構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，優(yōu)化問題解決策略

姜麗華

[摘 要]數(shù)學(xué)建模能夠使學(xué)生深入數(shù)學(xué)問題的探索中，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生由原來的機械式識記轉(zhuǎn)化為主動探索知識，由原來的解決單一問題轉(zhuǎn)化為解決同類問題。以“植樹問題”教學(xué)為例，給出了建立數(shù)學(xué)模型的基本過程，即創(chuàng)設(shè)情境，感知模型;把握本質(zhì)，構(gòu)建模型;應(yīng)用模型，實現(xiàn)價值。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)模型;植樹問題;小學(xué)數(shù)學(xué)

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）17-0058-02

模型思想是重要的數(shù)學(xué)思想之一。數(shù)學(xué)建模能夠使學(xué)生深入數(shù)學(xué)問題的探索中，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生由原來的機械式識記轉(zhuǎn)化為主動探索知識，由原來的解決單一問題轉(zhuǎn)化為解決同類問題。下面以“植樹問題”教學(xué)為例，探討了建立數(shù)學(xué)模型的基本過程，力圖為數(shù)學(xué)課堂上滲透建模思想提供可行的方法論。

一、創(chuàng)設(shè)情境，感知模型

數(shù)學(xué)建模是一個從具體情境到抽象模型再回到實際應(yīng)用的過程。數(shù)學(xué)來源于生活，最終為生活服務(wù)，因此，教師需要在充分了解和尊重學(xué)生認(rèn)知水平的基礎(chǔ)上，把現(xiàn)實生活中的情境生動地展示出來，為創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型提供生動豐富的現(xiàn)實支撐，讓學(xué)生依托生動的情境問題主動發(fā)現(xiàn)隱含其中的數(shù)學(xué)問題，從而為創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型奠定基礎(chǔ)。

【教學(xué)片段1】

師：把30個蘋果平均分給5位小朋友，一個小朋友能夠分到幾個蘋果？

生1：這個問題太簡單了。30÷5=6（個），一個小朋友能分到6個蘋果。

師：非常好。把問題改動一下：學(xué)校里有一段長30米的小路，要在這段小路上每隔5米種植一棵樹，一共需要幾棵樹呢？

生2：這個問題和剛才的問題不是一樣的嗎？30÷5=6（棵），一共需要6棵樹。

生3：不對。我算的是需要7棵樹。

師：為什么看似非常簡單的數(shù)學(xué)問題，大家卻得出了不同的結(jié)論呢？這節(jié)課我們就來研究“植樹問題（兩端都種）”，相信學(xué)完這節(jié)課以后，就可以很輕松地得出正確答案了。

生動的生活情境是建模思想的基石。教師首先以“分蘋果”的情境引入，在學(xué)生輕松得出正確答案后，教師順勢把問題轉(zhuǎn)化為植樹問題，學(xué)生在計算過程中，由于結(jié)果不一致發(fā)生了碰撞和沖突，進(jìn)而產(chǎn)生了進(jìn)一步探索的愿望。

二、把握本質(zhì)，構(gòu)建模型

建立數(shù)學(xué)模型的核心是引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實生活問題出發(fā)，用精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語言提煉出數(shù)學(xué)問題，分析數(shù)學(xué)問題中各個量之間的本質(zhì)聯(lián)系，使學(xué)生經(jīng)歷猜測、驗證、修訂和反思的完整過程，從而在建模過程中不斷豐富學(xué)生的思維方式，提高學(xué)生的思維品質(zhì)。

【教學(xué)片段2】

師：回到之前的問題：學(xué)校里有一段長30米的小路，要在這段小路上每間隔5米種植一棵樹，一共需要幾棵樹呢？

生1：可以試著用畫圖的方法來解決。

師：好，那就嘗試著畫圖來解決這個問題吧。

生2：我用整條線段來代表這段30米長的小路，用線段上的點代表樹，用小線段代表一個間隔。（如下圖）? ? ? ?[樹][5米][（30米小路）][ ]

生3：這個方法真好，把問題說得很清楚。

師：畫線段圖的方法很棒！把抽象的植樹問題轉(zhuǎn)化成了直觀的線段圖，一下子讓問題簡單了很多。

把具體的情境問題轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問題是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的重要一步。教師引導(dǎo)學(xué)生通過畫線段圖的方式把生活情境中的問題抽象化和數(shù)學(xué)化，在生活原型和數(shù)學(xué)問題之間搭建了一座橋梁。一棵棵樹轉(zhuǎn)化為線段圖上的一個個點，樹與樹之間的間隔轉(zhuǎn)化成了一條條小線段，從而生動形象地展示了植樹的整個過程。學(xué)生畫線段圖的過程，實際上就是把植樹的過程內(nèi)化于心的過程。

【教學(xué)片段3】

師：按照自己畫的線段圖數(shù)一數(shù)，一共需要幾棵樹呢？

生1：7棵。

生2：咦，30÷5=6，怎么數(shù)著線段上有7個點，這是怎么回事呢？

師：誰能為生2答疑解惑呢？

生3：線段的確是被分成了6段，但是如果把點和線段一一對應(yīng)起來就會發(fā)現(xiàn)，點的數(shù)量比線段要多一。如圖，第1個點對應(yīng)第1條線段，第2個點對應(yīng)第2條線段，第3個點對應(yīng)第3條線段……第6個點對應(yīng)第6條線段，這時還剩下第7個點。也就是說點數(shù)比線段數(shù)多1。

[ ][1? ? ? ? ? ? ? ?2? ? ? ? ? ? ?3? ? ? ? ? ? ? 4? ? ? ? ? ? ?5? ? ? ? ? ? ? 6]

師：那這個點數(shù)代表什么，線段數(shù)又代表什么呢？

生4：點數(shù)代表樹的棵數(shù)。

生5：線段數(shù)代表間隔數(shù)。

師：線段數(shù)與點數(shù)之間有什么關(guān)系呢？

生6：點數(shù)=線段數(shù)+1。

師：分析得很好，也就是說，棵數(shù)=間隔數(shù)+1。

生7：那間隔數(shù)是怎么計算出來的呢？

生8：這個好辦。全長÷間隔=間隔數(shù)。在這道題中，30÷5=6，6就是間隔數(shù)。

師：非常好。根據(jù)“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”，再加上剛才得出的“全長÷間隔=間隔數(shù)”，可以得出這樣的結(jié)論：棵數(shù)=全長÷間隔+1。

生9：為什么明明分成了6個間隔，卻需要7棵樹？

生10：棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系實際上就是線段圖上點數(shù)與線段數(shù)之間的關(guān)系。通過線段圖不難得出，點數(shù)比線段數(shù)多1。

師：改變路的全長，看看我們的結(jié)論是否還成立。請通過畫線段圖和計算來完成下面的表格。

[全長 間隔 間隔數(shù) 棵數(shù) 20米 5米 30米 5米 40米 5米 ]

生11：這是我填寫的表格。通過畫線段圖，我發(fā)現(xiàn)路的全長改變以后，“棵數(shù)=全長÷間隔+1”的結(jié)論依然是成立的。

[全長 間隔 間隔數(shù) 棵數(shù) 20米 5米 4個 5棵 30米 5米 6個 7棵 40米 5米 8個 9棵 ]

師：改變樹與樹之間的間隔，看看我們的結(jié)論是否還成立。請通過畫線段圖的方式進(jìn)行計算。

[全長 間隔 間隔數(shù) 棵數(shù) 30米 5米 30米 6米 30米 10米 ]

生12：這是我填的表格。通過畫線段圖，我發(fā)現(xiàn)樹與樹之間的間隔改變以后，“棵數(shù)=全長÷間隔+1”的結(jié)論依然是成立的。

[全長 間隔 間隔數(shù) 棵數(shù) 30米 5米 6個 7棵 30米 6米 5個 6棵 30米 10米 3個 4棵 ]

教師引導(dǎo)學(xué)生把線段圖和植樹問題緊密結(jié)合起來，概括出“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”的結(jié)論，在這個基礎(chǔ)上，結(jié)合“全長÷間隔=間隔數(shù)”，最終得出“棵數(shù)=全長÷間隔+1”，從而初步建立植樹問題的數(shù)學(xué)模型。縱觀整個過程，把棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段圖上點數(shù)與線段數(shù)之間的關(guān)系在建模過程中發(fā)揮了化繁為簡、化難為易的作用。為了使模型更加“豐滿”，教師采取了“變式”策略，通過變化“全長”和“間隔”驗證了模型的正確性，這就使得模型在解決此類問題時具有更為廣闊的應(yīng)用空間。

三、應(yīng)用模型，實現(xiàn)價值

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的目的是為了更好地解決現(xiàn)實生活中的問題，因此，數(shù)學(xué)模型建構(gòu)后必然要回歸到現(xiàn)實生活，才能凸顯其價值和生命力。

【教學(xué)片段4】

師：在生活中有類似的植樹問題嗎？

生1：公交車的站點問題實際上就是植樹問題。站點的個數(shù)相當(dāng)于棵數(shù)，站點與站點的距離相當(dāng)于間隔。

生2：馬路上安裝路燈也是植樹問題。路燈的個數(shù)相當(dāng)于棵數(shù)，路燈與路燈之間的距離相當(dāng)于間隔。

師：既然生活中的植樹問題這么多，那么我們就試著解決一個具體的問題吧。國慶節(jié)期間，一條長100米的馬路上要插上紅旗，每隔10米插一面紅旗，一共需要幾面紅旗呢？

生3：100÷10+1=11（面）。這個問題實際上也是植樹問題。紅旗的數(shù)量相當(dāng)于棵數(shù)，紅旗與紅旗的距離相當(dāng)于間隔，根據(jù)“棵數(shù)=全長÷間隔+1”可以推導(dǎo)出“紅旗數(shù)=全長÷間隔+1”。這樣就很容易得出結(jié)論了。

生4：建立模型的方法真巧妙呀，它使我們解決問題變得更容易了！

數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用過程實質(zhì)上就是對數(shù)學(xué)模型不斷進(jìn)行驗證和完善的過程。應(yīng)用模型的關(guān)鍵是要敏銳地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題與模型之間的共性與對應(yīng)關(guān)系。學(xué)生用“植樹問題”數(shù)學(xué)模型解決“插紅旗”的實際問題，顯示了數(shù)學(xué)模型在解決同類問題中的獨特優(yōu)勢。

建構(gòu)數(shù)學(xué)模型是優(yōu)化問題解決策略的重要途徑。教師要讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)建模在解決實際問題中帶來的便利，使學(xué)生初步具備建模意識，形成利用建模思想解決實際問題的能力。

（責(zé)編 童 夏）