高中數學解題中變量代換法的應用研究

鄒小明

【摘? 要】數學作為高中教學階段一種難度較大的學科，尤其是在解題環節，面對不同題型要運用不同的方法，對學生的知識儲備、解題能力與思維水平要求更高，學生很難順暢地完成解題任務。在解題教學中，高中數學教師可指導學生應用變量代換法，帶領他們高效解題。筆者針對高中數學解題中怎么應用變量代換法進行了研究，并列舉部分合理的應用方法。

【關鍵詞】高中數學;變量代換法;教學方法

中圖分類號：G633.6? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? 文章編號：0493-2099（2021）13-0137-02

Research on the Application of Variable Substitution Method in High School Mathematics Problem Solving

（The Experimental School Affiliated to Beijing University， Longyan， Fujian Province，China）ZOU Xiaoming

【Abstract】Mathematics is a difficult subject in the high school teaching stage， especially in the problem-solving process. Different methods must be used in the face of different problem types. It requires students to have higher knowledge reserves， problem-solving ability and thinking level. It is difficult for students to complete the problem-solving task smoothly. In problem-solving teaching， high school mathematics teachers can instruct students to apply variable substitution method to lead them to solve problems efficiently. The author studied how to apply variable substitution method in solving high school mathematics problems， and enumerated some reasonable application methods.

【Keywords】High school mathematics; Variable substitution method; Teaching method

變量代換法是一種非常有效的解題方法，尤其是處理一些結構復雜、變元較多的數學問題時效果明顯。合理代換能簡化題目信息，凸顯隱性條件，溝通量與量之間的關系，對發現解題思路和優化解題過程有著至關重要的作用。在高中數學解題教學中，教師可引領學生采用變量代換法，使其引入一些新的變量進行代換，幫助他們簡化題目結構，提高解題技能。

一、運用三角變量代換法，幫助學生形成清晰的解題思路

三角變量代換法即為利用三角函數的性質，把代數或者幾何問題轉化為三角函數問題，以此尋求題目突破口的一種高效解題方法，而三角變量代換的實質就是換元思想的具體表現。高中數學教師在解題環節，可引導學生科學運用三角變量代換法降低題目的難度，使其形成清晰的解題思路，找準解題的關鍵點，讓他們的解題步驟變得更加明朗。

比如，在實施“三角函數”教學時，教師設置以下題目：求函數[y=x-4+15-3x]的值域。解析：學生在處理該道題目時，通常思路為移向、平方、化簡、再平方，過程比較復雜、不易解決，還容易出現錯誤。假如他們把原題轉化成一個三角函數問題，運用三角變量代換法來求解，將會變得容易一些。解答：根據題目信息得知x-4≥0和15-3x≥0同時成立，將它們兩個聯立起來成為一個不等式組，解得4≤x≤5，觀察x的解集，令x=4+sin2θ，（0≤θ≤π/2），則y=sinθ+[3]cosθ=2sin（θ+π/3），因為0≤θ≤π/2，所以θ+π/3∈[π/3，5π/6]，那么當θ=π/2時，y有最小值1，當θ=π/6時，y有最大值2，則y的值域是[1，2]。

二、采用函數變量代換法，真正達到化繁為簡的目的

函數在整個數學知識體系中的重要性不言而喻，貫穿于初中與高中。其中初中階段學習基本的函數知識，如正反比例函數、一次函數與二次函數等，步入高中階段后，對函數概念進行重新升級，學生能接觸到指數函數、對數函數、冪函數、函數與方程等知識。在高中數學解題教學環節，教師可引領學生采用函數變量代換法解決函數問題，通過代換把復雜的數學式子變得簡單化，使其快速求出函數值，解決難點，還能用以處理一些復雜的函數證明題。

在這里，以“函數”教學為例，教師設計以下例題：已知f（x）是奇函數，x∈R，且f（x-2）=-f（x），f（1）=-1，（1）證明f（x+2）=f（x-2）;（2）求f（2001）的值。解析：（1）像這樣的證明題可采用函數變量代換法，根據題目信息f（x-2）=-f（x），得出f（x）=-f（x-2），此時把x轉變成x+2，把其帶入式子f（x）=-f（x-2），就能輕松求出f（x+2）=-f（x），又因為f（x-2）=-f（x），所以f（x+2）=f（x-2）;（2）可以使用（1）的結論來解題，采用變量代換法把x換成x-2重新帶入式子，能夠得到f（x-2+2）=f（x-2-2），即為f（x）=f（x-4），那么f（2001）=f（1997）=……=f（1）=-1。這樣解題不僅省時省力，而且正確率也比較高。

三、使用導數變量代換法，輔助學生解決復雜問題

在高中數學導數解題教學環節，列出導數表達式是解題的關鍵和核心所在，不過在實際解題中，由于受到多個方面因素的影響，學生難以順利寫出表達式。這時，教師可使用變量代換法，幫助他們處理復雜的導數問題，順利列出導數表達式，使其解題能力得到鍛煉與改善。

在展開“導數在研究函數中的應用”教學時，教師出示題目：已知函數f（x）=ax3-3x2，a∈R，如果在x∈（0，2]上，g（x）=exf（x）是單調減函數，那么a的取值范圍是什么？解析：根據題目中的已知條件對g（x）展開求導，又因為ex>0，原式能夠轉化成ax3-3x2+3ax2-6x≤0在給定區間內恒成立，即a≤[3x2+6xx3+3x2]=[3x+6x2+3x] 在x∈（0，2]上恒成立，這時采用h（x）代換成 [3x+6x2+3x]后再研究。接著，對h（x）進行求導，在給定的區間內h（x）是單調減函數，可以輕松求出該函數的最小值是h（2）=6/5，所以a的取值范圍為（-∞，6/5]。

四、利用不等式的變量代換法，促使學生簡化計算過程

變量代換法，顧名思義是通過變量來進行代換，把復雜的數學問題加以轉化，目的是便于求解，應用范圍相當廣泛，涉及證明計算、化簡求值等各類題目。在處理不等式問題時同樣能應用變量代換法，讓學生簡化計算過程，實現化難為易、化繁為簡的效果。

在“不等式”教學中，教師可以呈現題目：已知m>1，n>1，p>1，證明[m2n-1+n2p-1+p2m-1]≥12。解析：這是一道典型的不等式證明題，通過觀察、分析發現，如果直接展開證明難度較大，這就要把題目中復雜的信息通過變量代換法轉變成簡單的式子，再采用均值不等式慢慢解決。

證明：設x=m-1，y=n-1，z=p-1，那么m=x+1，n=y+1，p=z+1，由于m>1，n>1，p>1，則x>0，y>0，z>0，把x=m-1，y=n-1，z=p-1，m=x+1，n=y+1，p=z+1帶入不等式的左邊得到[（x+1）2y+（y+1）2z+（z+1）2x]≥ [（2x）2y]+[（2y）2z]+[（2z）2x]=[4xy+4yz+4zx]=4（[xy+yz4zx+zx]）≥4×3[xy?yz?zx]=12，得到[（x+1）2y+（y+1）2z+（z+1）2x]≥12，即為[m2n-1+n2p-1+p2m-1]≥12。由于本題無法直接使用均值不等式進行求解，所以解題的關鍵在于轉化，利用變量代換法把原式轉變成一個新的式子，由此借助均值不等式處理問題，優化解題步驟和流程。

五、結語

綜上所述，在高中數學解題教學中，教師要意識到變量代換法是一種既常用又高效的解題方法，可以利用它指導學生處理一些難度較大、復雜多變的數學問題，幫助他們掌握變量代換法的精髓，使其靈活自如地處理題目，做到游刃有余和得心應手，逐步提高數學解題水平。

參考文獻：

[1]邱進凌.代換法在高中數學解題中的靈活應用[J].科技視界，2014（27）.

[2]趙宏泰.論高中數學教學中學生解題能力的培養[J].新課程研究，2020（07）.

（責任編輯? 王小飛）