小學數學教師怎樣打好數學功底

張良朋

【摘 要】認為小學數學知識很簡單的說法是片面的，小學數學教師需要專門研習小學數學知識才能達到深入理解的程度。小學數學教師的數學功底是一個由底層、中層、高層構成的三層次結構。小學數學教師打好數學功底的基本路徑有四條：成為一名“做題”高手，善于探問“為什么”，加強針對“理解數學”的研討活動，加強對“小學數學”著作的專題研習。

【關鍵詞】小學數學 數學功底 數學功底結構 理解數學

一、小學數學不簡單

請看幾則案例。

1.為什么把2月份定為平月

一位教師在教學“年、月、日”一課時，有學生提問：“為什么要把2月份定為平月呢？如果把1月份定為平月不是更好記嗎？”這一問題難住了教師和其他同學，過了一會兒，教師回應說：“你提的問題很有價值！也很難！現在老師也不知道問題的答案。同學們，這個問題留待你們課后去研究，看誰先找到答案告訴老師。”

盡管這位教師做出了比較“巧妙”的處理，引發了學生的課外探究活動，但作為一名數學教師，這樣的數學常識上課前就應該十分清楚。問題在于，教師過往的學習經歷并沒有給他提供這樣的知識儲備。“為什么要把2月份定為平月呢？”這涉及天文歷法中月份的劃分及其歷史演變，如果教師課前沒有做過專門的研習，那課堂上要做到從容應對真的挺難。

2.除數不能為0是種規定，記住就行

有學生問老師，為什么除數不能為0？教師回答，這是一個規定，我們只要記住就行了！課后，教研員和這位教師交流，談到除數為什么不能為0時，教師仍舊說：“這只是數學家的一種規定，小學生不需要知道原因。”教研員追問：“那為什么要做這種規定呢？”教師說：“那我真不清楚，應該只是數學家做的規定而已。”

規定？規定就只能記住了事？規定肯定是有原因的，探究這個原因很可能是件很有意思的事情。雖然不是每個規定背后的原因都有必要探究一番，但作為教師，如果能看到規定背后的數學意蘊和教育價值，就很有可能將之轉化為培育學生數學思維的良好機會。更值得警醒的是，拿著規定作為借口，輕易地掐滅學生追根究底的思維火花，這是多么荒謬的、沒有遠見的教學行為！追根究底不正是數學一直不斷向前發展的重要推動力嗎？

3.穩定性≠拉不動

“三角形的穩定性”在小學階段屬于“認識三角形”中的一個內容。在很多教師的課堂上，這一內容的教學通常是通過“拉一拉”的活動，引導學生得到“三角形拉不動，具有穩定性;四邊形可以拉動，不具有穩定性”的結論。

然而，這樣的教學其實并沒有反映出“穩定性”的數學意義。“三角形的穩定性”是三角形的一種數學性質，它是指當三角形三條邊的長度均確定時，三角形的形狀、大小就完全被確定，即不再改變。到了初中，可以用全等三角形判定定理“邊邊邊”來解釋三角形的穩定性。這說明，把教學的關注點主要集中在“三角形穩定性”所表現出的物理效果上（拉不動、受力后不變形），并沒有抓住“三角形穩定性”的真正數學內涵。

以上僅是從對數學知識的理解層面舉了3個例子，類似的例子能還能舉出不少。如果進一步聚焦于數學知識發生發展的過程、數學思想方法的運用、數學文化特質的表現，類似的爭議或錯誤會變得更多。由此可見，小學數學并不簡單，達成對小學數學的深刻理解很不容易，小學數學教師有必要對小學數學進行專門的研習。

二、數學教師需要打好數學功底

有研究指出：“有效的教學依賴于教師對所教內容的深層含義是否有堅實的理解。”相關的國際比較研究也證實，中國數學教育之所以能夠取得好的成績，關鍵之一是“教師對數學知識的深刻理解”。這表明，對數學知識的專業化理解水平高，本是我國小學數學教師所具有的一大優勢。但最近不少研究表明，小學數學教師的知識水平、專業水平確實不容樂觀，亟待提高，這在剛參加工作的青年教師身上表現得尤為明顯。雖然現在小學教師的“準入”門檻提高了，但這主要表現在學歷要求上。由于師范院校里教師教育課程設置和培養的局限性，剛參加工作的青年教師對小學數學知識的理解水平并不高。因此，有學者建議：“我認為培養青年教師的根本也在于提高他們的專業知識。這是練內功，內功不行，各種招數使出來都是花拳繡腿。”小學數學知識并不簡單，甚至可以說，真正展現小學數學知識的內在意蘊是件十分困難的事情。“我們教對了沒有？”——經常這樣自問不是很有必要嗎？

道理其實很簡單，如果一位數學教師在還沒有弄清“教什么”之前，就把全部精力放在活動過程的設計或者教法、學法的選擇上，這種過程只能炮制出一種“課堂秀”。缺失了對數學知識的專業化理解，無論我們的數學課堂教學看上去多么豐富多彩，在提升學生的數學素養上都是蒼白乏力的。正如英國學者賀斯所說：“對學科本質的認識是一切教學法的基礎。”所以數學教學的首要問題，不在于教學的更好方式是什么，而在于所教內容的數學本質是什么！

基于此，筆者認為小學數學教師夯實數學功底必須引起足夠重視。參照楊華老師對中學數學教師數學功底的研究成果，筆者給出小學數學教師數學功底的層次結構：

（1）底層是對小學數學知識的理解與把握。主要包括：①明了小學數學的背景、地位與作用;②精通小學數學的基礎知識、基本技能、基本思想方法;③熟悉小學數學內部的系統結構，知識與知識之間、知識與日常生活間的聯系;等等。

（2）中層是對整個數學學科以及相關學科的了解與把握。主要包括：①了解數學發展動態及最新研究成果;②掌握數學的一般方法和有關數學思維理論;③把握數學與相關學科在知識上、方法上、思維上的相互滲透、相通相融;等等。

（3）高層是數學素養。主要包括：①崇尚數學理性;②對數學所蘊含的文化價值、辯證規律、美學內蘊等有深刻的體會;③不滿足已知、有不斷求索新知的能力;等等。

對照這個數學功底的層次結構，不難發現：成為一名擁有良好數學功底的小學數學教師，不僅需要職前階段的認真學習，還需要在職階段繼續付出持久的努力。尤其是在數學功底的中層、高層上，由于師范院校職前培養階段所設課程中一直缺少真正面向小學數學本體知識的內容，而當前真正適用于小學數學教師的此類學習資料也相當缺乏，可能有很多教師想要有針對性地補強一下還是一件不容易完成的事。

三、怎樣才能打好數學功底

1.數學教師應該成為一名“做題”高手

同一般的“刷題”不同，教師中的“做題”高手有些特殊要求：（1）要把小學數學全套教材里的題目都認真做一遍，不論難易，都要踏踏實實過一遍，“不寫不知道”，自己經歷過了，才能更好地體會題目的來龍去脈，達成對數學知識的深度體會和整體把握。（2）除了把題目做對，還要想想為什么這樣做，即明了背后的道理，還要想想有沒有其他的思路和做法，還要琢磨一下學生可能會怎樣想，有哪些典型的錯誤，有沒有超乎常規的新思路和新做法。（3）要站在整體的視角審視每一道題，把握知識技能層面、思想方法層面，乃至理性修養層面的數學本質，這即是說要努力把知識“聯”起來、把方法“明”起來、讓思想“顯”出來，讓不同層次的數學“通”起來。這樣看似在下“笨”功夫，其實是深有益處的長久修煉。（4）適當做做初中的數學題目。據筆者調研，有相當多的小學數學教師，初中的數學知識都忘得差不多了，題目也基本都不會做了。這種現狀既不利于小學和初中的數學教學銜接，也不利于教師高屋建瓴地審視和把握小學數學知識及其蘊含的培養價值。

2.數學教師要善于探問“為什么”

受已有學習和教學經驗的影響，教師很容易“固化”自己的思維，以為自己的想法和做法就是標準答案，潛意識認定“只能這樣想（做）”，把所謂的數學規定視為“想當然”“本就如此”。這將導致教師對數學的理解停留在表層，停留在操作層，停留在“知其然，不知其所以然”的膚淺層，很可能碰到學生有些“另類”的或錯誤的想法時，就下意識地認為“不可思議”“不可理喻”。于是，武斷地阻斷學生的思路和表達，因而也就不能將其作為可貴的學習資源有效地引發學生的認知共振、思維共鳴和情感共通。

比如，在“萬以內退位減法”公開課中，有一個學生突然舉手問：“老師，退位減法一定要從個位算起嗎？從高位減起不行嗎？”

教師先請學生猜一猜，“從高位減起”可以嗎？學生意見不一，教師隨手在黑板上寫了三個算式作為新的探索材料。

師：從高位減起，有沒有遇到什么麻煩？

生1：后面計算時要退位比較麻煩。

生2：計算時，我對三個結果都進行了修改。

師：修改什么？

生2：那個計算結果，我修改了。

師：怎么改的？

生2：后面的計算向前一位退一以后，前面的差還要改下。

師：那你們有沒有辦法，讓差不做改動？

生3：我只要計算時，一心兩用，一下子看兩個數位，不退位好辦，要退位，寫差時少寫1。

師：你真厲害！看來這個方法是可行的，那課本上強調的“從個位算起”好像是多余的。

生1：我還是覺得從個位算起好，這樣簡單。

生2：我也覺得從個位算起好，不容易出錯。

師：就是這個道理，我們學習數學當然要選擇既簡單又不容易出錯的方法。

學生的這個問題，把原本專注探索退位減法計算法則的學生的興趣給轉移過來了，大家都很想知道結果，這時教師可以當場回答“不可以，因為那樣容易出錯”，然后繼續自己的教學，但這位教師的數學功底很好，他立刻意識到這個問題在學生心目中的地位，也了解“從高位算起”不是一種錯誤的方法，只是“從個位算起”更具優越性，解決這個問題可以解開學生的疑慮，也可以引導學生如何選擇更優方法，這個時間“浪費”得很值，這樣的教學偏離使得課堂綻放了深度的精彩。

3.加強針對“理解數學”的研討活動

在教學研討活動中，在進入“教法學法”層面的研討之前，最好先在“理解數學”上達成較有深度的共識，也就是說要自覺超越數學功底的底層，向中層、高層邁進。

（1）整體把握知識結構。不要做“只比學生領先一課時”的教師，要將數學的視角自覺向前、向后、向深處、向結構化延伸。比如，教學“三角形面積的計算”一課時，除了要想想三角形面積的計算與剛學過的平行四邊形面積的計算有何聯系、有何不同、關鍵何在、難點在哪，這樣對確定教學的起點至關重要，還要想想與將要學習的梯形面積的計算、組合圖形面積的計算有何關聯、如何孕伏、如何發展，還要想想這一系列的面積計算課共性在哪、各自的著力點在哪、如何實現數學思想方法層面的“通”與“進”。

（2）把準知識發展節點。比如，教學“用字母表示數”就不能只是簡單地教用字母“替換”數，而是要把握“用數字表示數”到“用字母表示數”認識鏈發展的節點在于“數”發生了變化，“以前的數都是確定的，所以用數字表示”到“現在的數是不確定的，無法表示為唯一的數字，于是選擇用字母表示”，進而為從算術思維到代數思維的飛躍奠定基礎。

（3）體現數學思維特質。特級教師張齊華十分推崇“教什么比怎么教更重要”的理念，他發表過這樣的觀點：“事實上， 數學教學并不是教師‘外在于數學， 以數學為純粹‘客體‘對象而從事的搬運工作。教師與數學， 二者理應相互交融、合二為一。一個優秀的數學教師站在講臺上， 他就是數學！ 教學活動中， 他的身上應該自然散發著一種獨特的數學光華與氣息， 一種源自理性、智慧、思辨的內在氣質。”

（4）重視“教材過關”考核。二十世紀八九十年代，我國數學教育界高度重視“教材過關”考核工作，要求每位數學教師都必須通過“教材過關”考核，這對夯實我國小學數學教師的數學功底起到了很好的助推作用。以史為鑒，筆者認為，有必要重提鉆研數學教材的教師基本功，每位數學教師都應參加并通過“教材過關”考核。

4.加強對“小學數學”著作的專題研習

通過書本自學是個簡便易行的好途徑。除了特級教師朱樂平領銜的團隊編撰的“一課研究”叢書，再推薦幾本較為系統的研究小學數學本體性知識的著作：（1）《小學數學教學基本概念解讀》（吳正憲，等），這是一本高觀點下的小學數學教學專著——書中梳理了小學數學中出現的幾乎所有基本概念，是一本廣度與深度兼具的工具書。（2）《小學數學教材中的大道理——核心概念的理解與呈現》（張奠宙，等），這本書直面教學中的兩個基本問題——“教什么”和“如何教”，以現代數學觀點與批判性視角對現行教材內容編排進行評述，不僅對一線教師理解教材具有啟發作用，更對推進小學數學教材建設做出了深入的思考。（3）《小學數學研究》（張奠宙，等），這本書以小學數學內容為研究對象，從數學上居高臨下地進行分析、拓寬和提高，旨在幫助小學教師加深對小學數學教學內容的理解。（4）《小學數學研究與教學指引》（章飛，等），這本書立足新課程改革的要求和變化，從數學科學發展、數學思想、數學史、學生數學認知現狀等視角對學科知識進行深度解讀，深入淺出，視角新穎，進而給出具體的教學方法和指導。（5）《小學數學研究》（曾小平、曹一鳴），該書對小學數學的基礎知識與思想方法，連同相關的背景知識進行了系統整理和科學嚴謹的闡述;對一些深奧的內容和疑難問題，結合實例進行了深入淺出的闡述;并在“教學鏈接”欄目中進行了通俗的解釋，給出了相關教學建議，以期提升讀者的數學學科素養，增強對小學數學課程與教學的認識。（6）《基本概念與運算法則——小學數學教學中的核心問題》（史寧中），這本書主要講述小學數學教學內容中的一些核心問題，在理解內容的基礎上，探討實現“四基”課程目標、適合小學生認知規律的教學方法。（7）《小學教師之友系列：基礎數學》（人民教育出版社小學數學室編著），這本書是以新課標為依據，在原中師教材《小學數學教材教法》第一冊的基礎上修訂而成，符合數學課程改革的基本理念，為教師打下數學課程標準規定內容的數學背景理論知識的專業基礎，能夠開闊教師視野，全面提高教師的數學素養。

【參考文獻】

翟琬平，郜舒竹.“三角形穩定性”的本質及其變教為學的方法[J].教學月刊，2015（7）.

注1：本文系淄博師專2020年校級課題“基于診斷的小學數學校本研究”的研究成果，2019年淄博市教育科學規劃課題“小學數學問診式校本教研實踐研究”（2019ZJY039）的研究成果。

注2：本文系國家社會科學基金“十三五”規劃2019年度教育學一般課題“新中國成立70年小學數學教育發展史研究”（BOA190223）階段研究成果。