創設深度理解的學習　發展數據分析觀念

【摘 要】 數據分析觀念可以從數據分析意識、數據分析技能、數據分析評判質疑能力三個方面加以理解和落實.需要教師創造深度理解的情境，設計數學活動讓學生在具體的現實情境中理解與體驗，通過思考與解決得到滲透，進一步內化為核心素養.

【關鍵詞】 深度學習;情境體驗;統計量選擇;數據分析觀念

在當前信息社會中，數據分析能力是人們的基本素質，《義務教育數學課程標準（2011年版）》也指出，“統計與概率”內容教學的核心價值是發展數據分析觀念.發展數據分析觀念可以從數據分析意識、數據分析技能、數據分析評判質疑能力三個方面加以理解和落實[1].那么，數據分析觀念具體在課堂教學中如何落實？筆者有幸受邀參與浙江省教育廳教研室組織的拓展課程研討活動，執教浙教版八下拓展課《哪家產品質量好？》，受到與會老師的廣泛好評，現與同行分享本課備課過程中的思考與執教過程及反思.

1 備課中的思考

浙江省拓展課程是基礎課程內容的延伸、應用和整合，旨在拓展學生的知識面，激發學生的學習興趣，發展核心素養.本課是在學完浙教版八年級下冊第三章《數據分析初步》后為幫助學生進一步理解平均數、眾數、中位數和方差等統計量開設的，備課資源來自筆者擔任冊主編的省統編拓展課程教材《數學新探索》八下第三章《哪家產品質量好？》，筆者在授課過程中主要選擇的資源是問題引例（見本文表1）和一道例題（見本文例題）.在備課過程中，主要思考了如下問題：

問題1 數據分析觀念的具體內涵是什么？

《標準》指出，數據分析觀念包括了解在現實生活中有許多問題應先做調查研究，收集數據，通過分析作出判斷，體會數據中蘊含著信息;了解對于同樣的數據可以有多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法;通過數據分析體驗隨機性.

問題2 本課的教學目標是什么？

日常教學中，更多的老師側重統計量的計算，本課的核心是以“哪家產品質量好？”為載體讓學生深度理解統計量的含義，學會在現實問題中選擇合適的統計量解決問題，在問題思考與解決的過程中感受數據分析的方法和價值，發展數據分析觀念，提升核心素養.

問題3 本課的教學思路如何確定？

本課的教學素材是“一個引例兩個例題”，引例的作用是復習統計量，但由于引例直接以習題的形式給出，容易讓學生直接進入計算，談不上對統計量的深入理解.例1主要是平均數計算果斷放棄;例2是統計量理解的典型例題.面對“一個引例一個例題”的素材資源，筆者將前面引例定位于復習統計量，后面例題定位于進一步鞏固統計量，因此設計了以“汽車問題”為紐帶的一條教學明線：調查汽車數量→估計全校汽車數量→汽車報廢→選車系列問題（引例）→汽車零件加工（例題）→開車后遺癥馬拉松（增強體質），同時確定本課教學設計的一條暗線是：收集數據（感悟直接和間接的方法）→整理數據（統計圖、統計表）→分析數據（各種統計量通過具體情境展現）→運用數據（例1和思考），感悟數據來源于生活又服務于生活.

2 教學主要過程

2.1 創設“用車問題”系列情境，重新理解“集中程度”的統計量

環節1 調查“交通方式”，收集數據理解“眾數”

教學過程：

師：（出示圖片配上選項）今天上學，你采用怎樣的交通工具？

A.公交車 B.私家車 C.自行車 D.步行

生眾：（依次站起來回答交通工具方式，教師記錄）

師：在這里，出現次數最多的是什么交通工具？

生眾：私家車.

師：在統計學中，我們把這個次數出現最多的量稱為什么？

生眾：眾數.

師：可見，“眾數”不一定是數！

設計意圖 通過小調查，經歷收集數據的過程，回顧“眾數（此處是私家車）”，通過具體情境理解“眾數”不一定是“數”，同時為后續問題的展開鋪墊.

環節2 估計全校交通方式，計算數據理解“平均數”

師：現在我有一個新問題：如何估計我們全校有多少人乘私家車上學？

生1：用我們班的數據乘以42（全校的班級數）.

生2：先抽一些班級估計一個班有多少人乘私家車，再估計全校乘車人數.

師：我看生2的建議更合理！那怎么抽樣呢？

生3：每個年級抽取幾個班級.

師：老師也這樣想！如圖1是老師抽樣調查的我校各年級1、6兩個班的乘車情況，用什么數來估計我校乘車情況好呢？

生4：這6個班的平均數.

師：如何算平均數？

生5：全部相加除以班數，即（17+23+21+19+22+18）÷6=20.

師：有沒有不一樣的算法？

生6：選一個基準“20”（老師在圖1上20處畫了一條與橫軸平行的虛線），這樣17，23一對，21，19一對，22，18一對，正好20！

師：你為什么會想到這樣算？

生7：因為這些數據都往“20”靠.

師：這個“靠”的意思就是這些數據都往“20”集中，非常好！我想問，“20”這個數據一個班級也沒出現，能作為代表估計全校情況嗎？

生8：可以，因為平均數是代表數據的平均水平，不一定真實出現！

師：你講得真好！平均數并不一定是一個真實發生的數，但它能代表一組數據的平均水平.如果用“20”來估計，我們全校有840人乘車上學！可以想象，上學時學校“車水馬龍”的狀況！

設計意圖 問題“如何估計全校有多少人乘私家車上學”讓學生經歷“抽樣”過程，用6個班級的數據來估計全體，這里之所以設計這些數據（17，23，19，21，22，18），一是學生會想到用“平均數”這個統計量去估計，二是引導學生通過選基準“多退少補”的方式計算平均數，通過“基準”的選擇，感受平均數“集中程度”的含義，同時這組數據沒有出現數據“20”，但平均數是“20”，讓學生感悟“平均數”這個統計量的數據不一定真實發生，但它能夠代表一組數據的平均水平，用它來估計總體水平，深度理解平均數的含義.

環節3 分析“汽車報廢年限”，深度理解“數據處理好與壞”

師：我也是開車族，19年來忠心耿耿地開著同一輛車，最近想了解我這個品牌汽車大致的報廢年限，修理廠小工給了我這樣一張記錄（如圖2）：你們覺得用什么量來估計這種品牌汽車的大致報廢年限好呢？

某汽車修理廠小工記錄的某款汽車的報廢年限情況

生9：眾數是22年，不能代表大多數汽車的報廢年限！

生10：平均數是16.6年，達到16.6年的有10輛車，也不是太合理.

生11：中位數是18年，達到18年的有13輛車，剛好是25輛車的一半左右，挺好的.

師：看來都可以.但中位數更合理！所以，我們常說，統計量的選擇沒有對與錯，只有好與壞.如果我還想知道，我這輛車在同款汽車中屬于中上游還是中下游？用哪一個量更合適？

生12：中位數.

師：18年，我的汽車車齡已經超過大部分的汽車了，看來是應該淘汰了！最近我還真的去了解了新能源電動汽車.

設計意圖 本教學片斷呈現修理廠小工記錄的直觀形象的數據（符合修一輛記一輛的習慣），目的是讓學生能很直觀地感受這一組數據不適宜用眾數，鼓勵學生提出平均數，中位數，感受同樣數據有不同的處理方式，數據處理不講“對與錯”而講“好與壞”.此處設置“車輛報廢”問題承前啟后引出后續的換車問題.

2.2 創設“換車問題”系列情境，深度理解“統計量的選擇”

環節4 出示“新能源汽車”數據，引發學生質疑數據來源.

師：新能源汽車就是用新能源替代發動機的功能，它與一般燃油汽車的區別是用電池為汽車提供驅動能源.3個廠給了我圖3所示的電池信息：從電池使用壽命的角度選擇產品，根據這些數據你能作出判斷嗎？

生13：不能！

師：那你對廠商提供的這些數據有什么想法？

生14：不知道他們這些“7年”的數據怎么來的？

師：這個習慣好！看到數據，想想它們是怎么來的？我這里得到質檢部門對3個廠的一些調查數據（如表1），我們可以怎樣處理這些數據？

生15：算一算平均數、中位數、眾數（如圖表2所示，先出示前3列數據）

師：各廠分別用了什么數據來為自己的產品做廣告？

生16：甲廠用平均數，乙廠用中位數，丙廠用眾數.

師：數據確實真實！但我看即使選擇同一種統計量，也很難作出選擇，你還會怎么區分？

生17：方差.因為方差表示偏離平均數的大小，方差越小越均勻.

設計意圖 本教學片斷由“換車”引發新能源汽車電池壽命.此處將課本中直接出示質監部門數據的形式，改為以“廣告”的方式給出，希望學生能對數據養成“質疑”的習慣，從而引發數據來源的調查.接著，通過處理數據，讓學生感受既需要“集中程度”的統計量，還需要“離散程度”的統計量.

環節5 多角度考量“汽車產品需求”，感悟理解“加權平均數”

師：我們在買車時，除了關注電池，可能還會考慮哪些要素？

生18：價格！

師：其實電動汽車還有一個數據需要特別考慮：汽車一次充滿電后能夠連續航行的里程數，即“續航里程”.如果就考慮這3個因素，對以下表3的3輛汽車，你如何進行綜合排名？

生19：我可能會選擇丙，因為我認為現在新能源汽車還不夠成熟，所以先買一輛價格便宜的試一試！

生20：我可能會選擇甲，因為我需要去很遠的外婆家，需要續航里程比較長！

生21：我可能會選擇乙，因為它的電池使用壽命比較長，性價比也就高了！

師：不同的人會根據自己的實際需要有所側重，統計學中有一個量，能表達不同的側重情況，你想到了什么統計量？

生22：加權平均數！

師：根據“權”怎么算？

生23：比如電池使用壽命占50%，價格30%，續航里程20%.

師：現在的問題是他們的單位各不相同，即使有側重，也無法相加啊！有什么辦法可以統一單位呢？

生24：（面面相覷，無法定奪）

師：我倒是想到了一個辦法，先對它們進行打分.比如把每一個項目滿分都記為10分，如表4，甲、乙、丙按電池使用壽命分別記為7，8，6分，那么價格、續航里程如何打分？

生25：價格越高分數越低，續航里程越長分數越高，打分如上表.

師：那現在請根據我們剛才的想法“電池使用壽命占50%，價格30%，續航里程20%”

列式計算.

生眾：（生列式計算后作出選擇）

師：這里如果有10輛車，50輛車，這樣數據處理的意義就更大了！現在我們歸納一下，何時使用加權平均數？

生26：當我們需要突出某一個量時，需要使用加權平均數.

師：我們要根據問題解決的需要選擇合適的統計量.

設計意圖 本教學片斷提出問題“你在考慮購車時，除了關注電池，還會關注哪些問題？”引出價格和續航里程這些因素.通過補充原教學素材中缺失的加權平均數，感悟加權平均數在實際生活中的應用以及數據處理的方法.此處，讓學生經歷數據處理的全過程并進行計算.同時歸納分析數據的方法，怎樣根據問題解決的需要選擇不同的統計量來分析數據.

2.3 現實問題解決，鞏固運用“統計量”

師：剛才我們經過慎重選擇乙廠.讓我們一起來關注乙廠工人生產電池情況（出示例題）.請大家自主閱讀課本，互相討論，然后由你們進行展示互評.

例：某電子科技公司有40名技術員，某月他們組裝一批電池零件產品的個數統計如表5.

（1）為了激勵技術員的工作積極性，同時適當考慮成本控制，管理者準備對完成定額或超額完成的員工予以獎勵，問：“定額”如何確定？

（2）若定額為71個，若達到或超過定額的員工，每件產品薪酬額外增加50%，若該公司技術員月平均工資4475元，問原來每件產品多少元？每個技術員的工資分別是多少？

（3）由于業務增加，該公司計劃新招收一批技術員.如果你是應聘者，你認為選擇哪一種統計量描述該公司中等水平技術員的基本工資比較恰當？

討論結果，代表呈現如下：

生27：若選中位數70，這樣40人里面有24人能獲得獎勵，成本太高，不是很合適;若選眾數85，過高，員工不同意，不合適;若選平均數70.5，即71個，40人里面有18人獲得獎勵，員工和老板都能接受，所以我選擇平均數“71”作為定額.

生28：對問題3，用中位數70描述中等水平技術員的基本工資比較合適，工資為3500元，如果是一名高級工程師，用其他數據比較合適，需要根據具體情況確定.

設計意圖 本例題教學用理解性問題促進學生思考：如“定額過高會產生什么影響？定額過低會產生什么影響？”幫助學生理解題意，同時（2）題比書上增加了一個問題“每個技術員工的工資分別是多少？”為后續問題（3）的解決提供方便.

2.4 綜合思考，深度體驗

由開車引發健身，以迷你馬拉松賽跑為情境設問（估計全國15—20歲少年的5km跑步成績;了解參賽者小徐的成績是否屬于中上游水平;比較甲乙兩組參賽者哪一組成績比較均勻？），讓學生設計統計方案，提出見解，同時弘揚馬拉松“努力·拼搏·健康·快樂”的精神.

設計意圖 將書上原例1舍棄改成馬拉松賽跑的相關問題，讓學生暢所欲言，進一步感悟如何選擇統計量解決問題.

2.5 縱橫梳理，內化素養

圍繞以下問題進行梳理：對數據進行統計，有哪些作用？運用數據解決問題，一般有哪些步驟？讓學生回憶收集數據的方法有直接（如小調查）和間接（如網絡搜索），可以利用統計表、統計圖等方法來整理數據，可以利用中位數、眾數、平均數、方差等統計量來分析數據.鼓勵學生“以小見大，以現在預測未來！”，開創屬于自己的精彩未來！

設計意圖 縱向回顧數據統計的一般步驟，進一步感受數據分析的方法和作用.

3 教學思考

3.1 問題情境是發展數據分析觀念的重要載體

數據分析意識的覺醒，數據分析技能的形成，數據質疑與評判能力的養成，都不是靠教師“灌輸”與“強調”，而是依靠具體的問題情境，通過學生參與問題解決的過程形成的.本課教學中，創設了“用車問題”系列情境，幫助學生進一步理解“中位數、眾數、平均數”等集中程度的統計量：如眾數不一定是“數”，平均數不一定是真實的數據，同時感受數據中蘊含著信息，對同一組數據可以采取不同的處理方法;創設了“換車問題”系列情境，如通過呈現甲乙丙三廠“7年電池使用壽命”喚醒學生的數據質疑意識和評判能力，通過選車不同因素的側重引出加權平均數，幫助學生理解如何選擇集中程度與離散程度的統計量，提高數據分析能力;通過“生產汽車配件”問題，進一步落實統計量的運算技能.在教學設計中，我們應著眼于數據分析觀念的具體內涵和教學目標，設計合適有價值的問題情境，幫助學生發展數據分析觀念.筆者認為，有價值的問題情境應具有激發學生興趣、促進學生思考、易于拓展延伸等特征.

3.2 數學活動是發展數據分析觀念的主要途徑

如果說問題情境（問題）是一種靜態的教學資源，那么只有讓教師以靜態資源為載體組織引導學生參與數學活動，學生才能在經歷體驗與感悟的過程中，不斷發展數據分析觀念，形成核心素養.筆者認為，數學活動包括數學思維活動與數學實踐活動，實踐活動離不開思維活動的參與，思維活動也可以依賴實踐活動獲得的經驗.組織數學活動，表現為面對每一個問題，教師給予學生足夠的思考時間和空間，通過學生的合作討論和自主探究、展示互評，教師的適時點撥、即時評價，不斷達成問題解決.本課教學中，對每一個問題情境，教師都舍得讓學生犯錯和反思，如在平均數計算問題情境中，先讓學生通過直接計算平均數發現可以先定基準再算平均數;在加權平均數誕生的問題情境中，從汽車實際影響因素不斷引發問題沖突，讓學生經歷權的誕生和設計過程.

3.3 問題引導是發展數據分析觀念的主要手段

引導學生思考，幫助學生理解，發展思維能力是數學學習的核心任務.以問題情境為載體，通過數學活動創設師生交互的平臺，實現思維能力的提升，發展核心素養.筆者認為，組織數學活動的主旨是引發學生的思考，主要措施可以表現為教師的設問和追問，學生的展示和互評.在本節課中，設計了若干思考性問題[2]，如“聯系性問題”：“即使選擇同一種統計量，也很難作出選擇，你還會怎么區分？”幫助學生聯想“方差”概念解決問題;讓學生理解題意而設置的“定額過高或過低有什么影響”的“理解性問題”;“如果綜合考慮電池使用壽命、價格、續航里程，如何選擇？”等“拓展性問題”;“何時使用方差和加權平均數”等“歸納性問題”，這些問題穿插在每一個數學活動中，引導和幫助學生學會思考，踐行“學為中心”的教學理念.

參考文獻

[1]許芬英.“浙江省中小學學科教學建議”案例解讀（初中數學）[M].杭州：浙江教育出版社，2015.

[2]許芬英，潘小梅.學為中心的初中數學思考性問題的類型及其設計[J].數學通報，2016（10）：13-17.