轉化思想在初中數學解題中的應用思考

王曉靜

【摘要】轉化思想是學習數學的基本思想，指將題目化復雜為簡單，化抽象為具體，化生疏為熟悉，化零為整，化靜為動等.轉化思想可應用于函數、幾何、代數、方程等類型題.轉化是重要的數學思想之一，教師應提高重視程度，轉化思想也是新課標對學生數學思想培養提出的要求.

【關鍵詞】轉化思想;初中數學;化繁為簡

前 言

轉化，即將陌生的知識轉化為熟悉的知識、將復雜的內容轉化為精簡的內容的過程.作為一種基本的數學思想，轉化思想越來越被教師關注.初中階段學生開始由單純的知識學習轉向進行理性思考，此時教師應注重對學生思維的塑造及培養.下面筆者對轉化思想在初中數學解題中的具體應用展開討論.

一、轉化思想在初中數學的具體化簡

（一）化復雜為簡單

進入初中之后，學生遇到的應用性問題日漸增多，不同學生的學習能力差異也日益凸顯，原因是一些學生很難將生活化、有實際應用意義的數學問題轉化為具體的數學解題思路，甚至一些學生不能理解一道應用題的條件.若學生掌握了轉化思想，則能在復雜的應用問題中找到熟悉的知識點，解出題目.隨著學習的深入，數學題目對學生綜合運用知識的能力要求提高，考查多個知識點.因此，化復雜為簡單的轉化思想有利于學生串聯知識點，在復雜的題目中找出熟悉的知識點，解決問題.

（二）化抽象為具體

數學學科對學生的思維能力要求較高，要求學生找到正確的解題思路.化抽象為具體是指將抽象的數學概念、思路等轉化為具體的、可觀感的內容.這一思想常用于有關數形結合的題目，學生用數形結合的方法將具體的概念、關系等用圖像表示出來，以解出題目.初中階段學生對事物認知的方式以直觀為主，轉化思想有利于學生理解題意.數學學科是一門對邏輯思維能力要求較高的學科，學生的思維培養不是一蹴而就的，而轉化思想有利于培養學生的邏輯思維.

（三）化生疏為熟悉

轉化思想也可應用于知識的學習過程.學生學習新的知識點時很難快速掌握，而數學恰好是邏輯性較強的學科，如立體幾何的學習可應用轉化思想.在學習多面、多角的立體圖形時，學生會有很多困惑.此時，教師可將立體幾何轉化為平面幾何，降低學習難度，順利開展教學工作.教師不僅要將知識點教給學生，還要培養學生的數學思維和教授學生解決問題的方法.當轉化思想成為學生的一種思考意識、識記方法時，學生會自覺找尋知識點間的聯系，提高學習質量.

二、轉化思想在初中數學的應用例談

（一）轉化思想在題目分析中的應用

轉化思想是學生分析問題時的重要輔助工具，能幫助學生找到解題的有效條件和思路.下面以一道方程題為例具體闡釋.

例題 現有一地區突發洪水，災區現場急需雨靴這一物資.災區附近有一家鞋廠，該廠共有9條生產線，即4條皮鞋生產線和5條布鞋生產線.該工廠表示可以為災區提供救援物資，并制訂生產計劃，在三天內生產1000雙雨靴.已知一條皮鞋生產線和兩條布鞋生產線可以在一天內產出105雙雨靴.兩條皮鞋生產線和三條布鞋生產線可在一天內產出178雙雨靴.試分析，每條皮鞋生產線與布鞋生產線平均每天可生產多少雙雨靴？如上述條件均可實現，那么工廠能不能在三天內完成生產計劃？

這道題內容比較多，很多學生從開始就出現了畏難情緒——題目太長了，一眼看下去分不清主次，找不到關鍵信息.在這種情況下，教師可以有意識地指導學生運用轉化思想，將問題轉化為熟悉的數學公式等，再加以解決.首先，將問題中的題干轉化為兩個等量關系，設定未知數為x、y，這樣，問題就轉化為學生熟悉的方程問題，可列式x+2y=105，2x+3y=178，計算可知x=41，y=32，即每條皮鞋生產線每天生產雨靴41雙，每條布鞋生產線生產雨靴32雙.學生能進一步得出該生產廠家無法在3天內生產1000雙雨靴.在解決復雜問題時，教師要有意識地引導學生運用轉化思想，讓學生自覺應用轉化思想解題.

（二）運用轉化思想解決函數與方程式間的轉化

運用轉化思想解決函數與方程的轉化問題，是轉化思想應用.方程的學習是循序漸進的過程，學生在小學接觸一元一次方程，認識x，y這兩個未知數，到初中階段學習一元二次方程、二元一次方程、方程組等.方程問題的常見解決方法為換元法.教師可將轉化思想與換元法結合起來做延伸.

如2x4-3x2 +8=0，首先要將此方程進行降次，將x2設成y，即y=x2 ，將原方程轉化為2y2-y-8=0，用公式進行求解.下面筆者通過例題闡釋如何用轉化思想解初中數學方程題.

例題 當y=2x+3時，有恒等式x2+2x+3=ay2+by+c成立，求abc的值.

此題中包含5個未知數，有2個未知數之間存在等量關系.若用待定系數法計算，則計算量極大，且難以得出正確結論.此時，可考慮使用換元法.學生在做題時可能會將a、b、c三數之積誤以為是分別求解a、b、c的值.因此，教師在引導學生使用換元法時，要著重強調審題的重要性，使學生明確題目究竟問什么.分析之后，教師可組織學生進行小組合作解題.教師可以采用多種教學方式，豐富課堂教學，為學生帶來愉快的學習體驗，激發學生的學習興趣.

（三）運用轉化思想解決動態幾何問題

動態幾何是初中階段學習的難點，對學生的綜合分析能力、知識應用能力要求較高.學生要分清點動、線動、面動的情況，找到其中的關聯，進而找到題目要求的關系，求解答案.

例題 如圖1，在平面直角坐標系中，直線 y=1[]2x+1與拋物線 y=ax2+bx-3交于A、B點，點 A在x軸上，點B的縱坐標為3.點P是直線AB下方的拋物線上的動點（不與A、B兩點 重合），過點P作x軸的垂線交直線AB與點C，做PD⊥AB于點D.（1）求 a、b及sin∠ACP的值;（2）設點p的坐標為m，①用含m的代數式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值;②連接PB，線段PC將△PDB分為兩個三角形，是否存在適合的m值，使這兩個三角形的面積之比為9∶10？若存在，直接寫出m值;若不存在，說明理由.

運用轉化思想分析這道問題，學生可以得到如下思路.（1）問要求未知數a、b，就要將點B的縱坐標代入直線解析式中求出點B的橫坐標，再求出A點坐標，將兩點坐標代入拋物線解析式中求解，難度不大.至于角的正弦值的求解，可利用圖中的線段、角、邊關系求解.根據直線方程求出直線y與y 軸的交點（確定為E），得出△AOE的三邊比值，再用PC與x軸的垂直得出線段平行關系，推出角相等，進而求出sin∠ACP的值.在此過程中，學生需要進行角之間的轉化.但這一點不容易看出，大多數學生可能會利用△PCD 來求解.由于不清楚點C坐標，所以思路容易中斷.因此，教師要引導學生審題，探索題目中存在的可用的關系式.這類題目在初中階段一般是考試的壓軸題目，學生運用轉化思想能夠理清思路，找到解決問題的路徑.教師可有意識地將轉化思想教給學生，學生在解決問題時靈活運用轉化思想.

（四）轉化思想在幾何解題中的應用

幾何是初中數學中的重要學習內容，要求學生具備扎實的數學知識，并且具備一定空間想象能力.其中三角形和四邊形題目是教學的重點.轉化思想有利于求解幾何題目，下面通過例題說明.

例題 現有一圓，如圖2所示.已知圓的直徑為BC，過 點B 作一條垂直于 BC 的垂線，垂線上有一點A，作圓的切線AD，且D為切點.最后，過點D作一條BC 的垂線DF，且DF、AC相交于E點.證明：EF=DE.

簡單分析題干，可知兩點信息：BC⊥AB，BC⊥DF.根據簡單的推論便可以得出 DF∥AB.如此一來，AB與EF的關系就是位似對應線段.題干要求證明EF=DE，就是要證明E 是 DF的中點.因此，學生在解答問題時可以應用轉化思想，將問題轉化為“證明A點是DF的位似對應線段的中點”.

在明確解題方向后，學生就可以按照要求進行解題.首先，將CD連接并進行延長，與BA的延長線相交于G點;然后，連接BD.根據題干信息可知，BC是圓的直徑，所以∠CDB必然是直角，可知∠GDB也是直角.如此，根據三角形性質可知，△GDB 是直角三角形.

此時，要想證明點A是DF的位似對應線段BG的中點，那么需要證明AG=AB，運用轉化思想，即求證 AD=AB.AB和AD都是圓的切線，所以 AD=AB.90°-∠ADB=∠90°-∠ABD，所以∠AGD =∠ADG，AD=GA.

總體來說，在解答幾何類問題時，簡單的轉化能夠降低問題的難度并降低計算的復雜程度，進一步強化學生的解題能力.這道例題考查學生對幾何題目的分析.當遇到復雜的幾何問題時，學生應運用轉化思想，將立體轉化為平面，將圖像轉化為等式.

結 語

在初中數學教學中，教師應充分運用轉化思想，完成教學工作，培養學生的數學思維.如何在具體教學中滲透轉化思想，是值得教師思考的問題.

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