平面圖形概念教學的“動”與“靜”

李丹 王俊亮

摘要：小學階段，平面圖形的定義往往以靜態的描述為主，而無論是空間觀念的培養，還是圖形意識的形成，都需要學生經歷觀察、抽象、想象和描述等活動，并在活動中形成對平面圖形本質的認識。小學階段平面圖形的教學，應緊扣教材“靜態”定義，輔以操作性的“運動”視角：靜中求動，在“動”中建構概念;動中取靜，在“靜”中突出本質;動靜結合，在“用”中融會貫通。

關鍵詞：平面圖形;概念教學;動態;靜態

“平面圖形”是小學數學課程“圖形與幾何”領域中非常重要的一部分內容。現行小學數學教材對平面圖形的定義往往以描述性語言為主：給出若干生活中的實物圖，從中抽取某些圖形，然后明確“像這樣的圖形就是……”。這樣靜態的描述性定義不能凸顯圖形的性質以及知識之間的聯系。教學中，可“靜中求動”“動中取靜”“動靜結合”，幫助學生建構平面圖形概念。

一、靜中求動：在“動”中直觀建構

嚴格而言，有關圖形的概念是提煉到抽象層面的數學對象，這樣的概念是一種理念上的存在。而高度抽象的概念對于小學生而言是難以理解的，不能讓學生很好地感受這些概念的本質。小學生對平面圖形的認識仍然以感性認知為主、抽象思維為輔。對此，與其讓學生“說千遍”，不如讓他們“做一遍”，在“動”中經歷知識的產生過程，建構完整、準確、“有血有肉”的平面圖形概念。

例如，“射線”和“直線”都是無限長的，是純數學抽象的產物，在現實生活中缺乏有效的直觀形象支撐，諸如探照燈、鐵軌等都是用有限比喻無限，不能真的達到無限。同時，學生對于“直線”和“射線”的表達只能在有限的紙面上，在有限中表示無限，這對學生的符號化能力有著較高的要求。于是，教學“射線、直線和線段的認識”這部分內容時，可借助平移運動讓學生經歷從點到線的過程。

師（在黑板上畫一個點）看！這是一個點。如果把這個點向右平移，并保留每個位置上的點，你會看到什么？

生這些點連成了一條線段。

師你怎么知道它能連成一條線段的？

生以前學過，直直的、有兩個端點的就是一條線段。

師如果這個點繼續往右平移并保留每個位置上的點呢？

生那將會是一條特別長的線段。

師想象一下，如果這個點一直往右平移，那它還是一條線段嗎？

生我覺得不是線段。因為雖然有的線段很長，但還是能測量出長度;如果這個點一直往右延伸的話，我們就無法測量出它的長度了。

師是的，所以當線段的一端無限延伸，就不是線段了，它有一個新的名字：射線。說說看，你覺得射線是什么樣的？

生把線段的一端無限延長。

師如果兩端都無限延伸，它還是射線嗎？

生應該不是了。

生那就是直線了。

師你說得沒錯，這是直線。（課件顯示線段、射線、直線圖）比較一下射線、直線和線段，它們之間有什么聯系和區別？

生它們都是直直的。

生線段有兩個端點，射線有一個端點，而直線沒有端點。

生射線和直線，都可以無限延伸。只不過射線是往一端無限延伸，而直線可以往兩端無限延伸。

生我感覺直線最長，射線其次，線段最短。

生線段是可以測量出長度的，但是我們沒有辦法測量出射線和直線的長度，所以無法比較它們的長度。

生直線、射線、線段很像，都是直的。從直線當中截取一部分就能得到射線和線段;也可以把線段的一端無限延伸得到射線，兩端無限延伸得到直線。

建構主義學習觀認為，學生的數學學習是一種自主的、能動的、有意義的建構過程。而經歷數學知識形成的過程，有助于學生形成知識的整體建構。學生學習圖形，并不是一味地識記圖形的形狀、名稱、性質或量的計算公式，而要通過具體的操作活動去感知、發現，建構正確的空間形式和關系。從“線”的概念特質出發，直線和射線都是動態的概念。“無限延伸”也是動態的，它指向“一端”或“兩端”的永無止境的向前延伸，畫出來的、表示出的直線和射線永遠只是一部分。因而，把原本教材中和生活中靜態的“直線”“射線”“線段”都看成“點”的平移運動的結果，引導學生想象“如果這個點一直往右平移會怎么樣”，由此感受到“線”是“點”的移動軌跡。化靜為動，讓學生經歷直線、射線、線段的產生過程，于動態的情境中建構直觀的概念。

二、動中取靜：在“靜”中突出本質

圖形的運動是研究圖形性質和探索圖形面積計算的重要工具。在平面圖形概念中，常常會遇到一個概念有著多種形狀和位置。以“角”為例，把角看作射線圍繞頂點旋轉出來的圖形，角的大小就可以看作運動過程中的連續變量。在這個動態的過程中，會產生銳角、直角、鈍角、平角、周角等許多相關的子概念，并且它們表現出的非本質屬性各不相同。教師在教學中需要“削枝強干”“動中取靜”，突出圖形概念的本質屬性。

例如，教學“三角形的面積計算”時，教師讓學生通過對三角形的紙片進行操作，探究三角形面積的計算方法。

師同學們都是怎么計算三角形面積的？

生（展示方法，如下頁圖1）我把兩個一模一樣的三角形拼成一個平行四邊形，兩個三角形的底就是平行四邊形的上底和下底，三角形的高就是平行四邊形的高，所以求出平行四邊形的面積后除以二就是三角形的面積。

生（展示方法，如圖2）我把三角形橫著從中間（中位線）分成兩半，然后把上面的小三角形豎著分成兩半，再旋轉一下拼成一個長方形。長方形的長是三角形的底，長方形的寬是三角形高的一半，所以三角形的面積就是底乘高的一半。

生（展示方法，如圖3）我是在三角形內部畫一條高，把這個三角形分成兩個小三角形。然后，再過三角形的頂點畫出三角形底邊的平行線和高的兩條平行線，這樣一連就是長方形。從圖上我們看到左邊小三角形的面積是左邊小長方形面積的一半，右邊小三角形的面積是右邊小長方形面積的一半，合起來就是長方形面積的一半，長方形的底是三角形的底，長方形的高是三角形的高，所以三角形的面積就是底乘高除以二。

師大家的方法有很多，這么多種方法之間有什么共同之處呢？

生無論是什么方法，求三角形的面積都是把三角形的底和高相乘再除以二。

生他們都是把三角形剪一剪、拼一拼，或是補一補，轉化成長方形或者平行四邊形，然后再用這些圖形的面積除以二。

生我覺得這里都是把沒有學過的圖形轉化成學過的圖形，然后再找到它們之間的關系，算出新圖形的面積。

……

對于剛剛進入多邊形面積學習的學生而言，利用圖形的運動展開空間想象是具有一定的學習難度的。“動”具有不確定性，學生不好把握，怎樣突破“動”帶來的多樣變化產生的不確定性呢？小學生對圖形的認知遵循著“直覺動作思維—直觀表象思維—抽象邏輯思維”的規律，于是，教師設計學習活動，引導學生借助實驗操作，展開自主研究。學生利用圖形的變化，將三角形轉化為平行四邊形或長方形，進而推導出三角形的面積公式。這個過程是動態的，而為了讓學生發現動態過程中不變的規律，需要抓住平面圖形概念的“邊界”，讓它“靜”下來。教師利用板書、課件以及學生自己的作品，定格住操作過程中的關鍵片段，引導學生發現“求三角形的面積都是把三角形的底和高相乘再除以二”“都是把沒有學過的圖形轉化成學過的圖形”。

平面圖形概念教學，通過“動”能夠多元地、直觀地呈現出知識本身的結構，便于學生理解概念;而“靜”下來的片段更有利于學生進行觀察、對比，發現背后的規律。教師需要以核心問題串聯起整個學習活動，“動”中取“靜”，引導學生發現“運動”背后那不變的真理，強化對知識本質的理解。

三、動靜結合：在“用”中融會貫通

數學對象是明確定義的產物，數學結論又是按照相應的定義與給定的推理規則進行推理的結果，因此，數學對象的性質就完全反映于它們的相互關系。這也是指數學對象的建構實際上是一種整體性的建構活動。教師需要以整體的視野，采用“動靜結合”的方法，確定教學目標，預設教學過程。在教學中還要注意從知識體系和學生已有認知結構等多方面理清各平面圖形的核心概念和學習過程，使得不同年級平面圖形的學習連貫一致又各有側重，循序漸進又不脫節。

例如，為了讓二年級學生真正認識角，教師在觀察“靜態角”的基礎上，從“運動”的角度展開了如下教學：

（教師課件展示圖4所示的角的教具，要求學生指出角的頂點和邊。）

師要想讓這個角變得更大一些，可以怎么做呢？請你從材料袋中選擇合適的材料，自己動手試一試。

（學生活動。教師選擇學生作品交流。）

師（出示圖5）老師把小明同學的作品拍了下來，請同學們看看，角變大了嗎？你是怎么想的？

生變大了。

（不少學生點頭附和。）

生我覺得角并沒有變大，他只是把這個角的邊延長了，（用手在角的兩邊之間畫出一道圓弧）角的大小是看這個地方。

師你們聽懂他的意思了嗎？

生他的意思是，這個角和原來的那個角（用手比畫）這個地方是一樣大的，只是邊延長了。

師哦，老師明白你們的意思了，（用手比畫）角是看這里的。這兩個角這里是一樣大的，你們同意嗎？這樣吧，我們來比一比這兩個角。（手持兩個角，緩慢靠近至重合）看，它們一樣大嗎？

生（齊）一樣大。

師如果我們把這個角的兩條邊再延長一點呢？

生還是跟原來的角一樣大。

師如果再延長呢？一直延長到100米、1000米、10000米……呢？

生（齊）還是一樣大。

生不管怎么延長，因為兩條邊叉開的大小不變，角還是原來那么大。

師是的。角的兩條邊叉開的大小不變，不管怎么延長邊，角的大小都是不變的。那如果縮短呢？自己想一想、試一試，再和同桌說一說。

生我覺得不管邊怎么縮短，角的大小也是不變的。

師也就是說，不管邊是延長還是縮短，只要角的兩條邊叉開的大小不變，角的大小都是不變的。那怎么才能讓這個角更大呢？請你來演示給我們看一看。

（學生把活動角的兩條邊向外拉。）

師變大了嗎？我們來比一比。

（教師手持兩個角，緩慢靠近。）

生（齊）變大了。

師那怎么變小呢？

生（邊說邊操作）把它的兩邊向里面慢慢地收。

師是啊，生活中這樣的現象也不少見呢，我們來一起看一看吧。

（教師出示鬧鐘的指針走動、扇子開合、剪刀開合等的動態圖。）

“動態角”從不同于“靜態角”的層面揭示了角的本質內涵，反映兩個方向（兩條射線）的差異。通過“旋轉”，學生一步步感受到角的兩條邊位置的變化所帶來的角的大小的變化，豐富了對角的認識。同時，在“動態角”的操作過程中，學生還經歷了銳角、直角、鈍角的產生過程，為四年級的角的再認識以及線與線的位置關系做了鋪墊。教師借助“動態”的操作和“靜態”的呈現，從兩個不同角度去表征，幫助學生在對比中清晰地理解角的本質內涵，使后續角的特征的探索過程變得更加流暢。

“動靜結合”在勾連同類型知識之間的關系時也有不錯的功效。如六年級復習平面圖形時，可引導學生通過梯形上底的變化，建立求平面圖形面積的通性通法：把梯形的上底延長至和下底一樣長，就能得到長方形（正方形）或平行四邊形;把梯形的上底縮短為0，就能得到三角形。在動態變化、靜態內化的過程中，學生自然建構起平面圖形的認知結構。

*本文系全國教育科學“十三五”規劃2020年度教育部重點課題“小學數學核心知識建構的教學研究”（編號：DHA200370）的階段性研究成果。

參考文獻：

[1]?侯正海.“圖形的認識”教學中的幾個關鍵問題[J].小學數學教育，2018（7/8）.

[2]?章飛，凌曉牧，陳蓓，等.小學數學研究與教學指引[M].南京：南京大學出版社，2016.

[3]?袁菁華.結構化視角下的數學教學[J].江西教育，2020（12）.

[4]?王林，等.小學數學課程標準研究與實踐[M].南京：江蘇教育出版社，2011.

[5]?周正娟.結構化教學：促進兒童有效建構的必要途徑[J].福建教育，2018（23）.

[6]?王俊亮，戴爾康.動待花開助力成長——突破起點型核心知識教學困境的思考[J].小學數學教育，2018（10）.