關聯掘本質，深刻達簡約

唐小琴

摘要：“量與計量”類別多、內容多，且大多是作為“小單元”安排，這很容易導致教學零碎散亂。從教材和課標兩個維度整體分析“量與計量”內容，把握其核心和關鍵，得到教學建議：抓住理解“量”的關鍵要素，強化學生的體驗和感受，突出計量本質的方法貫通，注重量與量之間的關聯結構。

關鍵詞：小學數學;整體建構;量與計量

“量與計量”是小學階段基礎而重要的學習內容，認識量、會測量應成為每個學生必備的能力和素養。在教材體系中，“量與計量”類別多、內容多，且大多是作為“小單元”安排，這很容易導致教學零碎散亂。從整體上把握“量與計量”的核心和關鍵，扣住本質和聯系，可以化繁為簡，化難為易，簡教深學，事半功倍。

一、“量與計量”內容分析

（一）教材維度

小學數學內容體系中，常見的量主要包括貨幣、時間、質量、長度、面積、體積（容積）、角度等。蘇教版小學數學教材中，“量與計量”內容的編排詳見下頁表1。

通過梳理，我們發現，小學階段“量與計量”內容約有25個知識點（塊），在全套教材中占比16.9%。與數量運算有關的常見量的學習主要集中在第一學段（1—3年級），與圖形測量有關的常見量主要編排在第二學段（4—6年級）。總體看來，呈現出由少到多、由易到難、螺旋上升、學用結合的特點。

（二）課標維度

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中，“量與計量”的內容，一部分安排在“數與代數”領域中的“常見的量”，包括貨幣、時間和質量;還有一部分安排在“圖形與幾何”領域中的“測量”，包括角度、長度、面積、體積和容積。其中，“常見的量”在第一學段“課程內容”中單獨列出，內容如下：

1.在現實情境中，認識元、角、分，并了解它們之間的關系。

2.能認識鐘表，了解 24 時記時法;結合自己的生活經驗，體驗時間的長短。

3.認識年、月、日，了解它們之間的關系。

4.在現實情境中，感受并認識克、千克、噸，能進行簡單的單位換算。

5.能結合生活實際，解決與常見的量有關的簡單問題。

這里的一些關鍵詞，如“現實情境”“關系”“生活經驗”“體驗”“單位換算”等，不僅提出了學習“常見的量”的目標要求，還蘊含“常見的量”的教學要求，對日常教學具有指導作用。此外，從內容分布來看，“量與計量”一部分屬于“數”，一部分屬于“圖形”，是“數與代數”“圖形與幾何”這兩大領域雙向溝通、促進數形結合的橋梁和紐帶。

二、“量與計量”核心概念解讀

首先是“量”。“量”是人們對現實生活中事物的量的描述，如東西的多少、地方的大小、物體的長短、運動的快慢等。除了元、角、分是人們創造出來的貨幣單位外，其余計量單位大多是用于對現實世界中事物的屬性的描述。

其次是“計量”。“計量”即測量。張奠宙教授提出：測量不僅僅是拿刻度尺去測量一條線段的長度，那屬于物理學范圍，數學測量的本質是給每一個測量對象以合適的數。用刻度尺測量這一技能可以通過多次練習形成，但數學測量的能力則需要對測量單位系統的整體掌握。

我們可以結合模型圖（如圖1）來理解。要測量某個物體的長度、面積、質量（不同屬性）等，就需要有計量單位（測量標準）。小學數學教材在編排時，關于計量單位的學習，往往是經歷“先自選單位，后形成標準單位，再有擴充單位”的過程。當計量單位確定（“定標準”）后，就可以通過數一數，或用工具去測量、用公式計算等方法去度量所有的量，這樣的過程叫作“去測量”。測量之后我們就能通過數予以描述和表達，也就是“得結果”。因此，常見的這些量雖然是對事物的不同屬性的刻畫與描述，但就其刻畫和描述的過程與方法而言，它們是相通的，都經歷了“定標準—去測量—得結果”這樣的過程。

基于上述理解，有兩點特別重要的對“常見的量”的認識：

一是每一個量（計量單位）都有其特定的數學含義，同時也具有確定的量值。很多“量”的意義確定都與現實事物有關。比如，“1米”是光在真空中1299792458秒所走的長度，“1千克”對應普朗克常數為6.62607015×10-34 J·s時的質量單位。因此，認識一個量，首先要知道這個量的量值，也就是它的大小，諸如1米到底有多長、1平方米到底有多大。在這個過程中需要讓學生親身參與、親自實踐、主動思考，才能促其獲得具有個性特征的感性認識，不斷將活動中的經歷上升為經驗。

二是準確把握計量單位的邏輯體系。史寧中教授曾指出：“數學的本質是在認識數量的同時認識數量之間的關系，在認識數的同時認識數之間的關系。”可見，把握計量單位的邏輯體系十分重要。比如，小學階段一共學習了5個面積單位，分開看，它們是零散的，但用雙向箭頭連接（如圖2），它們之間就建立了關系，構成了整體。觀察圖2中最上面一行，我們發現，其余兩個相鄰面積單位之間的進率是100，為什么平方米和公頃之間的進率卻是10000呢？如果將長度單位與面積單位上下一一對應后就會發現，少了一個“十米”所對應的面積單位“平方十米”，也就是“公畝”，把“公畝”放到這個體系中，相鄰的面積單位之間的進率都是100的規律得以完美呈現。

三、“量與計量”教學建議

“量與計量”的教學，要結合學生已有的知識和經驗，用“長程”的眼光、整體建構的理念，幫助學生建立清晰的知識結構、方法結構，促進學生整體思維、系統思維的快速發展。

（一）抓住理解“量”的關鍵要素

每一個量的學習都離不開幾個關鍵要素：它是什么？它的量值是多少？它和其他同類量之間是什么關系？如何應用它？

以“毫米”為例：它是什么？一種長度單位;它的量值是多少？1厘米平均分成10份，每1份的長度是1毫米，一枚硬幣的厚度大約就是1毫米，一張身份證的厚度大約是1毫米;它和其他同類量之間是什么關系？它與厘米的進率是10，與分米的進率是100……如何應用它？測量比較短的長度，如橡皮的厚度、手指的寬度等。

把握了這四點，也就抓住了“常見的量”教學的主干。教學設計時，可以依據這些要素來構思教學環節、課堂結構和邏輯層次。

（二）強化學生的體驗和感受

常見的量是人們對現實生活中事物的量的描述，可謂隨處可見、隨時可遇、隨地可用。因此，教學這部分內容要重視以下幾點：

1.關注現實情境，強化數學與生活的聯系。現實生活的支撐越強，“常見的量”的學習就越清晰、越牢固、越靈活。

2.強化體驗和經驗，增強學習的主體感受和主動建構。設計活動時要多為學生提供猜測、推算、思考的機會，使活動具有層次性，讓學生在親自實踐、主動建構中不斷將經歷上升為經驗。

3.注重“學以致用”，讓學生在“用”中學——在嘗試、分析、解決問題的過程中不知不覺地完成新知的學習與建構，獲得思維活動經驗，不斷提升問題解決能力與創新實踐能力。

（三）突出計量本質的方法貫通

如上所述，不管學習哪一類量，就其刻畫和描述的過程與方法而言都要經歷三個基本步驟：定標準、去測量、得結果。“定標準”，就是定下“1”，如果作為標準的“1”建立得不充分、不清晰，那對“幾”的判斷就會非常困難。比如，認識“千克”，先要對1千克的重量建立比較好的感覺，然后才能以此為標準去熟悉2千克、3千克、10千克……“去測量”，重在方法的簡潔性、科學性，要尋找多樣化中的最優化和統一性。教學時遵循這樣的三步，也就遵循了常見的量的基本邏輯，既有統攝作用，也避免教學的散點狀、碎片化。

（四）注重量與量之間的關聯結構

1.孕育“種子課”——感悟結構。

“種子課”是指一類知識最初始的課堂學習，它在知識體系中處于根部地位。因此，“種子課”的立意決定了這一類內容教學的方向、視野及高度。

比如《時、分、秒》這節課，它應該屬于“時間單位”的一節“種子課”。教學時，不少教師是將這一內容切分成兩課時來教學，第一課時學“1時=60分”，第二課時學“1分=60秒”，這其實人為地“阻斷”了知識間的聯系。筆者將教材整合后，把第一課時的重點落在體驗時、分、秒的時長以及把握它們之間的關系上：帶領學生先觀察鐘面，發現秒針、分針、時針“三針協動”;再研究分和秒之間的關系;然后通過演繹、推理等方法，自主探究出時和分之間的關系（如圖3）。

2.培植“生長課”——發展結構。

“生長課”是相對于“種子課”而言的，它是指學生對同一類知識的關系有了初步的感受后，在原來結構的基礎上不斷擴充、發展的課堂。

特級教師許衛兵執教《認識千米》時，在學生自主整理已經學過的四個長度單位的基礎上，組織他們探究：“如果人們‘創造出了第五個長度單位，你覺得這個長度單位會在什么位置，它和我們之前學過的長度單位之間是什么關系？”學生主要呈現了兩種構想：它們有可能比毫米小，也有可能比米還大。如果比毫米小，會是什么？如果比米大，又會是什么？它們和已有的單位之間又是什么關系？學生將新“發明”的長度單位（絲米、十米、百米、千米等）在原有的基礎上“排排隊”，就形成了長度單位的體系表（如圖4）。從中，不僅能很清楚地看到“千米”所處的位置，而且還能明白“1千米為什么等于1000米”。這也便于學生在關聯和結構中理解和掌握，更好地感受數學的整體性、結構性、邏輯性和嚴謹性。

3.拔節“關聯課”——完善結構。

“關聯課”，要超越某個具體內容的學習，打通不同類知識之間的關聯，以便學生更好地建立、完善結構，最終達到舉一反三、觸類旁通的效果。

比如《角的度量》，表面上看，它與之前學習的長度、面積、質量、體積的度量屬于不同類別，但實際上，它與之前其他度量活動本質上具有內在一致性，都經歷了“定標準、去測量、得結果”的過程。一位教師在執教時就引導學生把角的測量與之前學習的長度、面積的測量進行關聯，從而建構出關于計量的一般方法的模型（如圖5所示）。

經過了“種子課”的感悟，“生長課”的發展，“關聯課”的完善，學生會感到看起來學習的計量很多，實質上學習它們的方法是相通的，關于量的學習的整體思維結構就會逐步形成。帶著這樣的感悟拓展到其他領域知識的學習，學生會萌生出自己建構體系的念頭，嘗試“用結構”去學，甚至自己搭建結構。這就實現了質的飛躍，達到了學習的較高境界。

*本文系全國教育科學“十三五”規劃教育部2019年度重點課題“指向整體建構的小學數學簡約教學資源建設”（批準號：DHA190453）的階段性研究成果。

參考文獻：

[1] 張奠宙.深入淺出，平易近人——怎樣測量長度、面積和體積[J].小學數學（數學版），2014（9）.

[2] 史寧中.基本概念與運算法則——小學數學教學中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2013.