借助“轉化”整合知識體系 通過“證明”聚焦深度學習

馬駿 羅建華

[摘 要]“三角形內角和”一課是學生探究圖形內角性質、揭示內角規律、梳理知識脈絡的典型內容。以“三角形內角和”一課為例，具體說明如何在教學中實現學生的整合性學習、意義性學習、批判性學習、階梯式學習，有效詮釋了“深度學習”之內涵，實現學生認知水平的逐級躍升和核心素養培養的落地。

[關鍵詞]深度學習;整合知識;三角形內角和

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）14-0048-03

深度學習作為培養學生核心素養的實踐途徑，要求學生圍繞具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與，體驗成功，獲得個體的發展。對于小學數學而言，深度學習的內涵囊括：新舊知識的整合性學習、深層思考的意義性學習、客觀理性的批判性學習、由表及里的階梯式學習。依據“SOLO理論”，其教學效果體現為：實現學生的認知水平從單一結構開始，逐步經歷多元結構、關聯結構，進而達到抽象拓展結構的水平。

“三角形內角和”屬于四年級下冊內容，是在學生認識三角形（概念、要素、特征）的基礎上，進一步研究圖形的性質，是學生對三角形從感性認識到理性認識的一次提升，是從外在特征到內在本質的一次轉折，是從研究構成要素到研究要素之間關系的一次飛躍。而這一階段的學生，以具體形象思維為主，同時抽象思維已經開始發展，具備了一定的邏輯推理能力。下面就以本課為例，說明如何在教學中踐行深度學習理念。

一、問題引領，質疑反思

“深度學習”之基本樣態，即以創設問題為前提、生成問題為核心、釋疑問題為關鍵，逐步引導學生“淺入深出”。在學習過程中，學生從多個維度來進行批判性分析，進而發現疑問、修正結論。

1.從常識出發，引出問題

師（大屏幕呈現一套三角板）：這是什么？順著邊描出兩個三角形，對于這兩個三角形的內角，你們了解多少呢？

生1：一個三角形的內角分別是30°、60°、90°，另一個三角形有兩個內角均是45°，還有一個內角是90°。

生2：一個三角形的內角和是30°+60°+90°=180°，另一個三角形的內角和是45°+45°+90°，也等于180°。

師：內角和為180°到底是這兩個三角形的現象，還是所有三角形的普遍規律呢？

生（異口同聲）：應該是普遍規律。

師：那該如何驗證呢？今天這節課咱們就一起來研究這個問題。

上述教學中，以學生熟悉的直角三角板引入，從學生的已有知識出發，從個別到一般，打開學生視野，以驗證普遍規律為切入點，生成本節課的核心問題：如何證明三角形的內角和是180°？

2.交流分享，引發質疑

師：下面請大家利用三角形模型或者學習單上的三角形來驗證三角形的內角和是180°。

生1：我的方法是量一量，先量出每個內角的度數，然后加在一起，正好是180°，所以三角形的內角和是180°。

生2：他的說法不嚴謹，應該多量幾個三角形才行。

師：那我們就多請幾位同學來說說量的結果。

（連續幾位學生都說自己所量度數之和為180°）

師：大家量出的三角形內角和都是180°嗎？

生3：我量出來的度數之和是178°。

（馬上有其他學生說出自己得到的度數之和，教師板書記錄：179°、182°、176°、185°……）

師：看看黑板上的這些結果，你們能得出什么結論呢？

生4：只通過量一量就說明三角形的內角和為180°，不嚴謹。

生5：我來補充，得到的結果雖然很多不是180°，但都接近180°，所以結論是：三角形的內角和可能是180°。

師：除了量一量，大家還有別的方法嗎？

生6：還可以折一折、拼一拼。

師：大家都用手里的模型來折一折、拼一拼，看看能得出什么結論？

生7：因為用折一折、拼一拼的方法，角和角之間會有重疊或者縫隙，拼出來的角也只是看上去像個平角，所以也只能得出三角形的內角和可能是180°。

師：看來，量一量、折一折、拼一拼都只能證明三角形的內角和可能是180°。

在上述教學中，學生交流互動，質疑反思，修正觀念。具體包括：

（1）研究的對象。從根據單個三角形得出結論，拓展到根據不完全歸納法大量舉例驗證。

（2）結果的分享。由最初的只有180°一種結果，逐步還原為大量學生所得結果為180°左右的真實數據。

（3）矛盾的產生。從源于常識“三角形的內角和是180°”，到證明得出“三角形的內角和可能是180°”。

學生以生生互評的方式，理性地對其中的方法和結論進行審視、分析與評價。

二、遷移轉化，層層驗證

“深度學習”之特征要義，就是基于問題將多維知識進行整合，構建知識之間的多元連接，實現對知識的整體感知與運用。同時，要逐步超越“表層”的學習，進入知識的“深處”，把握數學本質和思想方法，從理性思維走向理性精神。

1.跳出“藩籬”，連通“已知”

師：大家對這樣的結論滿意嗎？如何證明三角形的內角和一定是180°呢？想一想，每當我們遇到新的問題時，我們就會——

生1：用原有的知識試著解答。

師：說到內角和，我們知道哪些圖形的內角？（屏幕呈現三角形、長方形、正方形、平行四邊形）

生2：長方形和正方形的內角和已知，一定是360°，因為四個內角都是90°。

師：那能不能在長方形或正方形中找出三角形，并證明三角形的內角和是180°呢？大家可以利用學習單上的長方形或正方形來動手試一試。

生3：畫出正方形的對角線，會得到兩個一模一樣的等腰直角三角形，這個三角形的內角和就是360°÷2=180°。

生4：畫出長方形的對角線，會得到兩個一模一樣的直角三角形，這個三角形的內角和也是360°÷2=180°。

（其他學生的展示略）

師：從剛才的證明中，能得出什么結論？

生5：直角三角形的內角和是180°。

在教師的引導下，學生嘗試結合已有的知識，去搭建新舊知識之間的橋梁。學生的認知發展水平，也從最初只圍繞三角形本身的單一結構，跨越到了多元結構，建立起了正方形和長方形與直角三角形的聯系。證明的方法，也從原本的動手操作深化為邏輯推理。

2.再次“轉化”，完成“證明”

師：那除了直角三角形以外，還有什么三角形？

生1：還有銳角三角形和鈍角三角形。

師：你們能不能借助直角三角形，證明另外兩類三角形的內角和也是180°？

生2：在銳角三角形中，畫一條高，這個高把銳角三角形分成兩個直角三角形（如圖1），也就是180°×2=360°，這里多了一個平角，但這個平角不是原來三角形的內角，所以還要用360°-180°=180°。

生3：鈍角三角形的證明方法也一樣，從鈍角的頂點出發向對邊畫高，也把鈍角三角形分成兩個直角三角形（如圖2），同時又多了一個平角，所以鈍角三角形的內角和也是180°×2=360°，360°-180°=180°。

師：我們已經證明了直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三種三角形的內角和都是180°。那我們回顧一下，剛才是怎樣一步一步來完成驗證的。

生4：把已知內角和的長方形和正方形轉化為兩個一模一樣的直角三角形，證明了直角三角形的內角和是180°，再把銳角三角形和鈍角三角形轉換為兩個直角三角形，證明各自內角和也是180°。

師：生4的描述不僅完整，還體現了一個重要的數學思想——

生5：轉化思想。

在這一教學片段中，學生利用“轉化”的方式，完成了從直角三角形到銳角三角形、鈍角三角形內角和的證明。通過知識的靈活遷移運用，學生在相似情境中能夠做到觸類旁通、舉一反三，創造性地解決問題。在證明命題的同時，學生抽象和概括出所蘊含的數學思想，實現深層思考的意義性學習。

三、總結凝練，抽象拓展

“深度學習”之拓展延伸，就是在掌握了基本知識和技能之后，重新回歸系統的、整體的視角，將知識點納入知識體系當中，按照學段特點，將學生的認知水平從多元結構，逐步提升到關聯結構，直到形成抽象拓展結構，概括出其內在特征，形成一般性的數學模型。

師：通過今天的學習，你們有哪些收獲？

生1：知道了三角形的內角和是180°，感受到了數學的嚴謹精神，通過轉化思想證明了三角形的內角和是180°。

（其他回答略）

師：今天這節課，大家對什么內容印象最深？

生2：轉化思想。

師：能不能通過轉化，用今天學到的知識來解決其他問題呢？如四邊形的內角和是多少。

生3：四邊形的內角和是180°×2=360°，因為可以將四邊形轉化為2個三角形。

師：那五邊形呢？六邊形呢？如果不畫圖，你們知道十邊形、百邊形的內角和是多少度嗎？

（學生回答略）

師：如果是n邊形呢？（n≥3，且n為整數）它的內角和是多少度呢？

生4：內角和是180°×（n-2）。

通過學生對課堂收獲的反饋，教師將重心再次放在轉化思想上，引導學生主動地將本節課所學知識作為新的學習起點，由三角形拓展到四邊形、五邊形、六邊形等，并歸納總結出多邊形內角和的計算公式，明晰了知識與知識之間的聯系，實現了整個知識體系的建構，深化了學生的學科理解和方法感悟。

在“三角形內角和”一課的教學設計中，以知識統整，作為證明的路徑和最終的教學目標;以學科本質，來引領學生形成深切體驗和深入思考;以理性批判，來審視證明方法并在必要時調整途徑;以階梯遞進，實現從數學操作到邏輯推理，從一類圖形到各類多邊形的全覆蓋。讓教學走向深入、走向深刻、走向深度，實現培養學生核心素養的教學目標。

縱觀整個教學過程，問題來源于學生已有的知識儲備，矛盾產生于學生操作和證明的局限，思維升華于學生將新概念與已有概念的串聯溝通，視野拓展于學生再次利用轉化思想打通整個知識體系。整節課經歷了“命題提出—初步證明—發現矛盾—修改路徑—轉化證明—體系建構”的完整過程。讓學生的邏輯推理素養得到了鍛煉和提升，讓數學學習在質疑精神和知識整合中走向深刻。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 馬云鵬，吳正憲.深度學習：走向核心素養（學科教學指南·小學數學）[M].北京：教育科學出版社，2019.

[2] 王慶菊.深度學習：讓學習真正發生[J].小學教學參考，2019（20）.

[3] 張曉蕓.深度學習的關鍵技術：小學數學課堂教學問題設計的實踐研究[J].小學數學教師，2020（3）.

[4] 蘇明強.魅力課堂：追求教學的三個“有利于”：以“三角形內角和”的教學為例[J].小學教學研究，2018（28）.

（責編 黃春香）