借助“轉(zhuǎn)化”整合知識體系 通過“證明”聚焦深度學習

馬駿 羅建華

[摘 要]“三角形內(nèi)角和”一課是學生探究圖形內(nèi)角性質(zhì)、揭示內(nèi)角規(guī)律、梳理知識脈絡的典型內(nèi)容。以“三角形內(nèi)角和”一課為例，具體說明如何在教學中實現(xiàn)學生的整合性學習、意義性學習、批判性學習、階梯式學習，有效詮釋了“深度學習”之內(nèi)涵，實現(xiàn)學生認知水平的逐級躍升和核心素養(yǎng)培養(yǎng)的落地。

[關(guān)鍵詞]深度學習;整合知識;三角形內(nèi)角和

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）14-0048-03

深度學習作為培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的實踐途徑，要求學生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學習主題，全身心積極參與，體驗成功，獲得個體的發(fā)展。對于小學數(shù)學而言，深度學習的內(nèi)涵囊括：新舊知識的整合性學習、深層思考的意義性學習、客觀理性的批判性學習、由表及里的階梯式學習。依據(jù)“SOLO理論”，其教學效果體現(xiàn)為：實現(xiàn)學生的認知水平從單一結(jié)構(gòu)開始，逐步經(jīng)歷多元結(jié)構(gòu)、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，進而達到抽象拓展結(jié)構(gòu)的水平。

“三角形內(nèi)角和”屬于四年級下冊內(nèi)容，是在學生認識三角形（概念、要素、特征）的基礎上，進一步研究圖形的性質(zhì)，是學生對三角形從感性認識到理性認識的一次提升，是從外在特征到內(nèi)在本質(zhì)的一次轉(zhuǎn)折，是從研究構(gòu)成要素到研究要素之間關(guān)系的一次飛躍。而這一階段的學生，以具體形象思維為主，同時抽象思維已經(jīng)開始發(fā)展，具備了一定的邏輯推理能力。下面就以本課為例，說明如何在教學中踐行深度學習理念。

一、問題引領(lǐng)，質(zhì)疑反思

“深度學習”之基本樣態(tài)，即以創(chuàng)設問題為前提、生成問題為核心、釋疑問題為關(guān)鍵，逐步引導學生“淺入深出”。在學習過程中，學生從多個維度來進行批判性分析，進而發(fā)現(xiàn)疑問、修正結(jié)論。

1.從常識出發(fā)，引出問題

師（大屏幕呈現(xiàn)一套三角板）：這是什么？順著邊描出兩個三角形，對于這兩個三角形的內(nèi)角，你們了解多少呢？

生1：一個三角形的內(nèi)角分別是30°、60°、90°，另一個三角形有兩個內(nèi)角均是45°，還有一個內(nèi)角是90°。

生2：一個三角形的內(nèi)角和是30°+60°+90°=180°，另一個三角形的內(nèi)角和是45°+45°+90°，也等于180°。

師：內(nèi)角和為180°到底是這兩個三角形的現(xiàn)象，還是所有三角形的普遍規(guī)律呢？

生（異口同聲）：應該是普遍規(guī)律。

師：那該如何驗證呢？今天這節(jié)課咱們就一起來研究這個問題。

上述教學中，以學生熟悉的直角三角板引入，從學生的已有知識出發(fā)，從個別到一般，打開學生視野，以驗證普遍規(guī)律為切入點，生成本節(jié)課的核心問題：如何證明三角形的內(nèi)角和是180°？

2.交流分享，引發(fā)質(zhì)疑

師：下面請大家利用三角形模型或者學習單上的三角形來驗證三角形的內(nèi)角和是180°。

生1：我的方法是量一量，先量出每個內(nèi)角的度數(shù)，然后加在一起，正好是180°，所以三角形的內(nèi)角和是180°。

生2：他的說法不嚴謹，應該多量幾個三角形才行。

師：那我們就多請幾位同學來說說量的結(jié)果。

（連續(xù)幾位學生都說自己所量度數(shù)之和為180°）

師：大家量出的三角形內(nèi)角和都是180°嗎？

生3：我量出來的度數(shù)之和是178°。

（馬上有其他學生說出自己得到的度數(shù)之和，教師板書記錄：179°、182°、176°、185°……）

師：看看黑板上的這些結(jié)果，你們能得出什么結(jié)論呢？

生4：只通過量一量就說明三角形的內(nèi)角和為180°，不嚴謹。

生5：我來補充，得到的結(jié)果雖然很多不是180°，但都接近180°，所以結(jié)論是：三角形的內(nèi)角和可能是180°。

師：除了量一量，大家還有別的方法嗎？

生6：還可以折一折、拼一拼。

師：大家都用手里的模型來折一折、拼一拼，看看能得出什么結(jié)論？

生7：因為用折一折、拼一拼的方法，角和角之間會有重疊或者縫隙，拼出來的角也只是看上去像個平角，所以也只能得出三角形的內(nèi)角和可能是180°。

師：看來，量一量、折一折、拼一拼都只能證明三角形的內(nèi)角和可能是180°。

在上述教學中，學生交流互動，質(zhì)疑反思，修正觀念。具體包括：

（1）研究的對象。從根據(jù)單個三角形得出結(jié)論，拓展到根據(jù)不完全歸納法大量舉例驗證。

（2）結(jié)果的分享。由最初的只有180°一種結(jié)果，逐步還原為大量學生所得結(jié)果為180°左右的真實數(shù)據(jù)。

（3）矛盾的產(chǎn)生。從源于常識“三角形的內(nèi)角和是180°”，到證明得出“三角形的內(nèi)角和可能是180°”。

學生以生生互評的方式，理性地對其中的方法和結(jié)論進行審視、分析與評價。

二、遷移轉(zhuǎn)化，層層驗證

“深度學習”之特征要義，就是基于問題將多維知識進行整合，構(gòu)建知識之間的多元連接，實現(xiàn)對知識的整體感知與運用。同時，要逐步超越“表層”的學習，進入知識的“深處”，把握數(shù)學本質(zhì)和思想方法，從理性思維走向理性精神。

1.跳出“藩籬”，連通“已知”

師：大家對這樣的結(jié)論滿意嗎？如何證明三角形的內(nèi)角和一定是180°呢？想一想，每當我們遇到新的問題時，我們就會——

生1：用原有的知識試著解答。

師：說到內(nèi)角和，我們知道哪些圖形的內(nèi)角？（屏幕呈現(xiàn)三角形、長方形、正方形、平行四邊形）

生2：長方形和正方形的內(nèi)角和已知，一定是360°，因為四個內(nèi)角都是90°。

師：那能不能在長方形或正方形中找出三角形，并證明三角形的內(nèi)角和是180°呢？大家可以利用學習單上的長方形或正方形來動手試一試。

生3：畫出正方形的對角線，會得到兩個一模一樣的等腰直角三角形，這個三角形的內(nèi)角和就是360°÷2=180°。

生4：畫出長方形的對角線，會得到兩個一模一樣的直角三角形，這個三角形的內(nèi)角和也是360°÷2=180°。

（其他學生的展示略）

師：從剛才的證明中，能得出什么結(jié)論？

生5：直角三角形的內(nèi)角和是180°。

在教師的引導下，學生嘗試結(jié)合已有的知識，去搭建新舊知識之間的橋梁。學生的認知發(fā)展水平，也從最初只圍繞三角形本身的單一結(jié)構(gòu)，跨越到了多元結(jié)構(gòu)，建立起了正方形和長方形與直角三角形的聯(lián)系。證明的方法，也從原本的動手操作深化為邏輯推理。

2.再次“轉(zhuǎn)化”，完成“證明”

師：那除了直角三角形以外，還有什么三角形？

生1：還有銳角三角形和鈍角三角形。

師：你們能不能借助直角三角形，證明另外兩類三角形的內(nèi)角和也是180°？

生2：在銳角三角形中，畫一條高，這個高把銳角三角形分成兩個直角三角形（如圖1），也就是180°×2=360°，這里多了一個平角，但這個平角不是原來三角形的內(nèi)角，所以還要用360°-180°=180°。

生3：鈍角三角形的證明方法也一樣，從鈍角的頂點出發(fā)向?qū)叜嫺撸舶砚g角三角形分成兩個直角三角形（如圖2），同時又多了一個平角，所以鈍角三角形的內(nèi)角和也是180°×2=360°，360°-180°=180°。

師：我們已經(jīng)證明了直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三種三角形的內(nèi)角和都是180°。那我們回顧一下，剛才是怎樣一步一步來完成驗證的。

生4：把已知內(nèi)角和的長方形和正方形轉(zhuǎn)化為兩個一模一樣的直角三角形，證明了直角三角形的內(nèi)角和是180°，再把銳角三角形和鈍角三角形轉(zhuǎn)換為兩個直角三角形，證明各自內(nèi)角和也是180°。

師：生4的描述不僅完整，還體現(xiàn)了一個重要的數(shù)學思想——

生5：轉(zhuǎn)化思想。

在這一教學片段中，學生利用“轉(zhuǎn)化”的方式，完成了從直角三角形到銳角三角形、鈍角三角形內(nèi)角和的證明。通過知識的靈活遷移運用，學生在相似情境中能夠做到觸類旁通、舉一反三，創(chuàng)造性地解決問題。在證明命題的同時，學生抽象和概括出所蘊含的數(shù)學思想，實現(xiàn)深層思考的意義性學習。

三、總結(jié)凝練，抽象拓展

“深度學習”之拓展延伸，就是在掌握了基本知識和技能之后，重新回歸系統(tǒng)的、整體的視角，將知識點納入知識體系當中，按照學段特點，將學生的認知水平從多元結(jié)構(gòu)，逐步提升到關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，直到形成抽象拓展結(jié)構(gòu)，概括出其內(nèi)在特征，形成一般性的數(shù)學模型。

師：通過今天的學習，你們有哪些收獲？

生1：知道了三角形的內(nèi)角和是180°，感受到了數(shù)學的嚴謹精神，通過轉(zhuǎn)化思想證明了三角形的內(nèi)角和是180°。

（其他回答略）

師：今天這節(jié)課，大家對什么內(nèi)容印象最深？

生2：轉(zhuǎn)化思想。

師：能不能通過轉(zhuǎn)化，用今天學到的知識來解決其他問題呢？如四邊形的內(nèi)角和是多少。

生3：四邊形的內(nèi)角和是180°×2=360°，因為可以將四邊形轉(zhuǎn)化為2個三角形。

師：那五邊形呢？六邊形呢？如果不畫圖，你們知道十邊形、百邊形的內(nèi)角和是多少度嗎？

（學生回答略）

師：如果是n邊形呢？（n≥3，且n為整數(shù)）它的內(nèi)角和是多少度呢？

生4：內(nèi)角和是180°×（n-2）。

通過學生對課堂收獲的反饋，教師將重心再次放在轉(zhuǎn)化思想上，引導學生主動地將本節(jié)課所學知識作為新的學習起點，由三角形拓展到四邊形、五邊形、六邊形等，并歸納總結(jié)出多邊形內(nèi)角和的計算公式，明晰了知識與知識之間的聯(lián)系，實現(xiàn)了整個知識體系的建構(gòu)，深化了學生的學科理解和方法感悟。

在“三角形內(nèi)角和”一課的教學設計中，以知識統(tǒng)整，作為證明的路徑和最終的教學目標;以學科本質(zhì)，來引領(lǐng)學生形成深切體驗和深入思考;以理性批判，來審視證明方法并在必要時調(diào)整途徑;以階梯遞進，實現(xiàn)從數(shù)學操作到邏輯推理，從一類圖形到各類多邊形的全覆蓋。讓教學走向深入、走向深刻、走向深度，實現(xiàn)培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的教學目標。

縱觀整個教學過程，問題來源于學生已有的知識儲備，矛盾產(chǎn)生于學生操作和證明的局限，思維升華于學生將新概念與已有概念的串聯(lián)溝通，視野拓展于學生再次利用轉(zhuǎn)化思想打通整個知識體系。整節(jié)課經(jīng)歷了“命題提出—初步證明—發(fā)現(xiàn)矛盾—修改路徑—轉(zhuǎn)化證明—體系建構(gòu)”的完整過程。讓學生的邏輯推理素養(yǎng)得到了鍛煉和提升，讓數(shù)學學習在質(zhì)疑精神和知識整合中走向深刻。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 馬云鵬，吳正憲.深度學習：走向核心素養(yǎng)（學科教學指南·小學數(shù)學）[M].北京：教育科學出版社，2019.

[2] 王慶菊.深度學習：讓學習真正發(fā)生[J].小學教學參考，2019（20）.

[3] 張曉蕓.深度學習的關(guān)鍵技術(shù)：小學數(shù)學課堂教學問題設計的實踐研究[J].小學數(shù)學教師，2020（3）.

[4] 蘇明強.魅力課堂：追求教學的三個“有利于”：以“三角形內(nèi)角和”的教學為例[J].小學教學研究，2018（28）.

（責編 黃春香）