以“分式方程”為例談初中數學學法指導

郎宏琪

摘? ?要：課堂教學中，教師是主導，學生是主體，教師指導學生學習.以“分式方程”的教學為例，探討初中數學課堂教學中指導學生學法的策略.首先運用遷移式指導法，指導學生學會解分式方程;然后運用問題式指導法，指導學生解分式方程時檢驗的方法.強調解分式方程必須檢驗;再運用示范式指導法，幫助學生規范解分式方程的解題格式;最后運用結構式指導法，幫助學生理清增根產生的原因;運用矯正式指導法，幫助學生走出誤區;運用滲透式指導法，提升學生思維能力.

關鍵詞：初中數學;學法指導;分式方程

初中數學教學過程就是教師指導學生自主學習的過程.在這過程中，本著尊重學生主體地位的原則，教師引導并組織學生自主學習，合作探究.不斷提升他們的學習能力，從而為終生學習打下良好的基礎.

筆者謹以“分式方程”教學為例，探討對學生進行學法指導的策略.

1? 運用遷移式指導法，指導學生學會解分式方程

數學教材的前后知識間往往存在一定的內在聯系.教師要善于引導學生有意識地把已有的知識、技能、經驗等遷移到新知識的學習中.

學習分式方程之前，學生接觸到的都是整式方程.教學分式方程應啟發學生找出兩種方程之間的異同點，分析討論解分式方程的策略.

運用遷移式指導法，指導學生學習并掌握解分式方程的一般方法.首先解方程2-=;然后借助解該方程，回顧總結出解含有分母的一元一次方程的一般步驟：（1）去分母，（2）去括號，（3）移項，（4）合并同類項，（5）系數化為“1”.最后將解法步驟和經驗遷移到解分式方程之中.

點撥學生解分式方程時，在“去分母”這一步，方程兩邊必須乘“最簡公分母”.放手讓學生自主探究解分式方程：（ⅰ）-=0，（ⅱ）-=.待學生解出這兩個分式方程，教師將部分學生練習的情況投映到電子白板上，組織學生進行評價.引導學生分析、歸納解分式方程的一般步驟.

2? 運用問題式指導法，引導學生解分式方程必須進行檢驗

教學過程講究的是一波未平一波又起，層層推進.教師是教學的主導，應善于運用各種策略引導學生進行探究學習.問題和問題串是推進教學過程的有效手段，運用問題式指導法，引導學生逐步探究.

“分式方程”教學中，教師在小結分式方程的一般解法后，拋出新問題：

（1）什么是方程的解？

（2）x= -4一定是方程-=0的解嗎？你是如何確定的？

通過這個問題，將學生的思維逐步引向分式方程必須檢驗這個解題步驟中.

學生解答這兩個問題，一般不會有什么困難.接著，教師提出一個新的問題：

解方程：（ⅲ）=-1，并檢驗.

這個問題，表面看與之前的問題沒太大區別，但實際暗藏殺機——涉及到增根，學生解答起來自然困難——無從下手.與該分式方程所對應的整式方程的解是x=2，而x=2是無法代入原方程的.向學生提出了新的挑戰——怎樣檢驗.

運用問題式指導法指導學生學習，旨在引導學生明白解分式方程必須檢驗，以及檢驗的方法.

3? 運用示范式指導法，規范解分式方程的解題格式

解題規范有助于學生的解題思維向正確的方向發展，幫助學生理清解題步驟;解題規范有助于學生進行解題后的自我檢查，提高解題正確率.

筆者運用示范式指導法指導學生學習分式方程，幫助學生規范解分式方程的解題格式.

例如，解分式方程：（ⅳ）-=1;

（ⅴ）-=1.

解：（ⅳ）方程兩邊同乘（x+2）（x-2），得：（x+2）2-20=（x+2）（x-2），整理得：x2+4x+4-20=x2-4，移項、合并同類項得：4x=12，解得：x=3.檢驗：當x=3時，（x+2）（x-2）=5≠0，∴x=3是原方程的解.

解：（ⅴ）方程兩邊同乘（x+1）（x-1），得：x（x+1）-2=（x+1）（x-1），整理得：x2+x-2=x2-1，移項，合并同類項得：x=1.檢驗：當x=1時，（x+1）（x-1）=0，∴x=1是增根，原方程無解.

學習解分式方程，“檢驗”這一步應反復強調，使每個學生都學會檢驗，并使“檢驗”成為學生解分式方程的自覺行為.

4? 運用結構式指導法，幫助學生理清增根產生的原因

學生通過自主學習，獲取的知識是零散的.欲想讓學生自己將“零散”的新知，有效整合到已有的知識體系中，是比較困難的.教師運用結構式指導法，幫助學生把握知識的來龍去脈，深入理解知識的立體結構、完整體系和相應的認知結構.

在解分式方程的過程中，對于“增根”的產生，不少學生產生了困惑：為什么在解含有分母的一元一次方程時，沒有出現增根，而解分式方程時有時會出現增根呢？對于這一疑惑，教師應啟發學生思考，引導學生探究，使學生“茅塞頓開”.

解整式方程時，不會出現增根.其原因是：

（1）若整式方程中不含分母，則通過去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為“1”等步驟解方程，是不可能出現增根的——方程兩邊沒有乘任何代數式;

（2）若整式方程中含有分母，依據等式基本性質，兩邊乘以分母的最小公倍數，這個“最小公倍數”是一個具體的數而不是含有字母的代數式，解這樣的整式方程也不會出現增根.

概況起來說，解整式方程不會出現增根.

解分式方程，由于方程兩邊同時乘以的是各個分式的最簡公分母，這個最簡公分母必定含有未知數.倘若這個最簡公分母為零，則此時方程兩邊同時乘以的數實際就是零，其結果當然是方程兩邊都為零，這與原分式方程不能構成同解方程，故出現了增根的現象.

鑒于此，解分式方程一定要驗根，這是區別于解整式方程的一個重要步驟.

5? 運用矯正式指導法，幫助學生走出誤區

解分式方程，學生有兩個認識誤區：

誤區一：方程有增根時，方程就無解;

誤區二：分式方程無解時，就是該方程有增根.

教師必須明明白白地告知學生，解分式方程出現增根，并不意味著方程就一定無解;分式方程無解，也未必就一定出現增根.可結合具體例子，解給學生看.運用矯正式指導法，讓學生走出認識誤區.

例如：解分式方程：（ⅵ）+=1+.

解：方程兩邊同乘（x+2）（x-2），得：（x-2）+4x=（x+2）（x-2）+2（x+2）.整理得：x-2+4x=x2-4+2x+4.移項、合并同類項得：x2-3x+2=0，解得x1=1，x2=2.檢驗：當x1=1時，（x+2）（x-2）=-3≠0，所以x1=1是原方程的根;當x2=2時，（x+2）（x-2）=0，所以x2=2是原方程的增根.因此，原方程的根是x=1.

一個分式方程化成一元二次方程后，如果有兩個解，且其中一個滿足原方程而另一個不滿足，那么滿足的那個解就是原分式方程的解，另一個是原方程的增根，要舍去.

通過這個例子，學生走出了“誤區一”.

再如： 若關于x的分式方程=a無解，求a的值.

解：方程兩邊同乘x+1得：x-a=a（x+1），整理得（1-a）x=2a

∵原分式方程無解，∴有兩種情況.

①方程（1-a）x=2a無解，此時a=1;

②方程（1-a）x=2a有解，但這個解是分式方程的增根，即x=-1，把x=-1代入（1-a）x=2a，解得a= -1.

綜上所述，a的值為±1.

通過這個例子，幫助學生走出“誤區二”.

6? 運用滲透式指導法，提升學生思維能力

根據學生學習的實際情況，相機引導，把學習方法、解決問題的策略滲透到學生的學習過程中，潤物無聲.

6.1? 運用滲透式指導法，提升學生的逆向思維能力

逆向思維要求學生變換角度思考問題.如果學生能經常性地進行逆向思維訓練，那么他們考慮問題會更全面、周到.甚至能獨辟蹊徑解決數學難題.學習分式方程的解法，由于有時會出現增根，借助分析增根產生的原因，訓練學生的逆向思維.

例如： 關于x的方程=有增根，則增根是______ ，m的值為______.

解決這個問題，學生必須理解“增根”的概念以及增根產生的原因.從而加深學生對“增根”的理解.

該方程的最簡公分母是3（x-3），而出現增根是由于對應整式方程的解代入到最簡公分母中時，最簡公分母為零.所以，由3（x-3）=0，解得x=3. 顯然，該方程如果有增根，增根就是x=3.

如何解“m”呢？根據增根產生的原因——對應整式方程的解，但又不是分式方程的解——此時分式的最簡公分母為零.據此，去解.

解：方程兩邊同乘3（x-3），得3（x-1）=m2，根據題意，增根x=3是此整式方程的根.將x=3代入3（x-1）=m得：3（3-1）=m2，∴m=±.增根是3，m的值為±.

6.2? 運用滲透式指導法，提升學生思維的慎密性

解含有字母系數的分式方程，對于學生是難點，他們往往忽略檢驗這一環節.教學時，引導學生把字母系數當作一個具體的數字來用，告訴他們解法與解一般的分式方程相類似.運用滲透式指導法，訓練學生思維的縝密性.

例如. 關于x的分式方程=-2的解是非負數，求a的取值范圍.

解：方程兩邊同乘2（x-1），得：2x=3a-4（x-1），解得x=.

∵原方程的解是非負數，∴x≥0，即≥0.∴a≥-.

請注意，本題的解到此并沒有結束，而有些學生往往就做到此處.他們忘記了解分式方程的一個最重要的環節——檢驗.數學教師必須向學生講清楚，接下來還要根據2（x-1）≠0.繼續解答.

∵2（x-1）≠0，∴x-1≠0，即≠1，解得a≠.綜合起來，就是a≥-，且a≠.

解含有字母系數的分式方程，同樣要求驗根，確保分母不為零，分式才有意義.

指導學生學法，根據知識點的特殊性以及本班學生的實際水平、能力，選擇適當的指導方法，靈活機動，才能取得較為理想的效果.