對一類不等式題型進行總結

白鑫松　繆國棟

摘 要 不等式作為數學的基本內容，同時最值問題又是不等式問題中一大熱門考點，它可以與函數，圖像，解析幾何等知識緊密結合在一起，將問題變得復雜化，成為大多數初學者的一大難點.本文以具體題目為例，探究一種關于不等式題型的一種模式解題方法，歸納并總結了以圓錐曲線，向量，函數為背景的不等式問題，并且對每一道問題進行點評，總結，讓讀者建立起基本的不等式思維.

關鍵詞 不等式 題型總結 解題方法

中圖分類號：O15 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? ?DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2021.01.016

Abstract Inequality is the basic content of mathematics. At the same time， the maximum value problem is a hot test point in inequality problems. It can be closely combined with functions， images， analytic geometry and other knowledge. It makes the problem more complicated and becomes a major difficulty for most beginners. Taking specific topics as examples， this paper explores a mode solution method for inequality problems， and summarizes it. This paper concludes the inequality problems based on conic curve， vector and function， comments and summarizes each problem， so that readers can establish basic inequality thinking.

Keywords inequality; summary of question types; problem solving method

1問題引入

不等式問題一直都是考試中的一大難點，而其中的最值問題卻很容易讓初學者丟分，故本文將以具體的例題來進一步分析和探究不等式，揭開它的“廬山面目”，引發讀者從多角度去思考問題，從而解決不等式問題，培養數學思維。

點評：例題1是一道經典的不等式問題，它的模型是 “已知滿足，求的最值”的格式，但相比于傳統的均值解法，例題1使用了柯西分式型不等式，從而使整個解題思路變得簡單，計算難度也大大降低。

2提出變式

隨著高考的改革，不少經典的或直接出現的題型已經銷聲匿跡，取而代之的則是一些比較新穎，綜合性極強的題型，而不等式的一些條件也隱匿在題目之中，并且不少不等式題目均滿足以下模型。接下來將圍繞這個模型展開討論和分析。

模型 已知滿足，求的最值。

下面分別以解析幾何，向量和函數的例題進行探討。

例題2 已知橢圓，若橢圓的離心率且，求的最小值。

分析：由題可知，而從離心率可得到，顯而易見本例隱藏的條件與模型中的條件大致相同，可以將其歸為一種模型。接下來只需對未知量賦值計算，再運用不等式的知識和性質，即可以解出此題。

點評：綜上所述，例題4不同于例題2和例題3，它是以函數為背景提出的不等式問題，但實際上和例題2，例題3又有異曲同工之妙，均是以非不等式的知識為背景提出不等式問題，展現了不等式在不同數學分支中的重要作用。

3 總結

在解決不等式的問題中會運用到諸多的數學思想，它可以穿插的知識點比較多，能結合許多的數學內容，它既能滲透在數學的各個分支之中，又能巧妙的將各分支的知識銜接起來，可謂是“臍帶”一般，這也使得出題者將不等式作為近年來各大考試的熱門考點。而答題者在解決這類題的時候，就需要具備一定技巧，同時也要綜合題目，合理運用知識點，選取最恰當的方法求解。本文通過對上述模型的歸納，幫助初學者合理運用不等式的知識來解決問題。不僅將求解不等式最值的問題的知識再次鞏固，還讓初學者通過基本不等式模型去感受到數學之美，數學之價值。但在實際中如何高效的解題，則需要在平時多進行反思、歸納和總結，將基礎知識落實到位。這樣既能養成良好的學習習慣，提高解題效率，又能培養數學思維。

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