構建數學模型，優化問題解決策略

姜麗華

[摘 要]數學建模能夠使學生深入數學問題的探索中，鍛煉學生的數學思維，使學生由原來的機械式識記轉化為主動探索知識，由原來的解決單一問題轉化為解決同類問題。以“植樹問題”教學為例，給出了建立數學模型的基本過程，即創設情境，感知模型;把握本質，構建模型;應用模型，實現價值。

[關鍵詞]數學模型;植樹問題;小學數學

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）17-0058-02

模型思想是重要的數學思想之一。數學建模能夠使學生深入數學問題的探索中，鍛煉學生的數學思維，使學生由原來的機械式識記轉化為主動探索知識，由原來的解決單一問題轉化為解決同類問題。下面以“植樹問題”教學為例，探討了建立數學模型的基本過程，力圖為數學課堂上滲透建模思想提供可行的方法論。

一、創設情境，感知模型

數學建模是一個從具體情境到抽象模型再回到實際應用的過程。數學來源于生活，最終為生活服務，因此，教師需要在充分了解和尊重學生認知水平的基礎上，把現實生活中的情境生動地展示出來，為創建數學模型提供生動豐富的現實支撐，讓學生依托生動的情境問題主動發現隱含其中的數學問題，從而為創建數學模型奠定基礎。

【教學片段1】

師：把30個蘋果平均分給5位小朋友，一個小朋友能夠分到幾個蘋果？

生1：這個問題太簡單了。30÷5=6（個），一個小朋友能分到6個蘋果。

師：非常好。把問題改動一下：學校里有一段長30米的小路，要在這段小路上每隔5米種植一棵樹，一共需要幾棵樹呢？

生2：這個問題和剛才的問題不是一樣的嗎？30÷5=6（棵），一共需要6棵樹。

生3：不對。我算的是需要7棵樹。

師：為什么看似非常簡單的數學問題，大家卻得出了不同的結論呢？這節課我們就來研究“植樹問題（兩端都種）”，相信學完這節課以后，就可以很輕松地得出正確答案了。

生動的生活情境是建模思想的基石。教師首先以“分蘋果”的情境引入，在學生輕松得出正確答案后，教師順勢把問題轉化為植樹問題，學生在計算過程中，由于結果不一致發生了碰撞和沖突，進而產生了進一步探索的愿望。

二、把握本質，構建模型

建立數學模型的核心是引導學生從現實生活問題出發，用精準的數學語言提煉出數學問題，分析數學問題中各個量之間的本質聯系，使學生經歷猜測、驗證、修訂和反思的完整過程，從而在建模過程中不斷豐富學生的思維方式，提高學生的思維品質。

【教學片段2】

師：回到之前的問題：學校里有一段長30米的小路，要在這段小路上每間隔5米種植一棵樹，一共需要幾棵樹呢？

生1：可以試著用畫圖的方法來解決。

師：好，那就嘗試著畫圖來解決這個問題吧。

生2：我用整條線段來代表這段30米長的小路，用線段上的點代表樹，用小線段代表一個間隔。（如下圖）? ? ? ?[樹][5米][（30米小路）][ ]

生3：這個方法真好，把問題說得很清楚。

師：畫線段圖的方法很棒！把抽象的植樹問題轉化成了直觀的線段圖，一下子讓問題簡單了很多。

把具體的情境問題轉化為抽象的數學問題是構建數學模型的重要一步。教師引導學生通過畫線段圖的方式把生活情境中的問題抽象化和數學化，在生活原型和數學問題之間搭建了一座橋梁。一棵棵樹轉化為線段圖上的一個個點，樹與樹之間的間隔轉化成了一條條小線段，從而生動形象地展示了植樹的整個過程。學生畫線段圖的過程，實際上就是把植樹的過程內化于心的過程。

【教學片段3】

師：按照自己畫的線段圖數一數，一共需要幾棵樹呢？

生1：7棵。

生2：咦，30÷5=6，怎么數著線段上有7個點，這是怎么回事呢？

師：誰能為生2答疑解惑呢？

生3：線段的確是被分成了6段，但是如果把點和線段一一對應起來就會發現，點的數量比線段要多一。如圖，第1個點對應第1條線段，第2個點對應第2條線段，第3個點對應第3條線段……第6個點對應第6條線段，這時還剩下第7個點。也就是說點數比線段數多1。

[ ][1? ? ? ? ? ? ? ?2? ? ? ? ? ? ?3? ? ? ? ? ? ? 4? ? ? ? ? ? ?5? ? ? ? ? ? ? 6]

師：那這個點數代表什么，線段數又代表什么呢？

生4：點數代表樹的棵數。

生5：線段數代表間隔數。

師：線段數與點數之間有什么關系呢？

生6：點數=線段數+1。

師：分析得很好，也就是說，棵數=間隔數+1。

生7：那間隔數是怎么計算出來的呢？

生8：這個好辦。全長÷間隔=間隔數。在這道題中，30÷5=6，6就是間隔數。

師：非常好。根據“棵數=間隔數+1”，再加上剛才得出的“全長÷間隔=間隔數”，可以得出這樣的結論：棵數=全長÷間隔+1。

生9：為什么明明分成了6個間隔，卻需要7棵樹？

生10：棵數與間隔數之間的關系實際上就是線段圖上點數與線段數之間的關系。通過線段圖不難得出，點數比線段數多1。

師：改變路的全長，看看我們的結論是否還成立。請通過畫線段圖和計算來完成下面的表格。

[全長 間隔 間隔數 棵數 20米 5米 30米 5米 40米 5米 ]

生11：這是我填寫的表格。通過畫線段圖，我發現路的全長改變以后，“棵數=全長÷間隔+1”的結論依然是成立的。

[全長 間隔 間隔數 棵數 20米 5米 4個 5棵 30米 5米 6個 7棵 40米 5米 8個 9棵 ]

師：改變樹與樹之間的間隔，看看我們的結論是否還成立。請通過畫線段圖的方式進行計算。

[全長 間隔 間隔數 棵數 30米 5米 30米 6米 30米 10米 ]

生12：這是我填的表格。通過畫線段圖，我發現樹與樹之間的間隔改變以后，“棵數=全長÷間隔+1”的結論依然是成立的。

[全長 間隔 間隔數 棵數 30米 5米 6個 7棵 30米 6米 5個 6棵 30米 10米 3個 4棵 ]

教師引導學生把線段圖和植樹問題緊密結合起來，概括出“棵數=間隔數+1”的結論，在這個基礎上，結合“全長÷間隔=間隔數”，最終得出“棵數=全長÷間隔+1”，從而初步建立植樹問題的數學模型。縱觀整個過程，把棵數與間隔數之間的關系轉化為線段圖上點數與線段數之間的關系在建模過程中發揮了化繁為簡、化難為易的作用。為了使模型更加“豐滿”，教師采取了“變式”策略，通過變化“全長”和“間隔”驗證了模型的正確性，這就使得模型在解決此類問題時具有更為廣闊的應用空間。

三、應用模型，實現價值

構建數學模型的目的是為了更好地解決現實生活中的問題，因此，數學模型建構后必然要回歸到現實生活，才能凸顯其價值和生命力。

【教學片段4】

師：在生活中有類似的植樹問題嗎？

生1：公交車的站點問題實際上就是植樹問題。站點的個數相當于棵數，站點與站點的距離相當于間隔。

生2：馬路上安裝路燈也是植樹問題。路燈的個數相當于棵數，路燈與路燈之間的距離相當于間隔。

師：既然生活中的植樹問題這么多，那么我們就試著解決一個具體的問題吧。國慶節期間，一條長100米的馬路上要插上紅旗，每隔10米插一面紅旗，一共需要幾面紅旗呢？

生3：100÷10+1=11（面）。這個問題實際上也是植樹問題。紅旗的數量相當于棵數，紅旗與紅旗的距離相當于間隔，根據“棵數=全長÷間隔+1”可以推導出“紅旗數=全長÷間隔+1”。這樣就很容易得出結論了。

生4：建立模型的方法真巧妙呀，它使我們解決問題變得更容易了！

數學模型的應用過程實質上就是對數學模型不斷進行驗證和完善的過程。應用模型的關鍵是要敏銳地發現數學問題與模型之間的共性與對應關系。學生用“植樹問題”數學模型解決“插紅旗”的實際問題，顯示了數學模型在解決同類問題中的獨特優勢。

建構數學模型是優化問題解決策略的重要途徑。教師要讓學生體驗數學建模在解決實際問題中帶來的便利，使學生初步具備建模意識，形成利用建模思想解決實際問題的能力。

（責編 童 夏）