，直到放滿棋盤上所有的64個格子。”國王爽快地答應了。結果發現，即使全印度甚至全世界的麥粒都拿來，也兌現不了對西薩的諾言。

問題1：西薩用了一個神秘的函數，使麥粒產生了爆炸性的增長。如何計算棋盤上第64個小格里所放的麥粒數呢？

問題2：假設棋盤上第x個小格里所放的麥粒數為y，如何來刻畫y與x之間的函數關系呢？

通過教師的指導，學生不難得出y=2x，x∈N?的函數關系式。

設計意圖：通過經典故事的情境引入，讓學生感受到指數函數的爆炸性增長，激發探究欲望。從實際問題中抽象出函數模型，提升數學抽象與建模能力，為構建指數函數的概念做好“鋪墊”。

問題3：《莊子》中寫道“一尺之錘，日取其半，萬世不竭。”假設截取次數為x后，木槌剩余量為y，請寫出它們之間的函數表達式。

學生答案：y=（）x，x∈N?

【設計意圖】讓同學們體驗不同的指數函數模型，教學過程中滲透數學文化史。

問題4：你能通過以上舉例抽象出一般性的數學模型嗎？

通過案例引入后，由特殊到一般進行歸納，初步建立函數模型y=ax（a>0且a≠1，x∈R）培養學生數學抽象能力。接下來引導學生分析y=ax的底數a的范圍。可以結合上節課研究指數與指數冪的運算，把函數的定義域擴充為實數集R，那么對底數a的取值有什么要求呢？為什么？可以分小組討論。讓學生對定義式中的關系有著一定掌握，并通過兩種情況進行表述，如：第一，如果a=0或a<0，以及x<0，ax就沒有意義，第二，a=1時，y=ax=1的情況不在研究的范圍。教師引導，得出指數函數的概念：一般地，函數y=ax（a>0且a≠1）叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域是R，為了提升課程教學效果，教師可以引入例題：

指出下列哪些是指數函數？

（1）y=1.073x （2）y=（π）x （3）y=（-2）x

（4）y=x2 （5）y=2x+1 （6）y=3x·2x

【設計意圖】通過合作探究加深對指數函數概念的理解，總結研究問題的方法，提升解決數學問題的能力，為后續的學習做好鋪墊埋下伏筆。

（二）借助信息技術發展指數函數教學實踐

案例2：指數函數的圖像與性質

指數函數的教學離不開圖形、坐標軸的運用，在進行定義轉述或圖形性質分析時，可以利用多媒體和信息技術進行啟發式教育。下面重點畫指數函數的圖像，并借助圖像探究指數函數的性質。

我們通常采用描點法畫函數圖像，但在描點的過程中無法精確判斷變化過程，教師引入GeoGebra應用軟件。 老師演示后可以請幾位同學上臺操作，變化底數a作出不同的指數函數的圖像，動態演示中進行局部放大或縮小，觀察圖像的整體變化情況以及細節，讓同學們從大量的信息中歸納指數函數的性質。共同作出y=2x，y=（）x，y=3x，y=（）x的圖像。

根據圖像，很容易發現指數函數的以下性質：

（1）定義域是x∈R， 值域是y∈（0，+∞）。

（2）圖像在x軸上方，都經過定點（0，1）。

（3）當0<a<1時函數在R上是減函數;當a>1時，函數在R上是增函數。

（4）指數函數不具有奇偶性。

（5）y=ax與y=（）x的圖像關于y軸對稱。

【設計意圖】利用教材配套的教學課件“指數函數的圖像”借助GeoGebra進行繪制，不僅節省了時間，圖像也精確美觀。通過軟件上圖像的動態展示，為同學們創設了探究的條件，激發了學習的欲望，實現了教學的時效性與延展性。在同一個坐標系中可以更加直觀的進行觀察對比，以最大限度的發揮了信息技術的功能。在傳統的教學中，不可能把y=2x，y=（）x，y=10x，y=（0.1）x四個指數函數的圖像直觀地體現，借助信息技術的力量解放老師，發展教學，助力學生活動，使教學活動變得豐富多彩。

然后，再進一步鞏固指數函數的圖像性質。選擇以下例題：

利用指數函數的性質比較下列各組值的大小關系：

①1.82.5與1.83 ②0.8-0.2與0.8-0.3 ③1.90.1與0.72.3

【設計意圖】通過構造指數函數的方法，借助指數函數的單調性及圖像比較大小，加深對指數函數性質的理解，滲透數形結合的思想方法。

（三）加強指數函數的圖像教學深化知識理解

案例3：指數函數的圖像應用

問題1：做出下列函數的圖像，并說明它們由哪些指數函數變化而來。

（1）y=（）x+1 （2）y=2x-2

（3）y=2|x-1|? ? （4）y=|1-3x|

解（1）：y=（）x+1的圖像過（0，）及（-1，1），由函數y=（）x的圖像向下平移1個單位可以得到。

解（2）：y=2x-2的圖像由y=2x的圖像向下平移2個單位。

解（3）：以翻轉變化的方法進行解答，然后把y=2|x| 的圖像向右平移1個單位，可以得到y=2|x-1|的函數圖像。

解（4）：首先將函數y=-3x圖像向上平移一個單位，然后保留其在x軸及x軸上方部分不變，把x軸下方圖像對稱翻折到x軸上得到，特別注意漸近線。

【設計意圖】在概念形成之后，把握時機進行深化，設置一定的難度，在變通探究中提升數形結合的意識，加強對指數函數圖像的理解。當學生遇到疑問時，可再次發揮信息技術的輔助功能，以形助數發展數學抽象核心素養。

問題2：2x=x2解的個數是（? ?）

A.1? ? ? B.2? ? C.3? ? D.4

問題3：方程lg（x+4）=10x的根的情況是（? ? ）

A.僅有一根? ? B.有一正根和一負根

C.有兩個負根? ? D.沒有實數根

問題2? 問題3學生的錯誤圖像? 問題3的正確圖像

【設計意圖】通過問題1的解決，可以有效檢驗學生圖像學習的效果，也是對之前所學知識個回顧。問題2中，學生很容易聯想到通過圖像求交點的方法，而且有百分之六十的學生會錯選B。通過了解學情發現出錯的原因，是因為沒有精確把握兩個圖像的變化趨勢，尤其是沒有抓住指數函數爆炸式增長的顯著特征。要注意對比分析圖像的完整性，養成嚴謹的思維習慣。補充問題3，對學生準確畫出指數函數的圖像有了更高的要求，同一直角坐標系中，還要加強指對數圖像之間的聯系，精準作圖才能有效解題。以這三個問題作為載體，加深了對指數函數的認識，細節之處培養了嚴謹的思維品質，美好教育潛移默化。

（四）把握指數函數的變式教學提升數學能力

案例4：指數函數的綜合教學

高考中涉及到指數函數的問題難度比較大，教學中老師要發揮作用幫助學生加強知識間的聯系，引導學生歸納解題方法提升數學能力

問題1：? ?例題：方法規律總結——指數找基友

f（x）

e'=0?[f'（x）+f（x）]e=0?f'（x）+f（x）=0

f（x）

e'=0?[f'（x）+f（x）]e=0?f'（x）-f（x）=0

從這兩個式子，我們大致可以得到如下經驗：

指數找基友：如果我們要證明e小于（或大于）一個非超越式f（x），可以考慮作商法，這是因為作商構造出的新函數f（x）e極值點一般可求，即方程f'（x）-f（x）=0可解。可避免多次求導，此所謂“指數找基友”——給e找基友f（x）。

下面用一道例題進行說明：

（2018全國二理數21（1））已知函數f（x）=e-ax，若a=1，證明：當x≥0時，f（x）≥1。

證明過程：當a=1時，f（x）=e-ax，不等式f（x）≥1等價于x+1≤e。

構造函數g（x）=，求導可得g'（x）==≤0

其中等號只在x=1時取得，g（x）在[0，+∞）上單調遞減，所以當x≥0時，g（x）≤g（0）=1，又因為e>0，所以x+1≤e，故原命題得證。

問題2：鞏固練習：求證：當x≥0時，有e≥1+x++成立。

解析：構造函數，令f（x）=e·（1+x++）

則f'（x）=e（1+x+）-e·（1+x++）=-e，

當x<0時f'（x）>0，故f（x）在（-∞，0）上單調遞增;當>0時f'（x）<0，故f（x）在（0，+∞）上單調遞增。

所以，f（x）在x=0處取得極大值f（0）=1，從而得證。這里也可以為同學們補充優美的泰勒展開式：e=1+++…+…，此題具有高等數學背景。

【設計意圖】教師最失敗的口頭禪是：“這種解題方法講了很多遍，為什么還不會呢？”哪怕是原模原樣的題目再現，仍然不會做，原因到底在哪里？教學生知識融匯貫通，解題舉一反三，那么“一”的選擇尤其重要，可以一題多解，也可以多題一解。關鍵是學會從問題的解決中歸納解題方法，形成解題規律，知識就是方法，方法就是策略。

問題3：求證以下不等式：e-1≥x≥ln（x+1）

此不等式的應用尤為廣泛，來但從近幾年的教學經驗中發現學生特別容易遺忘，掌握效果差，究其原因還是圖像應用意識薄弱。通過多次實踐，嘗試改變題目設計，效果更佳。

已知一次函數f（x）滿足：對任意的x∈（-1，+∞），都有e-1≥f（x）≥ln（x+1）成立，求f（x）的解析式。

解析：假設f（x）=ax+b，由題意知x∈（-1，+∞）時，y=e-1與y=ln（x+1）都是單調遞增函數，由圖像可得到f（x）=x。在此結論熟練的情況下稍作變式，對于下面的高考題就可以迎刃而解。

問題3的圖像? ? ? ? ?問題3的常用不等式的變式

問題4：（2018浙江卷10）已知a1，a2，a3，a4成等比數列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1>1，則（? ?）

A.a1<a3，a2<a4 B.a1>a3， a2<a4

C.a1<a3，a2>a4 D.a1>a3，a2>a4

分析：應用上面的變式結論，∵lnx≤x-1，∴a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）≤a1+a2+a3-1，得a1≤-1，即a1q3≤-1，∴q<0，接下來再分兩種情況：對q≤-1和-1<q<0進行討論，很容易得出正確答案。

【設計意圖】指數函數的解題方式相通，教師需在教學中注意培養學生的聯想思維和舉一反三能力，使對學生的教育從具體解題方式的教育整合到思維教育。從教學方法上，重視知識的歸納與積累，注重學生對問題的轉化與遷移能力。從效果上，通過“多題一解、一題多解、一題多變”的變式教學，培養學生舉一反三的解題能力，提升數學核心素養。

四、問題的反思

在高中指數函數教學階段，由于難度較高，學生在學習時經常受一定因素限制而無法準確掌握重點知識，限制學生學習能力的提升，無法最大化將課程教學的效果展現。對此，在教學完成后，教師應加強對教學反思的重視，并通過系統規劃，引導學生深刻掌握指數函數的重點內容。在進行指數函數教學設計時，教師應事先通過問題情境激發學生的學習興趣，促使學生可以主動思考問題，隨后教師引出指數函數圖像及定義，并針對y=（）與y=2圖像對學生采取分組形式進行教學。

教師對學生繪制過程繼續指導，通過GeoGebra應用軟件，對指數函數圖像動態演示準確探究，幫助學生掌握重點知識，鼓勵學生通過圖像觀察了解其形式，促使學生順利完成一般問題的解答。通過案例的引進，給予學生學習的機會。教師應將教育視野從具體的知識內容上升到思維教育。

在課程教學階段，教師需要對問題產生的主要原因進行分析，洞悉知識方法之間的內在聯系，以一種科學嚴謹的思維習慣來研究圖像探究性質。創新教學方案，建立指數函數知識體系，真正意義上提升教學的有效性。

四、結語

綜上所述，高中數學指數函數部分的教學存在一定銜接性和復雜性，其應用又具有很大的可塑性與延伸性。本文從實踐角度出發，基于教材和教學情境設計了實踐教學中的模式與方法，重激活，善轉換，勤反思。教師要從知識的特征整體把握教學內容，做學生知識方法的引導者，深度落實現階段新課程改革的相關要求。牢記時代使命，切實保證教學質量，為學生的成長負責。

參考文獻：

[1]顏亞新.“函數應用”教學對策的思考與實踐[J].2014（6）.

[2]黃天天.數學課堂教學的幾點思考——以《指數函數》第一課時為例[J].數學之友，2016（8）：49-51.

[3]馬曉丹.著眼本質，在“變”中建構數學概念——以“指數函數”概念教學為例[J].數學教學通訊，2020（3）：62-63.

[4]劉志軍.例談“三導”教學策略在數學教學中的實施——以“指數函數及其性質”一課的教學為例[J].學園，2020（24）.

[5]賈長軍.高中數學教學手段的創新[J].課程教育研究，2019（31）：140.

作者簡介：

薛飛（1980年8月-），女，漢族，湖北省襄陽市人，本科學歷，中學一級教師，研究方向：高中數學教學。