數據分析素養視域下中美初中教材例習題的比較研究

蘇美娜

【摘 要】 本研究選取中國人教版和美國GM版初中數學教材，從習題數量、習題類型和習題難度三方面展開論述，對“概率”一章的習題進行比較，并依據鮑建生教授建立的習題綜合難度模型將習題進行難度比較分析.研究發現，兩國版本的習題設置方式相同，在習題難度上均是由簡至難的層次;美國GM版教材習題數量遠遠超于人教版，但難度整體上易于人教版;在“概率”一章的習題編寫上，美國GM版本更注重夯實基礎知識，人教版偏向知識的外延;GM版教材注重計算能力，相對于人教版弱化了學生的推理能力，人教版更多的轉向探究和分析的能力.對于我國需要借鑒的是習題背景多樣化、優化開放探究習題、從習題的多種功能中培養批判意識.

【關鍵詞】 習題比較;核心素養;概率

1 研究背景

教材是課程標準的目標與教學內容的直接體現，是培養學生解決問題能力的載體，在新課程改革中有著舉足輕重的地位.越來越多的關注點在教科書對于數學知識的教和學的作用上，教材的難度影響著教學的方式與學生的接收度.以數學核心問題與核心概念為生長點的數學素養的培養和發展離不開對數學習題的解決[1].而習題的難度在一定程度上反映了教材的難度，是教材難度比較中不可或缺的一部分.因此，編寫例習題對于學生的思維發展具有重要的意義.

“統計與概率”注重發展學生的數據分析觀念.十大核心詞是數學課程目標的具體體現，亦理解為要求學生學習數學所具備的核心素養，即學生未來發展所需的思維品質和關鍵能力[2].《美國州際核心數學課程標準》（簡稱“CCSSM”）也對“在重復的推理中，探求并表達規律”作為八大數學實踐標準之一[3].可見概率素養是培養學生數學學科素養不可或缺的部分.

在小中高三個學段均設有概率的學習內容，可見概率無論是對學生數學思維的培養還是對生活中問題的解決，都是至關重要的.既而對概率的習題難度對比與分析的研究是必不可少的.因此，本文選取“概率”一章對兩國版本教材進行定量與定性的比較和分析.

2 研究過程

2.1 研究對象

本研究選取人教版《義務教育教科書·數學》（九年級上）第二十五章“概率初步”與美國McGraw-Hill出版社2013出版的初中數學教材Glencoe MathMatters1的Chapter10“Probability”作為研究對象.此兩套教材都是中美在新時期極具代表性和典型性的主流教材，都符合新標準的理念與要求，能夠反映出兩國最新的數學課程改革的方向和趨勢.

2.2 研究方法

本研究在數據分析觀念的視角下采用從習題數量、習題類型、習題綜合難度三個維度將中美兩版教材的習題進行分析.采用統計分析法將習題數量和習題類型做定性分析;借鑒鮑建生教授的綜合難度模型對習題綜合難度做定量分析.

本研究選取鮑建生教授創建的數學題綜合難度模型，此模型具有代表性和一定的創新性.模型隨后進行了簡單的修改，將“背景、數學認知、運算、推理、知識含量”五個難度因素確定為主要影響因素，主要針對數學教科書習題的難度，以數學題的難度來衡量數學課程的難度，對每一個因素劃分成了不同的難度水平劃分，并用五邊形直觀模型來刻畫數學題綜合難度.五個難度因素的按照由低到高的水平劃分如表1所示[4].

該模型具體應用過程如下.

首先，分別計算并統計各難度因素中每一個水平層次的題目數量及百分比，對各個難度因素逐一比較分析.其次，對每一道題目在每種難度因素下進行劃分、歸類，并按照劃分等級進行賦值，將其作為權重.隨后，根據等級權重，利用公式計算并統計每個難度因素下的加權平均值.最后，根據上面得到的五個難度因素的權重平均值畫出五邊形雷達圖，通過雷達圖就可以鮮明地顯示出兩個版本教材的習題難度狀況.這種方法通過教材習題的對比，可以探索每個版本的編寫特點和側重，對教材的進一步優化提供了有力的參考.

2.3 編碼及編碼結果

（1）習題數量編碼

為使統計分析更為科學合理，采用統一計數方式，若一個題干下有若干個小題，則將中國教材中的（1）、（2）、（3）……的每一個小題按照1、2、3……重新標號，采用美國GM版的習題計數方式.統計兩部教材例習題數量結果如表2.

對中美兩版習題的統計如表1表明，無論是例題還是習題數量，GM版教材的數量遠高于人教版的數量，兩者相差5倍之多.但從例題所占的百分比所得，人教版在例題上的比重略高于GM版.由此可知，人教版教材在編寫上更注重課堂中的例題引導與及時反饋，GM版教材更注重課后大量的練習與鞏固.

雖然數量上有明顯的差異，但人教版和GM版在習題的設置上幾乎一致：在每一小節的開始部分均設置“探究與合作”（Work with partner）的生活問題;同時也均設有例題（Example）、習題（Exercise）、章節復習題（Review and Practice Your Skill），且習題均按照自上而下的難度梯度，結構緊湊，層次清晰.

（2）習題類型編碼

習題類型一般分為客觀題和主觀題兩部分.客觀題包括選擇題、是非題（判斷題）、填空題;主觀題包括解答題、證明題、作圖題等.縱觀兩版教材發現“概率”一章的題均沒有選擇題，故將習題類型分為是非/填空題、解答題、計算題、分析探究題四部分.基于兩版教材的“概率”一章習題統計的數據如下表3所示.

統計表明，人教版、GM版客觀題類型的例習題分別占17.34%、2.39%;主觀題類型的例習題分別占82.56%、97.61%，其中解答題分別占68.37%、83.56%;計算題分別占3.06%、9.08%;分析探究題分別占11.22%、4.97%.

（3）習題難度編碼

根據鮑建生教授的習題難度模型，將中美兩版教材中概率部分的所有例題、習題進行收集、整理、量化，然后根據公式在各維度的差異進行比較分析.

3 中美數學教材“概率”例習題綜合難度的比較與分析

3.1 背景因素的水平比較

統計表明，人教版、GM版例習題在背景難度因素中，“無背景”水平的例習題分別占5.10%、22.09%;“個人生活”水平的例習題分別占56.12%、56.34%;“公共常識”水平的例習題分別占36.73%、16.95%;“科學情境”水平的例習題分別占2.04%、4.62%.

3.2 認知水平因素的水平比較

統計表明，人教版、GM版例習題在認知水平難度因素中，“操作性記憶”水平的例習題分別占4.08%、4.11%;“概念性記憶”水平的例習題分別占54.08%、70.03%;“領會—說明”水平的例習題分別占35.71%、23.97%;“分析—探究”水平的例習題分別占6.12%、1.88%.

3.3 運算因素的水平比較

統計表明，人教版、GM版例習題在運算水平難度因素中，“無運算”水平的例習題分別占25.51%、12.67%;“數值運算”的例習題分別占74.49%、86.64%;“簡單符號運算”水平的例習題分別占0.00%、0.68%;“復雜符號運算”水平的例習題分別占0.00%、0.00%.

3.4 推理因素的水平比較

統計表明，人教版、GM版例習題在運算水平難度因素中，“無推理”水平的例習題分別占61.22%、73.80%;“簡單推理”的例習題分別占36.73%、26.20%;“復雜推理”水平的例習題分別占2.04%、0.00%.

3.5 知識點含量因素的水平比較

統計表明，人教版、GM版例習題在運算水平難度因素中，“1個知識點”水平的例習題分別占69.39%、77.57%;“2個知識點”的例習題分別占26.53%、21.92%;“3個及以上知識點”水平的例習題分別占4.08%、0.5%.

針對以上5個難度因素的比較與分析，根據習題綜合難度模型公式，將所得結果整理匯總成圖6，在因素分析的基礎上進行綜合難度的計算.

由雷達圖可以看出，兩版教材在概率內容的例習題當中，綜合難度整體上除“運算”層次人教版低于GM版外，在其他難度因素層次上均高于GM版，說明人教版習題在“背景”、“數學認知”、“推理”、“知識含量”水平上的編寫要求更高一些.即人教版在背景習題的設置上更貼近生活，在習題數學認知水平的分配上，更加關注學生思維水平的發展，轉向知識的理解和應用方向;而GM版更重視學生的運算能力尤其是數值運算的練習;在推理和知識含量層次的難度上，兩國版本的教材相差不大，在習題難度的設置上均具有一定的層次性.

4 進一步結論

本研究除對中美兩版教材的習題數量、類型及習題難度的對比外，將美國GM版教材的習題設計特點做進一步總結.

4.1 注重新舊知識的承接與聯系

美國GM版的特別一處是，在每一章內容學習之的開始，都設有單獨的一課課前準備復習題（Are you ready？Refresh Your Math Sills for Chapter 10），為接下來的學習內容作好所需要的知識與技能準備，達到了“溫故而知新”的效果.此外，在每一節的最后也會出現5—6道與概率內容無關的已學習到的習題，由此可看出美國GM版本教材更注重舊知識的鋪墊，從而保證了程序運算的流暢[5]，對新知識的公式和概念的理解更加透徹.

4.2 習題背景豐富且關聯度強

雖然GM版教材也體現出美國教材“寬一英里，深一英尺”的普遍現象，但對習題背景的設計理念恰恰將內容標準與實踐標準并行，使得CCSSM強調的數學理解成為學習數學的紐帶.由圖1的數據已知，美國GM教材在有習題背景上的比重很高，而且在習題背景的設計上類型廣泛，涉及到遺傳基因、群眾選舉、工廠生產、古代文學、電視比賽等方面的背景，會具體到將背景類型一一在習題前標出.同時在“科學情境”的習題背景中，GM版教材大多選用孟德爾遺傳實驗為背景，加強了與其他學科的關聯性和生活中的應用性.

4.3 習題目標明確，注重活動化探究

GM版教材中，每一節的標題下面都有這節課的課程目標，在題前說明習題的練習主題，即習題具有針對性，引導學生的價值傾向，建立自己的理解.在開放探究的習題中，GM版教材還設計了辯證性思考（critical thinking）習題，落實了CCSSM中“調查或然性過程，并發展、運用和評估概率模型”的目標，加強了學生經歷探究和解決問題的數學思維過程.

5 啟示

5.1 豐富習題背景，加強學科關聯度

“概率”是我們在社會生活常見到的，因此概率的內容是最貼近生活的知識，更具有應用性.在各種情境中運用和應用數學意味著給學生提供動態的數學知識，是發展數據分析觀念的一個重要渠道.增加習題的多樣性，并與其他學科內容結合，不僅凸顯出概率在生活中的重要性，還能滲透了其他學科知識.譬如PISA和TIMSS測試的習題強調真實問題，其情境和題目旨在考查學生的數學素養，PISA和TIMSS的習題設計理念可為我國教材習題背景的選取提供了有力的參考.

5.2 重視習題推理過程的呈現，優化開放探究習題

2014年，教育部研制印發《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》對提升學生作為社會公民所具備的數學素養做了具體的說明，其中包括：“逐步學會用數學的語言表達世界，發展數學建模、數據分析素養.”從習題上的落實，就是要學生從習題中自主去探索.雖然人教版在開放探究題的權重高于GM版教材，但GM版教材的習題更有層次性，更有利于鍛煉學生的分析問題能力.我國需要以“問題—探究”為導向組織不同層次與功能的習題，讓習題有效地引導學生去主動探究，讓概率素養的培養更有所體現[6].

5.3 開發習題多種功能，培養批判意識

澳大利亞學者Jane Watson將概率素養的培養由淺至深分成了三個層次：理解基本術語—在社會問題背景中理解術語—能夠對沒有恰當說理的統計論斷提出質疑.這三個層次在美國GM版教材中均有體現，尤其是辯證性思考（critical thinking）的設置是一大亮點，意圖通過引導學生對問題的反思來發展他們的批判意識，形成正確的數據分析觀念，而這種習題在我國人教版中未曾出現.毋庸置疑，我國的數學教學學情中，缺少質疑的聲音，因此我國在習題的設置上可借鑒美版教材，從習題中增強學生的批判能力.

參考文獻

[1]范連眾，孔凡哲.從關注學科知識轉向關注核心素養的教科書的習題設計——基于對我國九個新版本初中數學教科書的調查[J].中小學教師培訓，2017（10）：61-65.

[2]劉祖希.我國數學核心素養研究進展——從數學素養到數學核心詞再到數學核心素養[J].中小學教材教學，2016（7）：35-40

[3]廖運章.美國《州共同核心數學標準》的內容與特色[J].數學教育學報，2012，21（4）：68-72.

[4]鮑建生.中英兩國初中數學期望課程綜合難度的比較[J].全球教育展望，2002，31（09）：48-52.

[5] 陳雪梅，姜輝.基于概率素養的數學教材設計特征的分析與啟示——以美國CPMP教科書為例[J].外國中小學教育，2019（03）：76-80

[6] 吳立寶，王建波，曹一鳴.初中數學教科書習題國際比較研究[J].課程·教材·教法，2014，34（02）：112-117.