淺談數學思想方法在初中數學教學中的應用

潘衛斌

【摘要】本文根據初中階段的數學解題思想方法的特征和筆者多年任教初中數學的經驗以及對初中數學思想方法的了解，總結出幾種常見的數學解題思想方法和一些應用題型，以便共同研究探討，有助于提高初中數學教學質量和培養學生良好的素質，以適應新世紀人才的要求。

【關鍵詞】數學思想;數學方法;應用

中學數學教材的整體結構有兩根強有力的支柱，那就是數學基礎知識和數學思想方法。數學思想方法是數學思想和數學方法的統稱，兩者聯系密切而又有所區別，且有層次之分?！皵祵W思想”和“數學方法”這兩個術語常被混用或合用。由于我們既需要用數學方法解決問題，有時也需要對這些方法作出評價。而掌握數學思想方法是提高學生科學素質和運用能力的重要途徑，也是實現中學數學教學目標的重要保證。因此，我們必須正確認識數學思想和方法。

數學思想，一般是能反映某些重大數學成就的思想。而數學方法可大可小，小至解決某個或某類具體數學問題的具體方法，例如，分解因式的待定系數法;大至建立某個分支體系的數學方法，如，公理化方法等。數學家張奠宙教授認為：“同一個數學思想，當用它去解決別的問題時，就稱之為方法，當評價它在教學體系中自身價值和意義時，就稱之為思想?！边@是對“思想”和“方法”相互關系的一種合理解釋。為了適應新世紀人才的要求，也為了培養學生良好的素質，在平時教學中，我們應注重數學思想方法的滲透。下面，筆者就簡單地談一下自己所了解的一些數學思想方法及在平時教學中對這些方法的應用。

一、數形結合的思想方法和應用

數學是研究“數”與“形”及其關系的一門學科。因此，“數形結合”的思想方法是研究數學的一個基本思想方法。其本質是將抽象的數量關系與直觀的圖形性質結合起來，通過兩者間的相互轉化，從而達到“化繁為簡”“化難為易”的目的。數學家華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”在數學學習中，要有見“數”想“形”，見“形”思“數”，“數形結合”的思維習慣。這樣才有利于提高數學素養，也有利于發展分析問題、解決問題的能力。因此，在數學教學中必須灌輸這一方法的學習和應用。

如，例1：關于x的方程 4x?-4mx+m+1=0 的兩個實根為α，β，且0<α<1，1<β<2，求實數m的取值范圍。

分析：這個方程是一元二次方程，α，β為實根，從“式”思“形”應是二次曲線與x軸的交點，其一交點是屬于（0，1），其二交點屬于（1，2），如圖一所示;從形中可得有 f（0）>0， f（1）<0， f（2）>0.

解：設：f（x）=4x2-4mx+m+1，此拋物線與x軸交點的橫坐標就是方程4x2-4mx+m+1=0的根，如（圖一）所示：

（圖一）

反思：本題若只從方程方面考慮，方程有兩個實根，則△>0。但解出m的范圍不能保證α∈（0，1），β∈（0，2）。而本題的解法f （0）>0，f （1）<0，f （2）>0，從連續函數的性質可知存在α∈（0，1），β∈（1，2），使得f （ α ）=f （ β ）=0。由于初中生沒有學習過連續函數，所以只能從圖形的直觀方面去得到理解。

又如，例2：設x是實數，試比較x2與的大小。

分析：x2與是兩個式子，比較起大小可設兩個函數 y1=x2、y2=，從其圖形考慮，圖象在上方的為大，在下方為小，如（下圖二）所示：

解： 設：y1=x2， 則它的圖象是一條開口向上的拋物線，頂點坐標為原點（0，0）。設：y2=，則它的圖象是一條折線，且經過原點（0，0）。那么在同一坐標系中作出y=x2 及 y=的圖象，由： 可知它們有3個交點，即為 A（-1，1）， B（1，1），O（0，0）。

觀察圖象可知：

1.當：x=0，x=-1，x=1時，x2=;

2.當：-1

3.當：x>1 或 x>-1時，x2>。

（圖二）

反思：比較x2與兩個式子的大小，應從x的取值情況考慮，由x2與的對稱性可考慮（0，+∞），盡管如此，討論起來還是很麻煩，學生也不能很好地理解，不如圖形比較直觀。

從以上兩例可以看出，數形結合的思想不僅是分析、解決數學問題的好方法，更主要的是，這一思想對問題處理的立場和方法，將會使學生受益無窮。

二、分類討論的思想方法

在解決一些數學問題時，由于題中的某些條件存在多種情況，且都會影響到問題的解法和結論。解題時，需從符合題設的各種情況對問題進行科學地、合理地分類，然后逐類分別進行討論，從而使問題得到圓滿的解答，這種數學方法叫做“分類討論法”。

分類在數學中是經常出現的。例如，實數分為有理數與無理數兩類;有理數又分為整數和分數;整數又分為正整數、零、負整數;絕對值也是分類定義的，等等。

所以，筆者認為“分類討論”也是中學數學教學中一個極其重要的數學思想方法，分類思想是數學中邏輯劃分的重要思想表現，對培養和發展思維的條理性、縝密性，提高分析問題、解決問題的能力具有重要意義。因此，筆者在教學中常常貫徹這一思維方法的傳授和應用。

如，例3：已知： ，求k的值。

分析：由于a、b、c、沒有具體數值，所以求比例值k，就必須想辦法把分子、分母化為有相同的式子，則必然想到使用分式的合比性質。又∵ 等比性質的條件是 b+d+…+n≠0。

∴ 要按 （b+c）+（c+a）+（a+b）=0和 （b+c）+（c+a）+（a+b）≠0 兩種情況討論。

解：（1）當： （b+c）+（c+a）+（a+b）=0時，有 a+b+c=0。